这时，x=0
由预算方程得，y=M/P
最优商品组合为（0，M/Py）
当b=Px/Py时，预算线上各点都是最优商品组合点。
4.若需求函数为q=a-bp，a、b>0,求:
⑴当价格为P1时的消费者剩余是多少？
⑵当价格由P1变到P2时消费者剩余变化了多少？
解：
（i）由g=a-bP，得反需求函数为P卩b
设价格为pl时，需求量为
qi,qi=a-bPi
设价格为p2时，需求量为q2,q2=a-bp2
消费者剩余变化量
5.X公司和Y公司是机床行业的两个竞争者。
这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：
公司X:
Px=i000-5QX，公司Y:
Py=i600-4Qy。
这两家公司现在的销售量分别为100单位X和250单位Y。
（1）求X和丫当前的价格弹性。
（2）假定丫降价后，使Qy增加到300单位，同时导致X的销售量Qx下降到75单位，试问X公司产品X的交叉价格弹性是多少？
解：
（a）由题设，Qx=i00，Qy=25Q贝U
Px=i000-5Qx=i000-5Xi00=500
Py=i600-4Qy=i600-4X250=600
于是x之价格弹性
EdQxPxi6003
dxdPxQy42505
y之价格弹性
匚dQy
Py
1600
3
dydPy
Qy
4250
5
（b）由题设,
Q'
y=300，Q
x=75
这样，P
y=1600-4Q
y
=1600-4x300
=400
△Qx=Q'x-Qx
=75-100
=-25
△Py=P'y-Py
=400-600
=-200
于是，X公司产品x对丫公司产品y的交叉价格弹性
25（6000400）/2
200（10075）/2
11000
8175
125
175
=5/7
即交叉价格弹性为5/7
6.令消费者的需求曲线为p=a-bp,a、b>0,并假定征收lOOt%的销售税，使得他支付的价格提高到P（1+t）。
证明他损失的消费者剩余超过政府征税而提高的收益。
ap
q1〒
又设价格为
得q2
解：
设价格为p时，消费者的需求量为q1，由p=a-bq1，得
P（1+t）时，消费者的需求量为q2,由P=a-bq2a（1t）P
b
消费者剩余损失
qiq2
0（abq）dqpqi[0（abq）dqP（1t）q?
]
qi
（abq）dqP（1t）q?
pq1
q?
（aq：
q2：
（1t）pq?
pq
2
（aq1bq^）（aq?
bq|）（1t）pq2pq1
22
政府征税而提高的收益=（1+t）pq2-pq1
消费者剩余亏损一政府征税而提高的收益
1
aq
2
aq
22
2b
22
2b
因此，消费者剩余损失总是超过政府征税而提高的收益。
7.假定效用函数为U=q05+2Mq为消费的商品量，M为收入。
求：
（1）需求曲线；⑵反需求曲线；（3）p=0.05,q=25时的消费者剩余。
8.
解：
（1）根据题意可得，商品的边际效用
1
进而得，q帚，这就是需求曲线。
（3）当p=0.05,q=25时，
11
q4111-1—
消费者剩余=—dqpq-q70pq-q2pq一2520.05251.25
04角222
8•若某消费者对X、丫的效用函数如下：
22
U（x）=20X-X，U（y）=40Y-4Y，且Px=2元，Py=4元，现有收入24元，该消费者要花完
全部现有收入并获得最大效用，应购买X、丫各多少？
2x4y242x4y24
解：
MUxMUy202x408y
Pxpy—2——4—
解得：
y3
x6
9.某消费者的效用函数为U=XY,Px=1元，Py=2元，M=40元，现在Py突然下降到1
元。
试问:
（1）Y价格下降的替代效应使他买更多还是更少的丫?
（2）Y价格下降对丫需求的收入效应相当于他增加或减少多少收入的效应？
收入效应使他
买更多还是更少的丫?
（3）了价格下降的替代效应使他买更多还是更少的X?
收入效应使他买更多还是更少的
X?
丫价格下降对X需求的总效应是多少？
对丫需求的总效应又是多少？
解：
⑴先求价格没有变化时，他购买的X和丫的量。
这时已知，Px=1，Py=2，U=XY
Xy，MUy
MUx
Px
解「Y=X/2
X+2Y=40
得X20（即图中0X1）
Y=10（即图中0Y1）
再求购买20单位的X、10单位的丫在新价格下需要的收入
M=Px•x+Py•y=1X20+1X10=30（元）
最后，求在新价格和新收入（30元）下他购买的X和丫的量
•••Px=1，Py=1，MU=丫MU=X
•••MUx/Px=MUy/Py即为：
Y/仁X/1
预算约束为：
X+Y=30
解「丫=X
X+Y=30
得.'X=15
Y=15
因此，丫价格下降使他购买更多的y,多购买（15-10）=5单位，在图中从0丫1增加到0丫2
（2）先求y价格下降后，他实际购买的X和丫的量。
•••Px=1，Py=1，40，MU=Y，MU=X
预算方程为：
X+Y=40
解「丫=X
X+Y=50
得.'X=20
Y=20
可见，丫价格下降的收入效应使他购买更多的丫即在图中从0丫2增加到0丫3购买
（20-15）=5单位。
由于在新价格和收入为30元时，他购买15单位的X、15单位的丫。
在新价格下，要使他能购买20单位X、20单位丫，需增加10元收入，即收入为40元。
所以，要增购5单位丫的话，必需增加10元收入，即图中预算线上升到A'B。
因此，丫价格下降对丫需求的收入效应相当于他增加10元收入的效应。
（3）Y的价格下降的替代效应使他买更少的X,少买（20-15）=5单位，即图中X的购买量从0x1降为0x2收入效应使他购买更多的X,多买（20-15）=5单位，即图中X的购买量从0x2恢复到OX1丫价格下降对X需求的总效应为零。
y价格下降的替代效应使他多购买5单位Y,收入效应使他也多购买5单位丫。
故丫价格
下降对丫需求的总效应为10单位，即图中丫1丫3=丫丫2+丫丫3
10.已知生产函数为Q2L0-6K0-2，请问：
（a）该生产函数是否为齐次函数？
次数为若干？
（b）该生产函数的规模报酬情况。
（c）假如L与K均按其边际产量取得报酬，当L与K取得报偿后，尚有多少剩余产值？
解：
（a）Qf（L,K）2L0'6K0'2
f（L,K）2（L）0B（K）02
0.6[0.60.20.2
2LK
0.80.60.2
2LK
0.8q
•••该生产函数为齐次函数，其次数为0.8。
（b）根据a）题f（L,K）0.8Q
可知该生产函数为规模报酬递减的生产函数。
（c）对于生产函数Q2L0.6K0.2
MPPl2K0.20.6L0.41.2L0.4K0.2
MPPk2L0.80.2K0.80.2K080.4L0.6K0.8
这里的剩余产值是指总产量减去劳动和资本分别按边际产量取得报酬以后的余额，故
剩余产值=Q-L•MPRK•MPP
2L0.6K0.2L1.2L0.4K0.2K0.4L0'6K0.8
2L0.6K0.21.2L0'6K0.20.4L0'6K0.2
0.4L0.6K0.20.2Q
11.已知生产函数为Qf（K,L）
KL
（a）求出劳动的边际产量及平均产量函数。
（b）考虑该生产函数的边际技术替代率函数（MRTS的增减性
（c）考虑该生产函数劳动的边际产量函数的增减性。
解：
（a）劳动的边际产量函数MP&dQ/dL
d（10KL）
dL（K__）
10K（KL）10KL
（KL）2
2
10K
（KL）
劳动的平均产量函数APP=Q/L
10KL1
KLL10K
KL
（b）生产函数边际技术替代率指产量不变条件下一种生产要素增加的投入量与另一种生
产要素相应减少的投入量之比，即-△K/△L或-dK/dL。
为此，需要从生产函数中先求得K
和L之间的关系，然后从这一关系中求得dK/dL0由生产函数Q=」°0
KL
得QK+QL
=1OKL
K（Q-10L）
则边际技术替代率MRTS=-dK/dL
Q（Q10L）QL（10）
（Q10L）2
0
（Q10L）2
当dK/dL>0时,
dK/dL<0
所以该生产函数的边际技术替代率函数为减函数。
（c）MPPl
10K2
（KL）2
d
dL
MPPl
2
d10K2
dL（KL）2
10K22（KL）
4
（KL）
20K
2
（KL）
所以该生产函数的边际产量函数为减函数。
12.某公司拟用甲、乙两厂生产同一种产品，如果用x代表甲厂的产量,
22
产量，其总成本函数为C=x+3y-xy
（a）求该公司在生产总量为30单位时使总成本最低的产量组合。
y代表乙厂的
（b）如用拉格朗日函数求解（a）题，请解释入的经济意义解：
（a）这个约束最佳化问题的数学表达如下：
minC=x2+3y2-xy
S.t.x+y=30
设拉格朗日函数为
2
X=x+3y2-xy+（xy30）
X
2xy
0
y2x
x
X
6yx
0
x6y
y
X
xy30
0
分别对x、y及入求偏导，得
由
（1），
（2）式得
y-2x=x-6y
3x=7y
x=7/3y
代入（3）式中，
7/3y+y=3。
y=9
x=7/3y=21
（b）—般说来，任何拉格朗日函数入都表明约束条件增减一个单位时对原始目标函数的边际影响。
如在本题中，入可视为总产量为30个单位时的边际生产成本，它表明如果该公司原先产量为29单位，而现在增至30单位，则其总成本将增加33。
这种边际关系对企业估价放宽某个约束条件可能得到的效益是十分重要的。
13.已知生产函数为Q=min（3K，4L）
（a）作出Q=100时的等产量曲线。
（b）推导出边际技术替代率函数。
（c）讨论其规模报酬情况。
解：
（a）生产函数Q=min（3K，4L）表示定比生产函数，它反映了资本和劳动在技术上必须以固定比例投入的情况，本题Q=100时等产量曲线为如图所示的直角形式，资本与劳动
的必要比例为K/L=4/3。
且3K=4L=100即K=100/3，L=25
（b）由
3K=4L，推出
4
K—1
3
dKd4
4
MRTS
（L）
—
dLdL3
3
（c）
Qf（L,K）min（3K,4L）
f（L,K）min（3K,4L）
min（3K,4L）min（3K,4L）Q
•••该生产函数为规模报酬不变
14•若很多相同厂商的长期成本函数都是LTOG-4Q2+8Q如果正常利润是正的，厂商
将进入行业；如果正常利润是负的，厂商将退出行业
（1）描述行业的长期供给函数。
⑵假设行业的需求函数为Q=2000-100P，试求行业均衡价格，均衡产量和厂商的人数。
322
解：
⑴已知LTC=Q-4Q+80则LAC=Q-4Q+8,欲求LAC的最小值，只要令dLAC/dQ=0即卩20-4
=0二Q=2这就是说，每个厂商的产量为Q=2时，长期平均成本最低，其长期平均成本
为：
LAC=2-4X2+8=4。
当价格P等于长期平均成本4时，厂商既不进入，也不退出，即整个行业处于均衡状态。
故行业长期供给函数即供给曲线是水平的，行业的长期供给函数为P=4
（2）已知行业的需求曲线为Q=2000-100P，而行业的供给函数为P=4,把P=4代入Q
=2000-100P中可得：
行业需求量QD=2000-100X4=1600
由于每个厂商长期均衡产量为2,若厂商有n个，则供给量Qs=2n。
行业均衡时，Q=
Qs,即卩1600=2n,An=800。
故整个行业均衡价格为4,均衡产量为1600，厂商有800家。
15.假设利润为总收益减总成本后的差额，总收益为产量和产品价格的乘积，某产品总成本（单位：
万元）的变化率即边际成本是产量（单位：
百台）的函数C=4+Q/4，总收益的变化率即边际收益也是产量的函数R'=9-Q,试求：
（a）产量由1万台增加到5万台时总成本与总收入各增加多少？
（b）产量为多少时利润极大？
（c）已知固定成本FC=1（万元），产量为18时总收益为零，贝U总成本和总利润函数如何？
最大利润为多少？
解：
（a）由边际成本函数C'=4+Q/4积分得
2
总成本函数c=40+1/8Q+a（a为常数）
当产量由1万台增加到5万台时，
总成本增量△C=（4X5+25/8+a）-（4+1/8+a）
=19（万元）
由边际收益函数及R'=9-Q积分得
总收益函数R=9Q-1/2Q+b（b为常数）
当产量从1万台增加到5万台时，
总收益增量△R=（45-25/2+b）-（9-1/2+b）
=24（万元）
R
C
（b）
'R'
Q
C'9Q4-
4
5
-Q
5
4
令
'0
求得
Q=4（万台）
当产量为4万台时利润最大
（C）
固定成本FC=1
即在（a）题中求得的总成本函数中常数a=1
•••总成本函数C-Q24Q1
8
又tQ=18时，R=0
11
即R9Q-Q2b918—182b0
22
求得b=0
总收益函数R=9Q-1/2Q
AA
RC9Q—Q2-Q24Q1
则28
5Q25Q1
8
又由（b）题的结论
当产量Q=4万台时利润极大
总成本C1Q24Q1142441
8
8
=19（万元）
总收益R9Q1Q29
414232（万元）
2
2
总利润RC3219
13（万元）
16.完全竞争行业中某厂商的成本函数为STC=6—6Q+30Q+40,成本用美元计算，假
设产品价格为66美元。
（1）求利润极大时的产量及利润总额。
（2）由于竞争市场供求发生变化，由此决定的新的价格为30美元，在新的价格下，厂商是
否会发生亏损？
如果会，最小的亏损额为多少？
（3）该厂商在什么情况下才会退出该行业？
解：
（1）已知厂商的短期成本函数为STC=Cf-6Q2+30Q+40则SMC=dSTC/dQ=312Q+30,又知P=66美元。
利润极大化的条件为P=SMC卩66=302—120+30,解方程得：
Q=6，Q=2
出现两个产量值时，可根据利润极大化的充分条件来判断，即根据空略来判断
dQ2dQ2
口CC（66）'0。
只有当Q=6dQ
d2TR
矿，因此利润极大值为：
n=tr-tc=
323
PQ-（Q-6Q+30Q+40）=66X6-（6-6
2
X6+30X6+40）=176,即利润极大值为176美元。
（2）由于市场供求发生变化，新的价格为P=30美元，厂商是否会发生亏损？
仍要根据P
=MC所决定的均衡产量计算利润为正还是为负。
不论利润极大还是亏损最小，均衡条件都为P=MQ即30=3Q-12Q+30,.・.Q=4Q=0（没有经济意义，舍去）。
一般来说，方程只有一个
有经济意义的解时可以不考虑充分条件。
需要验证是否满足充分条件也是可以的。
当Q=4时,
222
等=6X4-12=12>0，即帶靜，故24是利润最大或亏损最小的产量。
利润n
=TR-TOPQ-（Cf-6Q2+30Q+40）=30X4-（4364230440）8，可见，当价格为30元时，
厂商会发生亏损，最小亏损额为8美元。
（3）厂商退出行业的条件是PvAVC勺最小值。
：
TC=Q5-6Q2+30Q+20tVC=Q-6Q2+30Q
•••AVC=VC/Q=Q-6Q+30要求AVC最低点的值，只要令dAVC/dQ=0即dAVC/d*2Q-6=0,二
Q=3当Q=3时AVC=32633021，可见，只要价格P<21，厂商就会停止生产。
17.完全竞争行业中某厂商的成本函数为STSQ5—6Q+30Q+40,成本用美元计算，假设产品价格为66美元。
（1）求利润极大时的产量及利润总额。
（2）由于竞争市场供求发生变化，由此决定的新的价格为30美元，在新的价格下，厂商
是否会发生亏损？
如果会，最小的亏损额为多少？
（3）该厂商在什么情况下才会退出该行业？
解：
（1）已知厂商的短期成本函数为STC=Q-6Q2+30Q+40则SMC=dSTC/dQ=3Q2Q+30,又知P=66美元。
利润极大化的条件为P=SMC卩66=302—120+30,解方程得：
Q=6,Q=2
出现两个产量值时，可根据利润极大化的充分条件来判断，即根据空略来判断
dQ2dQ2
哪个产量水平使利润极大,
芳6Q12,当96时，ddTC=24；当42时祭0而
PQ-（Qi-6Q2+30Q+40）=66X6-（63-6X62+30X6+40）=176,即利润极大值为176美元。
（2）由于市场供求发生变化，新的价格为P=30美元，厂商是否会发生亏损？
仍要根据P
=MC所决定的均衡产量计算利润为正还是为负。
不论利润极大还是亏损最小，均衡条件都为P=MC即30=3Q-12Q+30,.・.Q=4Q=0（没有经济意义，舍去）。
一般来说，方程只有一个有经济意义的解时可以不考虑充分条件。
需要验证是否满足充分条件也是可以的。
当Q=4时，
=TR-TOPQ-（d-6Q2+30Q+40）=30X4-（4364230440）8，可见，当价格为30元时，
厂商会发生亏损，最小亏损额为8美元。
（3）厂商退出行业的条件是PvAVC勺最小值。
：
TC=Q5-6Q2+30Q+20tVC=Q-6Q2+30Q
•••AVC=VC/Q=Q-6Q+30要求AVC最低点的值，只要令dAVC/dQ=0即dAVC/d*2Q-6=0，二
Q=3当Q=3时AVC=32633021，可见，只要价格P<21，厂商就会停止生产。
18.若很多相同厂商的长期成本函数都是LTC=CI-4Q2+8Q,如果正常利润是正的，厂商
将进入行业；如果正常利润是负的，厂商将退出行业。
（1）描述行业的长期供给函数。
（2）假设行业的需求函数为Q=2000—100P,试求行业均衡价格，均衡产量和厂商的人
数。
解：
（1）已知LTC=Qf-4Q2+80则LAOQ-4Q+8,欲求LAC的最小值，只要令dLAC/dQ=0g卩20-4二0二Q二2这就是说，每个厂商的产量为Q=2时，长期平均成本最低，其长期平均成本为：
LAC=2-4X2+8=4当价格P等于长期平均成本4时，厂商既不进入，也不退出，即整个行业处于均衡状态。
故行业长期供给函数即供给曲线是水平的，行业的长期供给函数为P=4。
（2）已知行业的需求曲线为Q=2000-100P，而行业的供给函数为P=4,把P=4代入Q
=2000-100P中可得：
行业需求量Q=2000-100X4=1600
由于每个厂商长期均衡产量为2,若厂商有n个，则供给量Qs=2n。
行业均衡时，Q=
Qs,即卩1600=2n,An=800。
故整个行业均衡价格为4,均衡产量为1600，厂商有800
豕。
19.假设一个垄断厂商面临的需求曲线为P=10-3Q,成本函数为TC-&+2Q
（1）求利润极大时的产量、价格和利润。
（2）如果政府企图对该垄断厂商采取限价措施迫使其达到完全竞争产业所能达到的产量水平,则限价应为多少?
（3）如果政府打算对该垄断厂商征收一笔固定的调节税,以便把该厂商所获得的超额利润都拿去,试问这笔固定税的总额是多少?
2
解：
⑴已知P-10-3Q，贝UM陰10-6Q又知成本函数TC-Q+2Q二MC-（TC）'-2Q+2
利润极大化的条件是MC=MR
即2Q+2-10-6Q得Q-1
把Q=1代入P-10-3Q中得：
P-10-3X1-7
利润n-TR-TC-PQ-（Cf+20）-7X1-（1
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