[条件探究1] 若将典例1中条件“z＝（m＋3）＋（m－1）i在复平面内对应的点在第四象限”变为“复数z的共轭复数＝1＋2i（i为虚数单位）”，则复数z在复平面内对应的点在第几象限？
解 由条件知z＝1－2i，其在复平面内对应的点为（1，－2），在第四象限．
[条件探究2] 若将典例1中条件变为“复数（1－i）（a＋i）在复平面内对应的点在第二象限”，求实数a的取值范围．
解 ∵复数（1－i）（a＋i）＝a＋1＋（1－a）i在复平面内对应的点在第二象限，∴∴a<－1.即实数a的取值范围是（－∞，－1）．
（2017·全国卷Ⅲ）设复数z满足（1＋i）z＝2i，则|z|＝（ ）
A.B.C.D．2
先求z的代数形式，再求|z|.
答案 C
解析 由（1＋i）z＝2i得z＝＝1＋i，∴|z|＝.故选C.
方法技巧
复数几何意义及应用
1．复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi（a，b∈R）⇔Z（a，b）⇔.见典例1.
2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
3．|z|的几何意义：
令z＝x＋yi（x，y∈R），则|z|＝，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离．见典例2.
冲关针对训练
1．（2014·全国卷Ⅱ）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝（ ）
A．－5B．5C．－4＋iD．－4－i
答案 A
解析 由题意得z2＝－2＋i，∴z1z2＝（2＋i）（－2＋i）＝－5，故选A.
2．若复数z满足①|z|≥1；②|z＋i|≤|－1－2i|，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．
答案 4π
解析 设z＝x＋yi（x，y∈R），由|z|≥1及|z＋i|≤|－1－2i|易得x2＋y2≥1及x2＋（y＋1）2≤5知z在复平面内对应图形的面积为5π－π＝4π.
题型3 复数的代数运算
（2016·全国卷Ⅲ）若z＝1＋2i，则＝（ ）
A．1B．－1C．iD．－i
先作乘法z·运算，然后作除法运算．
答案 C
解析 ∵z＝（1＋2i）（1－2i）＝5，∴＝＝i，故选C.
方法技巧
1．加减乘除运算法则
（1）复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．
（2）记住以下结论，可提高运算速度：
①（1±i）2＝±2i；②＝i；③＝－i；④＝b－ai；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i（n∈N）．
2．复数方程要求解，运用概念相等来解决
解决复数与三角函数、方程等综合问题，关键是抓住复数的实部、虚部，运用好复数的概念来解决问题．
冲关针对训练
＋2018＝________.
答案 2i
解析 原式＝＋1009
＝i＋1009＝i＋i1009＝i＋i4×252＋1＝i＋i＝2i.
1．（2017·全国卷Ⅰ）设有下面四个命题
p1：
若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：
若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：
若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：
若复数z∈R，则∈R.
其中的真命题为（ ）
A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4
答案 B
解析 设z＝a＋bi（a，b∈R），z1＝a1＋b1i（a1，b1∈R），z2＝a2＋b2i（a2，b2∈R）．
对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0且a≠0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．
对于p2，若z2∈R，即（a＋bi）2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∈/R，所以p2为假命题．
对于p3，若z1z2∈R，即（a1＋b1i）（a2＋b2i）＝（a1a2－b1b2）＋（a1b2＋a2b1）i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0⇒/a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．
对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.
2．（2018·安徽安庆模拟）设i是虚数单位，如果复数的实部与虚部相等，那么实数a的值为（ ）
A.B．－C．3D．－3
答案 C
解析 ＝，由题意知2a－1＝a＋2，解之得a＝3.故选C.
3．（2017·浙江高考）已知a，b∈R，（a＋bi）2＝3＋4i（i是虚数单位），则a2＋b2＝________，ab＝________.
答案 5 2
解析 （a＋bi）2＝a2－b2＋2abi.
由（a＋bi）2＝3＋4i，得解得a2＝4，b2＝1.
所以a2＋b2＝5，ab＝2.
4．（2017·天津高考）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．
答案 －2
解析 ∵a∈R，＝＝＝－i为实数，∴－＝0，∴a＝－2.
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一、选择题
1．（2018·湖南长沙四县联考）i是虚数单位，若复数z满足zi＝－1＋i，则复数z的实部与虚部的和是（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案 C
解析 复数z满足zi＝－1＋i，可得z＝＝＝1＋i.故复数z的实部与虚部的和是1＋1＝2，故选C.
2．（2018·湖北优质高中联考）已知复数z＝1＋i（i是虚数单位），则－z2的共轭复数是（ ）
A．－1＋3iB．1＋3iC．1－3iD．－1－3i
答案 B
解析 －z2＝－（1＋i）2＝－2i＝1－i－2i＝1－3i，其共轭复数是1＋3i，故选B.
3．（2017·河南洛阳模拟）设复数z满足＝|1－i|＋i（i为虚数单位），则复数z＝（ ）
A.－iB.＋iC．1D．－1－2i
答案 A
解析 复数z满足＝|1－i|＋i＝＋i，则复数z＝－i.故选A.
4．（2018·广东测试）若z＝（a－）＋ai为纯虚数，其中a∈R，则＝（ ）
A．iB．1C．－iD．－1
答案 C
解析 ∵z为纯虚数，∴∴a＝，
∴＝＝＝＝－i.故选C.
5．（2018·安徽江南十校联考）若复数z满足z（1－i）＝|1－i|＋i，则z的实部为（ ）
A.B.－1C．1D.
答案 A
解析 由z（1－i）＝|1－i|＋i，得z＝＝＝＋i，z的实部为，故选A.
6．（2017·安徽十校联考）若z＝，则|z|＝（ ）
A.B．1C．5D．25
答案 B
解析 解法一：
z＝＝＝－i，故|z|＝1.故选B.
解法二：
|z|＝＝＝＝1.故选B.
7．（2017·河南百校联盟模拟）已知复数z的共轭复数为，若（1－2i）＝5－i（i为虚数单位），则在复平面内，复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案 A
解析 依题意，设z＝a＋bi（a，b∈R），则＋＝2a＋bi，故2a＋bi＝＝1＋i，
故a＝，b＝，则在复平面内，复数z对应的点为，位于第一象限．故选A.
8．（2018·新乡、许昌、平顶山调
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