公务员考试算术问题汇总.docx

1、公务员考试算术问题汇总牛吃草问题例1牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，那么，供25头吃几天？分析：首先，我们要清楚这样两个量是固定不变的：草地上原有的草量；草的生长速度，而这两个不变量题目中都没有直接告诉我们，因此，求出这两个不变量便是解题的关键。一般说来，解答这类应用题可以分成以下几步：第一步：通过比较两种情况求出牧草的生长速度。第一种情况：10头牛吃20天，共吃了1020200（头/天）的草量。第二种情况：15头牛吃10天，共吃了1510150（头/天）的草量。思考：为什么同一片草地，两种情况吃的总草量会不相等呢？这是因为吃的时间不一样

2、。事实上，第一种情况的：200头/天的草量草地上原有的草量20天里新长出来的草量；同样，第二种情况的：150头/天的草量草地上原有的草量10天里新长出来的草量；通过比较，我们就会发现，两种情况的总草量与“草地上原有的草量”无关，与吃的时间有关系。因此，通过比较，我们就能求出“草的生长速度”这一十分关键的量：（200150）（2010）5（头/天）第二步：求出草地上原有的草量。既然牛吃的草可以分成两部分，那么只要用“一共吃的草量”减去“新长出来的草量”就能求出“草地上原有的草量”。200520100（头/天）或者150510100（头/天）第三步：求可以供25头牛吃多少天？（思考：结果会比10天

3、大还是小？）显然，牛越多，吃的天数越少。在这里，我们还是要紧紧抓住“牛吃的草可以分成两部分”来思考。我们可以将25头牛分成两部分：一部分去吃新生的草；另一部分去吃原有的草。因为草的生长速度是5头/天，所以新生的草恰好够5头牛吃，那么吃原有的草的牛应该有25520（头）。当这20头牛将草地原有的草量吃完时，草地上也就没有草了。100（255）5（天）例2： 一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果10人淘水，3小时可淘完；5人淘水8小时可淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人？分析：这道题看起来与“牛吃草”毫不相关，其实题目中也蕴含着两个不变的量：“每小时漏水量”（相当于草的生

4、长速度）与“船内原有的水量”（相当于草地上原有的草量）。因此，这道题的解题步骤与“例1”完全一样，请您自己试一试：（在下面评论里进行分析解答）第一步：第二步：第三步：设x人在一小时内可掏尽匀速进入船内的水,y为2小时淘完要安排人数,则 (10-x)*3=(5-x)*8=(y-x)*2 x=2,y=14第一步：（58-103）（8-3）=2（人小时） 第二步：58-28=24（人小时） 第三步：242+2=14（人） 答：如果要求2小时淘完，要安排14人。牛吃草问题综合练习（）牧场上有一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周。如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？（）有一口水井，如

5、果水位降低，水就不断地匀速涌出，且到了一定的水位就不再上升。现在用水吊水，如果每分吊4桶，则15分钟能吊干，如果每分钟吊8桶，则7分吊干。现在需要5分钟吊干，每分钟应吊多少桶水？（）有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草？（）有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？（）一水库存水量一定，河水均匀入库。5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要6天抽干，需要多少台同

6、样的抽水机？第一讲 行程问题例1. 小明上学时坐车，回家时步行在路上一共用了90分。如果他往返都坐车，全部形程需30分。如果他往返都步行，需多少分？分析：根据“往返都坐车，全部行程需30分”可以算出单程作车需要的时间。再根据“上学时坐车，回家时步行，在路上一共用了90分”可以算出单程步行需要的时间。进而可算出往返都步行所需的时间。解： （90302）2=752 =150（分）答：如果他往返都步行，需150分。例2. 甲、乙两城相距280千米，一辆汽车原定用8小时从甲城开到乙城。汽车行驶了一半路程，在中途停留30分。如果汽车要按原定时间到达乙城，那么，在行驶后半段路程时，应比原定的时速加快多少？

7、分析：要求汽车比原来的时速加快多少，先要求出按原定时间到达，需要的时速。而要求按原定时间到达需要的时速，又要求出行剩下一半的路程，还剩下但是时间。解： 分步解答30分=0.5小时（1） 前一半路程已行了多少小时？82=4（时）（2） 还剩下多少小时？840.5=3.5（时）（3） 后半程每小时应行多少千米？28023.5=40（千米）（4） 原来每小时行多少千米？2808=35（千米）（5） 每小时比原来多行多少千米？4035=5（千米）列综合算式解答2802（8820.5）2808=1403.52808=4035=5（千米）答：应比原定的时速加快5千米。例. 甲、乙两人同时从两地出发，相向而

8、行，距离是100千米。甲每小时行6千米，乙每小时行4千米。甲带着一只狗，狗每小时行10千米。这只狗同甲一起出发，碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直到两人相遇。这只狗一共跑了多少千米？分析：如果想分段算出狗跑的路程，再求出这些路段的和，将很难算出结果来。因此，一定要从整体考虑。要求狗跑的路程，就要求出狗跑的时间，而狗跑的时间正好就是甲、乙两人跑的时间。用狗跑的速度乘以它所跑的时间就可以算出狗跑的路程。解 分步解答（1）甲、乙两人多少小时相遇？100（6+4）=10（时）（2）狗跑的总路程是多少千米？1010=100（千米）列综合算式解答10100（6+4）=1010=10

9、0（千米）答：这只狗一共跑了100千米。综合练习（）上学时坐车，回家时步行，在路上共用去1.5小时，如果往返都坐车，全部行程只要30分钟，如果往返都步行，全程则需要多少小时？（）在一次登山比赛中，小明上山时每分钟走50米，18分钟到达山顶；然后按原路下山，每分钟走75米。求小明上、下山的平均速度？ （）一辆汽车从甲地开往300千米处的乙地去，在开始的120千米内平均速度为每小时40千米，要想使这辆汽车从甲地到达乙地的平均速度为每小时50千米，剩下的路程应以什么速度行驶？（）甲、乙两人同时、同地、同向而行，甲骑车每小时行15千米，乙步行每小时行5千米，甲行了120千米时，转身返回，与乙相遇，求相

10、遇时两人各行了多少千米？（）甲、乙两人同时从A、B 两地相对而行，甲骑车每小时行16千米，乙骑摩托车每小时行65千米。甲离出发点62.4千米处与乙相遇。A、B两地相距多少千米？第二讲盈亏问题例题1：将一些糖果分给幼儿园小班的小朋友，如果每人分3粒，就会余下糖果17粒；如果每人分5粒，就会缺少糖果13粒。问：幼儿园小班有多少个小朋友？这些糖果共有多少粒？分析：用作图的方法来分析。我们知道糖果的总数相等，小朋友的人数也是相等的。 3粒 3粒 3粒 余17粒 5粒 5粒 5粒 缺少13粒 想：每个小朋友分3粒与5粒，相差53=2（粒）； 分的糖果的总数就要相差17+13=30（粒）所以小班的人数是3

11、02=15（人），这批糖果的总数是315+17=62（粒）或51513=62（粒）。这是盈亏问题中的“一盈一亏”的问题，解答这类问题的数量关系是：（盈数+亏数）两次分得的差 = 人数解： （17+13）（53）=302 =15（人）315+17=62（粒）或：51513=62（粒 ）答：有15个小朋友，62粒糖。例题2：学生搬一批砖，每人搬4块，其中5人要搬两次；如果每人搬5块，就有两人没有砖可搬。搬砖的学生有多少人？这批砖共有多少块？分析：用作图的方法来分析。我们知道砖的总数相等，学生的人数也是相等的。 4块 4块 4块 余下的还需要5人搬一次 也就是多余（45）块 5块 5块 5块 就有两

12、人没有搬 也就是缺少（52）块通过分析，我们把问题转化为盈亏问题的一般情形。每人搬砖数相差54=1（块），搬砖的总数就相差（45）+（52）=30（块）所以，搬砖的学生数是301=30（人），砖的总数是430+20=140（块）。解：（45+52）（54） =301=30（人） 430+45=140（块）答：搬砖的学生有30人，这批砖共有140块。例题3. 某校在植树活动中，把一批树苗分给各班，如果每班分18棵，就会余下24棵；如果每班分20棵，正好分完。这个学校有多少个班？这批树苗共有多少棵？分析：本题中树苗的总棵数是不变的，班级数也是不变的，第二次比第一次每班多分2018=2（棵），就是把

13、第一次分后余下的24棵分完，也就是24棵树中有几个2棵，就有几个班。这道题目是盈亏问题中的一种特例。题目中只出现“盈”，也就是一次分配多了，并没有出现“亏”。我们仍然可以按盈亏问题的思路来思考。在以后的题目中，我们还会遇到一道题目中两次都是“盈”的情况和两次都是“亏”的情况。解： 24（2018）=12（个）2012=240（棵）答：这个学习有12个班，这批树苗有240棵。综合练习（1） 小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友？有多少粒糖果？（） 某校安排新生宿舍，如果每间住12人，就会有34人没有宿舍住；如果每间住14人，就会空出4间宿舍。这个学校有多少

14、间宿舍？要安排多少个新生？（） 体育老师和一个朋友一起上街买足球。他发现自己身边的钱，如果买10个“冠军”牌足球，还差42元；后来他向朋友借了1000元，买了31个“冠军”牌足球，结果多了13元。体育老师原来身边有多少元？（） 全班同学去划船，如果减少一条船，那么每条船正好坐9人；如果增加一条船，那么每条船正好坐6人。全班有多少人？（） 小李拿一根绳子在一个圆柱上绕，绕了2圈时绳子还余2.86米，但要绕5圈还差1.85米。问：绳子有多长？圆柱的周长是多少？第三讲 最短路线问题通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件

15、的最近路线即最短路线问题在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的例如，在地球（近似看成圆球）上A、B二点之间的最短路线如何求呢？我们用过A、B两点及地球球心O的平面截地球，在

16、地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上A、B两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线，航海上叫短程线关于这个问题本讲不做研究，以后中学会详讲在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法例1 如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线作点A关于河岸的对称点 A，即作

17、AA垂直于河岸，与河岸交于点C，且使AC=AC，连接AB交河岸于一点P，这时 P点就是饮马的最好位置，连接 PA，此时 PAPB就是侦察员应选择的最短路线证明：设河岸上还有异于P点的另一点P，连接PA，PB， PAPA+PBPA+PBAB=PA+PB=PA+PB，而这里不等式 PAPBAB成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，所以PA+PB是最短路线此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直线段AB，所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等看下面例题例2 如图一只壁虎要从一面墙壁上A点，爬到邻近的另一面墙壁上的B点捕蛾，它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的路线呢？解

18、：我们假想把含B点的墙顺时针旋转90（如下页右图），使它和含A点的墙处在同一平面上，此时转过来的位置记为，B点的位置记为B，则A、B之间最短路线应该是线段AB，设这条线段与墙棱线交于一点P，那么，折线4PB就是从A点沿着两扇墙面走到B点的最短路线证明：在墙棱上任取异于P点的P点，若沿折线APB走，也就是沿在墙转90后的路线APB走都比直线段APB长，所以折线APB是壁虎捕蛾的最短路线由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线

19、例3 长方体ABCDABCD中，AB=4，AA=2，AD=1，有一只小虫从顶点D出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图（1）解：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含D、B两点的两个相邻的面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的平面上 DB间的最短路线就是连结这两点的直线段，这样，从D点出发，到B点共有六条路线供选择从D点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个面摊开在一个平面上（上页图（2），这时在这个平面上D、B间的最短路线距离就是连接D、B两点的直线段，它是直角三角形ABD的斜边，根据勾股定理，DB2=DA2+AB2=（1+2）242=25，DB=

20、5容易知道，从D出发经过后侧面再进入下底面到达B点的最短距离也是5从D点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点将这两个面摊开在同一平面上，同理求得在这个平面上D、B两点间的最短路线（上页图（3），有：DB222+（1+4）2=29容易知道，从D出发经过后侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是29从D点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达B点，将这两个平面摊开在同一平面上，同理可求得在这个平面上D、B两点间的最短路线（见图），DB2=（2+4）2+12=37容易知道，从D出发经过上侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是37比较六条路线，显然情形、中的路线最短，所以小虫从D点出发，经

21、过上底面然后进入前侧面到达B点（上页图（2），或者经过后侧面然后进入下底面到达B点的路线是最短路线，它的长度是5个单位长度利用例2、例3中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，可以解决一些类似的问题，例如求六棱柱两个不相邻的侧面上A和B两点之间的最短路线问题（下左图），同样可以把A、B两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面（下右图），连接A、B成线段AP1P2B，P1、P2是线段AB与两条侧棱线的交点，则折线AP1P2B就是AB间的最短路线圆柱表面的最短路线是一条曲线，“展开”后也是直线，这条曲线称为螺旋线因为它具有最短的性质，所以在生产和生活中有着很广泛的应用如：

22、螺钉上的螺纹，螺旋输粉机的螺旋道，旋风除尘器的导灰槽，枪膛里的螺纹等都是螺旋线，看下面例题例4 景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下左图，如果将金线的起点固定在A点，绕一周之后终点为B点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？解：将上左图中圆柱面沿母线AB剪开，展开成平面图形如上页右图（把图中的长方形卷成上页左图中的圆柱面时，A、B分别与A、B重合），连接AB，再将上页右图还原成上页左图的形状，则AB在圆柱面上形成的曲线就是连接AB且绕一周的最短线路圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线请看下面例题例5 有一圆锥如下图，A、B在同一母线上，B为AO的中点，试求以A为起点

23、，以B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线解：将圆锥面沿母线AO剪开，展开如下图（把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面时，A、B分别与A、B重合），在扇形中连AB，则将扇形还原成圆锥之后，AB所成的曲线为所求例6 如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米， B点沿母线到桶口 D点的距离是8厘米，而C、D两点之间的（桶口）弧长是15厘米如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？分析 我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于B点在里面，不便于作图，设想将BD延长到F，使DFBD，即以直线CD为对称轴，作出点

24、B的对称点F，用F代替B，即可找出最短路线了解：将圆柱面展成平面图形（上图），延长BD到F，使DF=BD，即作点B关于直线CD的对称点F，连结AF，交桶口沿线CD于O因为桶口沿线CD是 B、F的对称轴，所以OBOF，而A、F之间的最短线路是直线段AF，又AF=AOOF，那么A、B之间的最短距离就是AOOB，故蚂蚁应该在桶外爬到O点后，转向桶内B点爬去延长AC到E，使CE=DF，易知AEF是直角三角形，AF是斜边，EF=CD，根据勾股定理，AF2=（AC+CE）2+EF2 （128）2152625=252，解得AF=25即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米例7 A、B两个村子，中间隔了一条小河（如下图

25、），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A、B两个村子之间路程最短分析 因为桥垂直于河岸，所以最短路线必然是条折线，直接找出这条折线很困难，于是想到要把折线化为直线由于桥的长度相当于河宽，而河宽是定值，所以桥长是定值因此，从A点作河岸的垂线，并在垂线上取AC等于河宽，就相当于把河宽预先扣除，找出B、C两点之间的最短路线，问题就可以解决解：如上图，过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长为河宽，连结BC交河岸于D点，作DE垂直于河岸，交对岸于E点，D、E两点就是使两村行程最短的架桥地点即两村的最短路程是AEEDDB例8 在河中有A、B两岛（如下图），六年

26、级一班组织一次划船比赛，规则要求船从A岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再到B岛，最后回到A岛，试问应选择怎样的路线才能使路程最短？解：如上图，分别作A、B关于甲岸线、乙岸线的对称点A和B，连结A、B分别交甲岸线、乙岸线于E、F两点，则AEFBA是最短路线，即最短路程为：AEEFFBBA证明：由对称性可知路线AEFB的长度恰等于线段AB的长度而从A岛到甲岸，又到乙岸，再到B岛的任意的另一条路线，利用对称方法都可以化成一条连接A、B之间的折线，它们的长度都大于线段 AB，例如上图中用“”表示的路线AEFB的长度等于折线AEFB的长度，它大于AB的长度，所以AEFBA是最短路线第三讲 周期问题例题

27、1. 有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？思路点拨这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列，它的一个周期内有5+9+13=27（朵）花。因为24927=96，所以，这249朵花中含有9个周期还余下6朵花。按花的排列规律，这6朵花中前5朵应是红花，最后一朵应是黄花。解：249（5+9+13）=96红花有：59+5=50（朵）黄花有：99+1=82（朵）绿花有：139=117（朵）答：最后一朵是黄花。红花有50朵，黄花有82朵，绿花有117朵。例题2. 2002年元旦是星期二，那么，2003年1月1日是星

28、期几？思路点拨2002年平年。每7天为一个星期，也就是为一个周期；从2002年1月1日到2002年12月31日为365天，到2003年1月1日是第366天。关键在于一个周期的第一天是星期几解：3667=52（周）2天 本题一个周期的第一天是星期二，所以，余2天就是星期三。 答：2003年的1月1日是星期三。 练一练1、今天是星期四，从明天开始第1800天是星期几？2、有同样大小的红珠、白珠、黑珠共160个，按4个红珠，3个白珠，2个黑珠的顺序排列着。黑珠共有几个？第101个珠子是什么颜色？综合练习1、我国农历用鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号。如果1940年是龙年，那么，1996年是什么年？2、科学家进行一项实验，每隔6小时做一次记录。做第10次记录时，挂钟的时针恰好指向7，问：做第一次记录时，时针指向几？3、有同样大小的红珠、白珠、黑珠共160个。按4个红珠、3个白珠、2个黑珠的顺序排列着。黑珠共有几个？第101个珠子是什么颜色的？4、 英文字母A、B、C、D按BCDABAACDABAACDABAACD排列，共250个字母，最后一个字母是什么？A、B、C、D各是多少？5、有13名小朋友编成1到13号，依次围成一个圆圈。现