平行四边形复习教师版讲义.docx

平行四边形复习教师版讲义.docx

《平行四边形复习教师版讲义.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平行四边形复习教师版讲义.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

平行四边形复习教师版讲义

基本内容四边形复习

知识精要

多边形：

1、多边形的定义：

由一些线段首尾顺次连结组成的图形，叫做多边形。

2、多边形的边：

组成多边形的各条线段叫做多边形的边。

3、多边形的顶点：

多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。

4、多边形的对角线：

连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

5、多边形的周长：

多边形各边的长度和叫做多边形的周长。

6、凸多边形：

把多边形的任何一条边向两方延长，如果多边形的其他各边都在延长线所得直线的问旁，这样的多边形叫凸多边形。

说明：

一个多边形至少要有三条边，有三条边的叫做三角形；有四条边的叫做四边形；有几条边的叫做几边形。

今后所说的多边形，如果不特别声明，都是指凸多边形。

7、多边形的角：

多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。

8、多边形的外角：

多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。

注意：

多边形的外角也就是与它有公共顶点的内角的邻补角。

9、n边形的对角线共有

条。

说明：

利用上述公式，可以由一个多边形的边数计算出它的对角线的条数，也可以由一个多边形的对角线的条数求出它的边数。

10、多边形内角和定理：

n边形内角和等于（n－2）180°。

平行四边形：

1、平行四边形的定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形性质：

性质定理1：

平行四边形的对边相等。

性质定理1推论：

夹在平行线间的平行线段相等。

性质定理2：

平行四边形的对角相等。

性质定理3：

平行四边形的两条对角线互相平分。

性质定理4：

平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

3、平行四边形判定定理

判定定理1：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

判定定理2：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

判定定理3：

对角线互相平分的四边形是平行四边形。

判定定理4：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

说明：

（1）平行四边形的定义、性质和判定是研究特殊平行四边形的基础。

同时又是证明线段相等，角相等或两条直线互相平行的重要方法。

（2）平行四边形的定义即是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法。

特殊四边形定义：

1、矩形：

有一个内角是直角的平行四边形。

2、菱形：

有一组邻边相等的平行四边形。

3、正方形：

有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形。

三、性质定理

图形

性质定理

判定定理

矩形

1、四个角都是直角；

2、两条对角线相等。

1、有三个内角是直角的四边形。

2、对角线相等的平行四边形。

菱形

1、四条边都相等；

2、对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角。

1、四条边都相等的四边形。

2、对角线互相垂直的平行四边形。

正方形

1、四个角都是直角，四条边都相等；

2、对角线相等，且互相垂直，每条对角线平分一组内角。

1、一组邻边相等的矩形；

2、有一个内角是直角的菱形。

热身练习

一.选择题：

1、下列说法不正确的是（ D ）

（A）正方形的对角线互相垂直且相等    

（B）对角线相等的菱形是正方形

（C）邻边相等的矩形是正方形

（D）有一个角是直角的平行四边形是正方形 

2、菱形具有而平行四边形不具有的性质是（  C）

（A）对角线互相平分    （B）邻角互补   （C）每条对角线平分一组对角   （D）对角相等

3、如图已知：

矩形ABCD中，CE⊥BD于E，∠DCE:

∠ECB=3:

1，则∠ACE=（  B）

（A）30°    （B）45°   （C）60°   （D）40°

4、下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ D ）

（A）平行四边形    （B）等腰直角三角形   （C）等边三角形   （D）菱形

5、如图，E、F是□ABCD两对边的中点，则图中平行四边形的个数是（  C）

（A）4    （B）6   （C）7   （D）8

6、下列说法正确的是（  C）

（A）对角相等的四边形是矩形     

（B）有一个角是直角的四边形是矩形   

（C）对角互补的平行四边形是矩形

（D）三个角相等的四边形是矩形

7、顺次连结下列四边形各边中点所得的四边形是矩形的是（  D ）

（A）等腰梯形    （B）矩形    （C）平行四边形    （D）菱形

二.填空题：

1、□ABCD的周长为56cm，对角线AC、BD交于O，ΔABO与ΔBCO的周长之差4cm，则AD=    cm

2、对角线      的四边形是矩形。

  对角线      的四边形是菱形。

3、在□ABCD中，AB=6cm，BC=10cm，∠B=30°，则S□ABCD=    cm。

4、平行四边形一边长为10，一条对角线长12，则它的另一条对角线的取值范围是    。

5、顺次连结四边形各中点所得的四边形是         形。

如果新四边形的两邻边分别长3cm、4cm，那么原四边形的两条对角线之和为     cm。

答案：

1.：

2

2.：

互相平分且相等，互相垂直平分

3.：

30

4.：

大于8但小于32

5.：

平行四边形，14

精解名题

1、已知：

如图，在平行四边形ABCD中，DM=BN，BE=DF，求证：

四边形MENF是平行四边形

提示：

先证△MDE≌△NBE得∠MED=∠BFN，ME=NF进而得到ME∥NF于是四边形ENFM是平行四边

2、如图，已知：

两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，求证重叠部分为菱形

证：

过A作AE⊥BC，AF⊥DC，垂足为E、F，则∠AEB=∠AFD

∵AD∥BCAB∥DC

∴四边形ABCD是平行四边形

∴∠ABE=∠ADF

又∵AE=AF

△ABE≌△ADF

AB=AD

四边形ABCD是菱形

3、已知：

如图，四边形ABCD中，∠ABC和∠ADC=

，E、F分别是对角线AC、BD的中点。

求证：

EF⊥BD

一、证明：

连结BE、DE

∵∠ABC=90°，AE=CE

∴BE=

AC

同理DE=

AC

∴DE=BE

又∵DF=BF

∴EF⊥BD

4、某地有四个村庄A、B、C、D，它们正好位于一个正方形的四个顶点，正方形边长为a米。

计划在四个村庄联合架设一条电话线路，按照如下方案设计，如图中线剖分，求出所需电线长？

5、解过E作EG⊥AD，垂足为G，

∵∠DAE=30°

∴AE=2GE

设GE=x，则AE=2x

∵AE2=AG2+GE2∴

解得

∴EF=AB-2GE=a-2x

由正方形的对称性得，所求电线总长为4AE+EF=8x+（a-2x）=6x+a=

5.已知：

如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，点P是射线BC上的一个动点，∠PAQ=60°，交射线CD于点Q，设点P到点B的距离为x，PQ=y．

（1）求证：

△APQ是等边三角形；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）如果PD⊥AQ，求BP的值．

．解：

（1）联结AC．在菱形ABCD中，

∵AB=BC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形．……………………………（1分）

∴AC=AB，∠BAC=∠BCA=60°．

∵∠PAQ=60°，∴∠BAP=∠CAQ．……………………………………………（1分）

∵AB∥CD，∠B=60°，∴∠BCD=120°．

∴∠ACQ=∠B=60°．

∴△ABP≌△ACQ．………………………………………………………………（1分）

∴AP=AQ．………………………………………………………………………（1分）

∴△APQ是等边三角形．………………………………………………………（1分）

（2）由△APQ是等边三角形，得AP=PQ=y．

作AH⊥BC于点H，由AB=4，BH=2，∠B=60°，得AH=

．………（1分）

∴

，即

．………………………………（1分）

定义域为x≥0．…………………………………………………………………（1分）

（3）（i）当点P在边BC上时，

∵PD⊥AQ，AP=PQ，∴PD垂直平分AQ．

∴AD=DQ．

∴CQ=0．…………………………………………………………………………（1分）

又∵BP=CQ，∴BP=0．

（ii）当点P在边BC的延长线上时，

同理可得BP=8．…………………………………………………………………（1分）

综上所述，BP=0或BP=8．

巩固练习

一、填空

1．用边长分别为2cm，3cm，4cm的两个全等三角形拼成四边形，共能拼成_________个四边形，______________个为平行四边形。

2．在四边形ABCD中，若AB=CD，再添加一个条件为__________，就可以判定四边形ABCD为平行四边形。

3．延长△ABC的中线AD至E，使DE=AD，连接BE，CE，则AB_________CE，AC_________BE。

4．若四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，要判定它为平行四边形，从角的关系看应满足___________，从对角线的关系看应满足_______________。

5．已知E、F、G、H分别为

ABCD各边的中点，则四边形EFGH为_______________。

二、选择

6．能识别四边形ABCD是平行四边形的题设是（）

A．AB∥CD，AD=BC

B．∠A=∠B，∠C=∠D

C．AB=CD，AD=BC

D．AB=AD，CB=CD

7．点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥AD，④BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）

A．3种

B．4种

C．5种

D．6种

8．下列结论正确的是（）

A．对角线相等且一组对角相等的四边形是平行四边形

B．一边长为5cm，两条对角线长分别是4cm和6cm的四边形是平行四边形

C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形

D．对角线相等的四边形是平行四边形

9．如图，在

ABCD中，E，F分别在BC，AD上，若想使四边形AFCE为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是（）。

①AF=CF；②AE=CF；③∠BAE=∠FCD；④∠BEA=∠FCE。

A．①或②

B．②或③

C．③或④

D．①或③或④

10．如图，在△ABC中，DE∥AB，FD∥BC，EF∥AC，则下列说法中正确的有（）个。

①图中共有三个平行四边形；

②AF=BF，CE=BE，AD=CD；

③EF=DE=DF；

④图中共有三对全等三角形。

A．1B．2C．3D．4

三、解答题

11．已知：

在△ABC中，AB=AC，EF是△ABC的中位线，分别交AB，AC于E，F，延长AB到D，使BD=AB，连接CD。

求证：

。

12．如图，

ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作两条直线分别与AB，BC，CD，AD交于G，F，H，E四点。

求证：

四边形EGFH是平行四边形。

13．如图，分别以△ABC的三边为边长，在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF，连接DE，EF。

求证：

四边形ADEF是平行四边形。

14．如图，在

ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F，点G，H分别为AD，BC的中点，试证明EF和GH互相平分。

15．如图，△ABC是边长为4cm的边三角形，P是△ABC内的任意一点，过点P作EF∥AB分别交AC，BC于点E，F，作GH∥BC分别交AB，AC于点G，H，作MN∥AC分别交AB，BC于点M，N，试猜想：

EF+GH+MN的值是多少？

其值是否随P位置的改变而变化？

并说明你的理由。

答案

1．六；三

2．AB∥CD或AD=BC

3．

；

4．∠A=∠C，∠B=∠D或∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠D+∠A=180°；AO=CO，BO=DO

5．平行四边形

6．C

7．B

8．C

9．D

10．B

11．提示：

先证明△EBC≌△FCB，得CE=BF，再证

。

12．先证△AEO≌△CFO，得OE=OF，同理可得OG=OH，所以四边形EGFH是平行四边形。

13．先证△EDB≌△CFE，可得BD=EF，ED=CF。

∵BD=DA，CF=AF，∴ED=AF，EF=DA，∴四边形ADEF是平行四边形。

14．提示：

连接GE，EH，HF，GF，先证GE=HF，再证GE∥HF即可。

15．其值为8cm，且不随P位置的改变而变化。

理由：

由△ABC为等边三角形可得△AGH也是等边三角形，

∴GH=AG=AM+MG①，

同理，△BMN也为等边三角形，

∴MN=MB=MG+GB。

②

∵MN∥AC，EF∥AB，

∴四边形AMPE为平行四边形，

∴PE=AM，同理，BFPG也为平行四边形，

∴PF=GB，

∴EF=PE+PF=AM+GB。

③

①+②+③得EF+GH+MN=AM+GB+MG+GB+AM+MG=2（AM+MG+GB）=2AB=2×4=8cm。

自我测试

一、填空

1、若n边形的每一个内角都是120°，则边数n为_______

2、平行四边形的周长为100cm，两邻边之差为30cm，则平行四边形较短的边长为_________

3、菱形两邻角之比为1∶5，高为1.5cm，则菱形的周长为________

4、菱形两对角线长分别为24

和10

，则菱形的高为______。

答案：

1、62、10cm3、12cm4、135、

二、选择题

1、下列各条件中，能判断四边形是平行四边形的是（）

A、一组对角相等B、两条对角线互相平分

C、一组对边相等D、两条对角线互相垂直

2、下列命题中正确的是（）

A、对角线相等的四边形是矩形；B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形

C、对角线垂直的四边形是矩形；D、对角线相等且垂直的四边形是矩形

3、下列图形中，是轴对称图形图形，而不是中心对称图形是（）

A、等边三角形B、平行四边形C、矩形D、菱形

4、下列命题中，真命题是（）

A、四边相等的四边形是正方形；B、四角相等的四边形是正方形

C、对角线相等的菱形是正方形；D、对角线

垂直的平行四边形是正方形

5、在△ABC中，AB=AC=5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是（）

A、5B、10C、15D、20

答案：

1、B2、B3、A4、C5、B

三、解答题

１、如图已知：

四边形ABCD中，AC、BD交于O，AC=BD，E、F为AB、CD中点，EF交BD、AC于MN。

   求证：

OM=ON

证明：

取AD中点G，连结EG、FG，则：

EG∥BD，

             且EG=1/2BD，FG∥AC，

             且：

FG=1/2AC

             ∵AC=BD

             ∴EG=FG，∠GEF=∠GFE

             又∵EG∥BD

             ∴∠GEF=∠OMN

             FG∥AC，∠GFE=∠ONM

             ∴∠OMN=∠ONM，∴OM=ON

2、Rt△ABC中，∠C=90°。

CD是AB边上的中线，过A作CD的平行线，过C作AB的平行线，两线交于E。

求证：

四边形ADCE是菱形

证明：

∵AECD，CEAD，

             ∴四边形ADCE是平行四边形，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线。

             ∴CD=1/2AB=AD

             ∴四边形ADCE是菱形      

3、□ABCD中，对角线AC、BD交于O，E、F、G、H分别是BO、DC、DO、AB的中点。

求证：

四边形DFGH是平行四边形

证明：

□ABCD中，AB=CD，BO=DO

             ∵H、F分别为AB、CD中点

             ∴BH=

AB=

DC=DF

             又∵E、G分别为BO、DO中点， ∴EO=1/2BO=1/2DO=GO

             ∴BG=BO+GO=DO+EO=DE

             而AB∥CD   ∴∠HBE=∠FDG

             在△BFH和△DEF中，

BH=DF（已证）    ∴△BGH≌△DEF

                 ∠HBE=∠FDG（已证）    （SAS）

                 BG=DE（已证）

              ∴HG=EF，∠HGB=∠FED

              ∴HG∥EF

              ∴四边形EFGH是平行四边形