公务员考试算术问题汇总.docx
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公务员考试算术问题汇总
牛吃草问题
例1 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，那么，供25头吃几天？
分析：
首先，我们要清楚这样两个量是固定不变的：
草地上原有的草量；草的生长速度，而这两个不变量题目中都没有直接告诉我们，因此，求出这两个不变量便是解题的关键。
一般说来，解答这类应用题可以分成以下几步：
第一步：
通过比较两种情况求出牧草的生长速度。
第一种情况：
10头牛吃20天，共吃了10×20＝200（头/天）的草量。
第二种情况：
15头牛吃10天，共吃了15×10＝150（头/天）的草量。
思考：
为什么同一片草地，两种情况吃的总草量会不相等呢？
这是因为吃的时间不一样。
事实上，第一种情况的：
200头/天的草量＝草地上原有的草量＋20天里新长出来的草量；
同样，第二种情况的：
150头/天的草量＝草地上原有的草量＋10天里新长出来的草量；
通过比较，我们就会发现，两种情况的总草量与“草地上原有的草量”无关，与吃的时间有关系。
因此，通过比较，我们就能求出“草的生长速度”这一十分关键的量：
（200－150）÷（20－10）＝5（头/天）
第二步：
求出草地上原有的草量。
既然牛吃的草可以分成两部分，那么只要用“一共吃的草量”减去“新长出来的草量”就能求出“草地上原有的草量”。
200－5×20＝100（头/天）或者150－5×10＝100（头/天）
第三步：
求可以供25头牛吃多少天？
（思考：
结果会比10天大还是小？
）
显然，牛越多，吃的天数越少。
在这里，我们还是要紧紧抓住“牛吃的草可以分成两部分”来思考。
我们可以将25头牛分成两部分：
一部分去吃新生的草；另一部分去吃原有的草。
因为草的生长速度是5头/天，所以新生的草恰好够5头牛吃，那么吃原有的草的牛应该有25－5＝20（头）。
当这20头牛将草地原有的草量吃完时，草地上也就没有草了。
100÷（25－5）＝5（天）
例2：
一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果10人淘水，3小时可淘完；5人淘水8小时可淘完。
如果要求2小时淘完，要安排多少人？
分析：
这道题看起来与“牛吃草”毫不相关，其实题目中也蕴含着两个不变的量：
“每小时漏水量”（相当于草的生长速度）与“船内原有的水量”（相当于草地上原有的草量）。
因此，这道题的解题步骤与“例1”完全一样，请您自己试一试：
（在下面评论里进行分析解答）
第一步：
第二步：
第三步：
设x人在一小时内可掏尽匀速进入船内的水,y为2小时淘完要安排人数,则
（10-x）*3=（5-x）*8=（y-x）*2
x=2,y=14
第一步：
（5×8-10×3）÷（8-3）=2（人小时）
第二步：
5×8-2×8=24（人小时）
第三步：
24÷2+2=14（人）
答：
如果要求2小时淘完，要安排14人。
牛吃草问题［综合练习］
（１）牧场上有一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周。
如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？
（２）有一口水井，如果水位降低，水就不断地匀速涌出，且到了一定的水位就不再上升。
现在用水 吊水，如果每分吊4桶，则15分钟能吊干，如果每分钟吊8桶，则7分吊干。
现在需要5分钟吊干，每分钟应吊多少桶水？
（３）有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。
如果需要6天割完，需要派多少人去割草？
（４）有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。
这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？
（５）一水库存水量一定，河水均匀入库。
5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。
若要6天抽干，需要多少台同样的抽水机？
第一讲行程问题
例1. 小明上学时坐车，回家时步行在路上一共用了90分。
如果他往返都坐车，全部形程需30分。
如果他往返都步行，需多少分？
分析：
根据“往返都坐车，全部行程需30分”可以算出单程作车需要的时间。
再根据“上学时坐车，回家时步行，在路上一共用了90分”可以算出单程步行需要的时间。
进而可算出往返都步行所需的时间。
解：
（90－30÷2）×2
=75×2
=150（分）
答：
如果他往返都步行，需150分。
例2. 甲、乙两城相距280千米，一辆汽车原定用8小时从甲城开到乙城。
汽车行驶了一半路程，在中途停留30分。
如果汽车要按原定时间到达乙城，那么，在行驶后半段路程时，应比原定的时速加快多少？
分析：
要求汽车比原来的时速加快多少，先要求出按原定时间到达，需要的时速。
而要求按原定时间到达需要的时速，又要求出行剩下一半的路程，还剩下但是时间。
解：
分步解答
30分=0.5小时
（1）前一半路程已行了多少小时？
8÷2=4（时）
（2）还剩下多少小时？
8－4－0.5=3.5（时）
（3）后半程每小时应行多少千米？
280÷2÷3.5=40（千米）
（4）原来每小时行多少千米？
280÷8=35（千米）
（5）每小时比原来多行多少千米？
40－35=5（千米）
列综合算式解答
280÷2÷（8－8÷2－0.5）－280÷8
=140÷3.5－280÷8
=40－35
=5（千米）
答：
应比原定的时速加快5千米。
例３. 甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是100千米。
甲每小时行6千米，乙每小时行4千米。
甲带着一只狗，狗每小时行10千米。
这只狗同甲一起出发，碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直到两人相遇。
这只狗一共跑了多少千米？
分析：
如果想分段算出狗跑的路程，再求出这些路段的和，将很难算出结果来。
因此，一定要从整体考虑。
要求狗跑的路程，就要求出狗跑的时间，而狗跑的时间正好就是甲、乙两人跑的时间。
用狗跑的速度乘以它所跑的时间就可以算出狗跑的路程。
解 分步解答
（1）甲、乙两人多少小时相遇？
100÷（6+4）=10（时）
（2）狗跑的总路程是多少千米？
10×10=100（千米）
列综合算式解答
10×[100÷（6+4）]
=10×10
=100（千米）
答：
这只狗一共跑了100千米。
［综合练习］
（１）上学时坐车，回家时步行，在路上共用去1.5小时，如果往返都坐车，全部行程只要30分钟，如果往返都步行，全程则需要多少小时？
（２）在一次登山比赛中，小明上山时每分钟走50米，18分钟到达山顶；然后按原路下山，每分钟走75米。
求小明上、下山的平均速度？
（３）一辆汽车从甲地开往300千米处的乙地去，在开始的120千米内平均速度为每小时40千米，要想使这辆汽车从甲地到达乙地的平均速度为每小时50千米，剩下的路程应以什么速度行驶？
（４）甲、乙两人同时、同地、同向而行，甲骑车每小时行15千米，乙步行每小时行5千米，甲行了120千米时，转身返回，与乙相遇，求相遇时两人各行了多少千米？
（５）甲、乙两人同时从A、B 两地相对而行，甲骑车每小时行16千米，乙骑摩托车每小时行65千米。
甲离出发点62.4千米处与乙相遇。
A、B两地相距多少千米？
『第二讲』盈亏问题
例题1：
将一些糖果分给幼儿园小班的小朋友，如果每人分3粒，就会余下糖果17粒；如果每人分5粒，就会缺少糖果13粒。
问：
幼儿园小班有多少个小朋友？
这些糖果共有多少粒？
分析：
用作图的方法来分析。
我们知道糖果的总数相等，小朋友的人数也是相等的。
3粒 3粒 3粒…… 余17粒
· · · · · ·
5粒 5粒 5粒 ………… 缺少13粒
· · · · · ·………………·
想：
每个小朋友分3粒与5粒，相差5－3=2（粒）；
分的糖果的总数就要相差17+13=30（粒）所以小班的人数是30÷2=15（人），这批糖果的总数是3×15+17=62（粒）或5×15－13=62（粒）。
这是盈亏问题中的“一盈一亏”的问题，解答这类问题的数量关系是：
（盈数+亏数）÷两次分得的差=人数
解：
（17+13）÷（5－3）
=30÷2
=15（人）
3×15+17=62（粒）
或：
5×15－13=62（粒）
答：
有15个小朋友，62粒糖。
例题2：
学生搬一批砖，每人搬4块，其中5人要搬两次；如果每人搬5块，就有两人没有砖可搬。
搬砖的学生有多少人？
这批砖共有多少块？
分析：
用作图的方法来分析。
我们知道砖的总数相等，学生的人数也是相等的。
4块 4块 4块 …………余下的还需要5人搬一次
· · · · · ·
也就是多余（4×5）块
5块 5块 5块 ………… 就有两人没有搬
· · · · · ·………………·
也就是缺少（5×2）块
通过分析，我们把问题转化为盈亏问题的一般情形。
每人搬砖数相差5－4=1（块），搬砖的总数就相差（4×5）+（5×2）=30（块）
所以，搬砖的学生数是30＋1=30（人），砖的总数是4×30+20=140（块）。
解：
（4×5+5×2）÷（5－4）
=30÷1=30（人）
4×30+4×5=140（块）
答：
搬砖的学生有30人，这批砖共有140块。
例题3. 某校在植树活动中，把一批树苗分给各班，如果每班分18棵，就会余下24棵；如果每班分20棵，正好分完。
这个学校有多少个班？
这批树苗共有多少棵？
分析：
本题中树苗的总棵数是不变的，班级数也是不变的，第二次比第一次每班多分20－18=2（棵），就是把第一次分后余下的24棵分完，也就是24棵树中有几个2棵，就有几个班。
这道题目是盈亏问题中的一种特例。
题目中只出现“盈”，也就是一次分配多了，并没有出现“亏”。
我们仍然可以按盈亏问题的思路来思考。
在以后的题目中，我们还会遇到一道题目中两次都是“盈”的情况和两次都是“亏”的情况。
解：
24÷（20－18）=12（个）
20×12=240（棵）
答：
这个学习有12个班，这批树苗有240棵。
［综合练习］
（1）小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。
问：
有多少个小朋友？
有多少粒糖果？
（２）某校安排新生宿舍，如果每间住12人，就会有34人没有宿舍住；如果每间住14人，就会空出4间宿舍。
这个学校有多少间宿舍？
要安排多少个新生？
（３）体育老师和一个朋友一起上街买足球。
他发现自己身边的钱，如果买10个“冠军”牌足球，还差42元；后来他向朋友借了1000元，买了31个“冠军”牌足球，结果多了13元。
体育老师原来身边有多少元？
（４）全班同学去划船，如果减少一条船，那么每条船正好坐9人；如果增加一条船，那么每条船正好坐6人。
全班有多少人？
（５）小李拿一根绳子在一个圆柱上绕，绕了2圈时绳子还余2.86米，但要绕5圈还差1.85米。
问：
绳子有多长？
圆柱的周长是多少？
第三讲最短路线问题
通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的．人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题．
在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：
当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段．
这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的．例如，在地球（近似看成圆球）上A、B二点之间的最短路线如何求呢？
我们用过A、B两点及地球球心O的平面截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上A、B两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线，航海上叫短程线．关于这个问题本讲不做研究，以后中学会详讲．
在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线．像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法．
例1如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报．在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来．
解：
要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线．
作点A关于河岸的对称点A′，即作AA′垂直于河岸，与河岸交于点C，且使AC=A′C，连接A′B交河岸于一点P，这时P点就是饮马的最好位置，连接PA，此时PA＋PB就是侦察员应选择的最短路线．
证明：
设河岸上还有异于P点的另一点P′，连接P′A，P′B，P′A′．
∵P′A+P′B＝P′A′+P′B＞A′B=PA′+PB=PA+PB，而这里不等式P′A′＋P′B＞A′B成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，所以PA+PB是最短路线．
此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直线段A′B，所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等．看下面例题．
例2如图一只壁虎要从一面墙壁α上A点，爬到邻近的另一面墙壁β上的B点捕蛾，它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的路线呢？
解：
我们假想把含B点的墙β顺时针旋转90°（如下页右图），使它和含A点的墙α处在同一平面上，此时β转过来的位置记为β′，B点的位置记为B′，则A、B′之间最短路线应该是线段AB′，设这条线段与墙棱线交于一点P，那么，折线4PB就是从A点沿着两扇墙面走到B点的最短路线．
证明：
在墙棱上任取异于P点的P′点，若沿折线AP′B走，也就是沿在墙转90°后的路线AP′B′走都比直线段APB′长，所以折线APB是壁虎捕蛾的最短路线．
由此例可以推广到一般性的结论：
想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线．
例3长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB=4，A′A=2′，AD=1，有一只小虫从顶点D′出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？
（见图
（1））
解：
因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含D′、B两点的两个相邻的面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的平面上D′B间的最短路线就是连结这两点的直线段，这样，从D′点出发，到B点共有六条路线供选择．
①从D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个面摊开在一个平面上（上页图
（2）），这时在这个平面上D′、B间的最短路线距离就是连接D′、B两点的直线段，它是直角三角形ABD′的斜边，根据勾股定理，
D′B2=D′A2+AB2=（1+2）2＋42=25，∴D′B=5．
②容易知道，从D′出发经过后侧面再进入下底面到达B点的最短距离也是5．
③从D′点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点．将这两个面摊开在同一平面上，同理求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线（上页图（3）），有：
D′B2＝22+（1+4）2=29．
④容易知道，从D′出发经过后侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是29．
⑤从D′点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达B点，将这两个平面摊开在同一平面上，同理可求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线（见图），
D′B2=（2+4）2+12=37．
⑥容易知道，从D′出发经过上侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是37．
比较六条路线，显然情形①、②中的路线最短，所以小虫从D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点（上页图
（2）），或者经过后侧面然后进入下底面到达B点的路线是最短路线，它的长度是5个单位长度．
利用例2、例3中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，可以解决一些类似的问题，例如求六棱柱两个不相邻的侧面上A和B两点之间的最短路线问题（下左图），同样可以把A、B两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面（下右图），连接A、B成线段AP1P2B，P1、P2是线段AB与两条侧棱线的交点，则折线AP1P2B就是AB间的最短路线．
圆柱表面的最短路线是一条曲线，“展开”后也是直线，这条曲线称为螺旋线．因为它具有最短的性质，所以在生产和生活中有着很广泛的应用．如：
螺钉上的螺纹，螺旋输粉机的螺旋道，旋风除尘器的导灰槽，枪膛里的螺纹等都是螺旋线，看下面例题．
例4景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下左图，如果将金线的起点固定在A点，绕一周之后终点为B点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？
解：
将上左图中圆柱面沿母线AB剪开，展开成平面图形如上页右图（把图中的长方形卷成上页左图中的圆柱面时，A′、B′分别与A、B重合），连接AB′，再将上页右图还原成上页左图的形状，则AB′在圆柱面上形成的曲线就是连接AB且绕一周的最短线路．
圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线．请看下面例题．
例5有一圆锥如下图，A、B在同一母线上，B为AO的中点，试求以A为起点，以B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线．
解：
将圆锥面沿母线AO剪开，展开如下图（把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面时，A′、B′分别与A、B重合），在扇形中连AB′，则将扇形还原成圆锥之后，AB′所成的曲线为所求．
例6如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米，B点沿母线到桶口D点的距离是8厘米，而C、D两点之间的（桶口）弧长是15厘米．如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？
路程总长是多少？
分析我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于B点在里面，不便于作图，设想将BD延长到F，使DF＝BD，即以直线CD为对称轴，作出点B的对称点F，用F代替B，即可找出最短路线了．
解：
将圆柱面展成平面图形（上图），延长BD到F，使DF=BD，即作点B关于直线CD的对称点F，连结AF，交桶口沿线CD于O．
因为桶口沿线CD是B、F的对称轴，所以OB＝OF，而A、F之间的最短线路是直线段AF，又AF=AO＋OF，那么A、B之间的最短距离就是AO＋OB，故蚂蚁应该在桶外爬到O点后，转向桶内B点爬去．
延长AC到E，使CE=DF，易知△AEF是直角三角形，AF是斜边，EF=CD，根据勾股定理，
AF2=（AC+CE）2+EF2
＝（12＋8）2＋152＝625=252，解得AF=25．
即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米．
例7A、B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸．请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A、B两个村子之间路程最短．
分析因为桥垂直于河岸，所以最短路线必然是条折线，直接找出这条折线很困难，于是想到要把折线化为直线．由于桥的长度相当于河宽，而河宽是定值，所以桥长是定值．因此，从A点作河岸的垂线，并在垂线上取AC等于河宽，就相当于把河宽预先扣除，找出B、C两点之间的最短路线，问题就可以解决．
解：
如上图，过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长为河宽，连结BC交河岸于D点，作DE垂直于河岸，交对岸于E点，D、E两点就是使两村行程最短的架桥地点．即两村的最短路程是AE＋ED＋DB．
例8在河中有A、B两岛（如下图），六年级一班组织一次划船比赛，规则要求船从A岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再到B岛，最后回到A岛，试问应选择怎样的路线才能使路程最短？
解：
如上图，分别作A、B关于甲岸线、乙岸线的对称点A′和B′，连结A′、B′分别交甲岸线、乙岸线于E、F两点，则A→E→F→B→A是最短路线，即最短路程为：
AE＋EF＋FB＋BA．
证明：
由对称性可知路线A→E→F→B的长度恰等于线段A′B′的长度．而从A岛到甲岸，又到乙岸，再到B岛的任意的另一条路线，利用对称方法都可以化成一条连接A′、B′之间的折线，它们的长度都大于线段A′B′，例如上图中用“·—·—·”表示的路线A→E′→F′→B的长度等于折线AE′F′B的长度，它大于A′B′的长度，所以A→E→F→B→A是最短路线．
第三讲周期问题
例题1. 有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？
这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？
[思路点拨]
这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列，它的一个周期内有5+9+13=27（朵）花。
因为249÷27=9……6，所以，这249朵花中含有9个周期还余下6朵花。
按花的排列规律，这6朵花中前5朵应是红花，最后一朵应是黄花。
解：
249÷（5+9+13）=9……6
红花有：
5×9+5=50（朵）
黄花有：
9×9+1=82（朵）
绿花有：
13×9=117（朵）
答：
最后一朵是黄花。
红花有50朵，黄花有82朵，绿花有117朵。
例题2. 2002年元旦是星期二，那么，2003年1月1日是星期几？
[思路点拨]
2002年平年。
每7天为一个星期，也就是为一个周期；从2002年1月1日到2002年12月31日为365天，到2003年1月1日是第366天。
关键在于一个周期的第一天是星期几
解：
366÷7=52（周）……2天 本题一个周期的第一天是星期二，所以，余2天就是星期三。
答：
2003年的1月1日是星期三。
[练一练]
1、今天是星期四，从明天开始第1800天是星期几？
2、有同样大小的红珠、白珠、黑珠共160个，按4个红珠，，3个白珠，2个黑珠的顺序排列着。
黑珠共有几个？
第101个珠子是什么颜色？
[综合练习]
1、我国农历用鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号。
如果1940年是龙年，那么，1996年是什么年？
2、科学家进行一项实验，每隔6小时做一次记录。
做第10次记录时，挂钟的时针恰好指向7，问：
做第一次记录时，时针指向几？
3、有同样大小的红珠、白珠、黑珠共160个。
按4个红珠、3个白珠、2个黑珠的顺序排列着。
黑珠共有几个？
第101个珠子是什么颜色的？
4、英文字母A、B、C、D按BCDABAACDABAACDABAACD……排列，共250个字母，最后一个字母是什么？
A、B、C、D各是多少？
5、有13名小朋友编成1到13号，依次围成一个圆圈。
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