浙江专用版高中数学第一章空间几何体13132球的体积和表面积学案新人教A版必修2.docx
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浙江专用版高中数学第一章空间几何体13132球的体积和表面积学案新人教A版必修2
1.3.2 球的体积和表面积
目标定位 1.记准球的表面积和体积公式,会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题.
自主预习
球的体积公式与表面积公式
(1)球的体积公式V=πR3(其中R为球的半径)
(2)球的表面积公式S=4πR2
即时自测
1.判断题
(1)球的半径为R,那么它的体积V=πR3.(√)
(2)半径为3的球的体积是36π.(√)
(3)球的半径为R,那么它的表面积S=4πR2.(√)
(4)半径为的球的表面积等于2π.(×)
提示 (4)S球=4π×()2=8π.
2.两个球的半径之比为1∶3,那么两个球的表面积之比为( )
A.1∶9B.1∶27C.1∶3D.1∶1
解析 由表面积公式知,两球的表面积之比为R∶R=1∶9.
答案 A
3.球的体积是,则此球的表面积是( )
A.12πB.16πC.D.
解析 设球的半径为R,则V=πR3=π,∴R=2,
∴表面积S=4πR2=16π.
答案 B
4.两个半径为1的实心铁球,熔化成一个球,这个大球的半径是________.
解析 设大球的半径为R,则有πR3=2×π×13,
R3=2,∴R=.
答案
类型一 球的表面积和体积
【例1】
(1)已知球的表面积为64π,求它的体积.
(2)已知球的体积为π,求它的表面积.
解
(1)设球的半径为R,则4πR2=64π,解得R=4,所以球的体积V=πR3=π·(4)3=π.
(2)设球的半径为R,则πR3=π,解得R=5,所以球的表面积S=4πR2
=4π×52=100π.
规律方法 1.已知球的半径,可直接利用公式求它的表面积和体积.
2.已知球的表面积和体积,可以利用公式求它的半径.
【训练1】在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( )
A.4πB.C.6πD.
解析 由题意知,底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3,所以球的最大直径为3,V的最大值为.
答案 B
类型二 球的截面问题(互动探究)
【例2】平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为,则此球的体积为( )
A.πB.4πC.4πD.6π
[思路探究]
探究点一 用一个平面去截球,截面是什么?
提示 圆面.
探究点二 有关球的截面问题的解题策略如何?
提示 有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的有关问题解决,计算时,需要注意球心与截面圆心之间的距离,截面圆的半径及球的半径满足勾股定理.
解析 如图,设截面圆的圆心为O′,
M为截面圆上任一点,
则OO′=,O′M=1.
∴OM==.
即球的半径为.∴V=π()3=4π.
答案 B
规律方法 有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的有关问题解决.
【训练2】已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π,则这两个截面间的距离为________.
解析 若两个平行截面在球心同侧,如图
(1),则两个截面间的距离为-=1;
若两个平行截面在球心异侧,如图
(2),则两个截面间的距离为+=7.
答案 1或7
类型三 球的组合体与三视图
【例3】某个几何体的三视图如图所示,求该几何体的表面积和体积.
解 由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体,上部是半径为1的半球,该几何体的表面积为
S=×4π×12+6×22-π×12=24+π.
该几何体的体积为:
V=23+×π×13=8+.
规律方法 1.由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积和体积,关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义.
2.求解表面积和体积时要避免重叠和交叉.
【训练3】已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是________.
解析 由三视图知组合体为球内接正方体,正方体的棱长为2,若球半径为R,则2R=2,∴R=.∴S球表=4πR2=4π×3=12π.
答案 12π
[课堂小结]
1.球的表面积、体积公式是解决问题的重要依据,在球的轴截面图形中,球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形,其量值关系是解决问题的主要方法.
2.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.
1.直径为6的球的表面积和体积分别是( )
A.36π,144πB.36π,36π
C.144π,36πD.144π,144π
解析 球的半径为3,表面积S=4π·32=36π,体积V=π·33=36π.
答案 B
2.若将气球的半径扩大到原来的2倍,则它的体积增大到原来的( )
A.2倍B.4倍C.8倍D.16倍
解析 设气球原来的半径为r,体积为V,则V=πr3,当气球的半径扩大到原来的2倍后,其体积变为原来的23=8倍.
答案 C
3.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为( )
A.12πB.πC.8πD.4π
解析 由题可知正方体的棱长为2,其体对角线2即为球的直径,所以球的表面积为4πR2=(2R)2π=12π,故选A.
答案 A
4.在半径为R的球面上有A,B,C三点,且AB=BC=CA=3,球心到△ABC所在截面的距离为球半径的一半,求球的表面积.
解 依题意知,△ABC是正三角形,△ABC的外接圆半径r=×3=.
由R2=+()2,得R=2.所以球的表面积S=4πR2=16π.
基础过关
1.一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上,则正方体的表面积为( )
A.8B.8C.8D.4
解析 ∵球的半径为1,且正方体内接于球,
∴球的直径即为正方体的对角线,即正方体的对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a,则有3a2=4,即a2=.
∴正方体的表面积为6a2=6×=8.
答案 A
2.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为( )
A.RB.2RC.3RD.4R
解析 设圆柱的高为h,则πR2h=3×πR3,∴h=4R.
答案 D
3.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r,R,则球的表面积为( )
A.4π(r+R)2B.4πr2R2
C.4πRrD.π(R+r)2
解析 法一 如图,设球的半径为r1,则在Rt△CDE中,DE=2r1,CE=R-r,DC=R+r.由勾股定理得4r=(R+r)2-(R-r)2,解得r1=.故球的表面积为
S球=4πr=4πRr.
法二 如图,设球心为O,球的半径为r1,连接OA,OB,则在Rt△AOB中,OF是斜边AB上的高.由相似三角形的性质得OF2=BF·AF=Rr,即r=Rr,故r1=,故球的表面积为S球=4πRr.
答案 C
4.一个球的表面积是144πcm2,则它的体积是________.
解析 设球的半径为R,则4πR2=144π,∴R=6,
∴V=πR3=π×63=288π(cm3).
答案 288πcm3
5.某几何体的三视图如图所示,则其表面积为________.
解析 由三视图可知,该几何体为一个半径为1的半球,其表面积为半个球面面积与截面圆面积的和,即×4π+π=3π.
答案 3π
6.盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5cm,两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于水中,若取出这两个小球,则水面将下降多少?
解 设取出小球后,容器中水面下降hcm,
两个小球的体积为V球=2=(cm3),
此体积即等于它们在容器中排开水的体积V=π×52×h,
所以=π×52×h,
所以h=,即若取出这两个小球,则水面将下降cm.
7.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.
解 该组合体的表面积
S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π,该组合体的体积V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=.
能力提升
8.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器厚度,则球的体积为( )
A.cm3 B.cm3
C.cm3 D.cm3
解析 利用球的截面性质结合直角三角形求解.
如图,作出球的一个截面,则MC=8-6=2(cm),BM=AB=×8=4(cm).设球的半径为Rcm,则R2=OM2+MB2=(R-2)2+42,∴R=5,
∴V球=π×53=π(cm3).
答案 A
9.过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为( )
A.B.C.D.
解析 过球心作球的截面,如图所示,设球的半径为R,截面圆的半径为r,则有r==R,则球的表面积为4πR2,截面的面积为π=πR2,所以截面的面积与球的表面积的比为=.
答案 A
10.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是________cm.
解析 设球的半径为r,则圆柱形容器的高为6r,容积为πr2×6r=6πr3,高度为8cm的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×πr3=4πr3,由题意6πr3-8πr2=4πr3,解得r=4(cm).
答案 4
11.如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积.(其中∠BAC=30°)
解 如图所示,过C作CO1⊥AB于O1.
在半圆中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,
∴AC=R,BC=R,CO1=R,∴S球=4πR2,
S圆锥AO1侧=π×R×R=πR2,
S圆锥BO1侧=π×R×R=πR2,
∴S几何体表=S球+S圆锥AO1侧+S圆锥BO1侧=πR2+πR2=πR2.
故旋转所得几何体的表面积为πR2.
探究创新
12.如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的冰淇淋,请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略不计),使冰淇淋融化后不会溢出杯子,怎样设计最省材料?
解 设圆锥形杯子的高为hcm,
要使冰淇淋融化后不会溢出杯子,
则必须V圆锥≥V半球,而V半球=×πr3=××43,
V圆锥=Sh=πr2h=×42×h.
依题意:
×42×h≥××43,解得h≥8,
即当圆锥形杯子杯口直径为8cm,高大于或等于8cm时,冰淇淋融化后不会溢出杯子.又因为S圆锥侧=πrl=πr,
当圆锥高取最小值8时,S圆锥侧最小,
所以高为8cm时,制造的杯子最省材料.