秋季课程初二数学第1讲与三角形有关的线段和角教案.docx
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秋季课程初二数学第1讲与三角形有关的线段和角教案
第1讲与三角形有关的线段和角
适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
人教版
课时时长(分钟)
120
知识点
三角形的概念;三角形三边的关系定理及推论;三角形中的主要线段;三角形内角和定理;三角形的外角性质
教学目标
了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点,能用符号语言表示三角形;
理解三角形三边不等的关系,会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题;
认识三角形的高、中线与角平分线;会画三角形的高、中线与角平分线;了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点;掌握三角形内角和定理;理解三角形的外角;掌握三角形外角的性质,能利用三角形外角的性质解决问题
教学重点
三角形的有关概念和符号表示,三角形三边间的不等关系;三角形的高、中线与角平分线;三角形内角和定理;三角形的外角和三角形外角的性质
教学难点
用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形;三角形的角平分线与角的平分线的区别;理解三角形的外角
教学过程
一、复习预习
1、三角形是我们早已熟悉的图形,例举出日常生活中的三角形物体;
2、根据对三角形的了解画出一个三角形,复习已经学过的关于三角形的相关知识:
三角形的面积公式、三角形的稳定性等。
二、知识讲解
考点1三角形的相关概念
1、不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形
2、组成三角形的线段叫做三角形的边,相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称角,相邻两边的公共端点是三角形的顶点
3、三角形ABC用符号表示为△ABC。
三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.
考点2三角形的分类
考点3三角形三边的关系
三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边
考点4三角形的高
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线,垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高,表示为AD⊥BC于点D。
注意:
高与垂线不同,高是线段,垂线是直线。
再画出这个三角形AB、AC边上的高,三角形的三条高相交于一点。
现在我们来画钝角三角形三边上的高,如图。
再画出一个直角三角形三边上的高,上面的结论还成立。
请画出下列三角形的高
考点5三角形的中线
如图,我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线,表示为BD=DC或BD=DC=
BC或2BD=2DC=BC.
在图中画出△ABC的另两条边上的中线,三角的三条中线相交于一点。
三角形的三条中线相交于一点,交点叫做三角形的重心。
请画出下列三角形的中线
考点6三角形的角平分线
如图,画∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD=
∠BAC或2∠BAD=2∠CAD=∠BAC。
三角形的角平分线是线段,而角的平分线是射线,是不一样的。
三角形三个角的平分线相交于一点。
如果三角形是直角三角形、钝角三角形,上面的结论仍然成立。
请画出下列三角形的角平分线
考点7三角形内角和定理:
三角形三个内角的和等于180°
用平行线的性质证明内角和180°
已知△ABC,求证:
∠A+∠B+∠C=180°。
证明:
过点C作CM∥AB,则∠A=∠ACM,∠B=∠DCM,
又∠ACB+∠ACM+∠DCM=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°。
即:
三角形的内角和等于180°。
考点8直角三角形的两个锐角互余
由三角形内角和定理容易得到:
直角三角形的两个锐角互余,这是直角三角形的一个重要性质,运用它可以解决直角三角形中交的计算问题。
考点10三角形外角的概念
∠ACD叫做△ABC的外角。
也就是,三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角。
三角形的外角共有六个。
注意:
每个顶点处有两个外角,它们是对顶角。
研究与三角形外角有关的问题时,通常每个顶点处取一个外角
考点11三角形外角的性质
三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角。
如图,这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线,你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗?
∵CM∥AB,∴∠A=∠1,∠B=∠2
又∠ACD=∠1+∠2
∴∠ACD=∠A+∠B
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
三、例题精析
【例题1】
【题干】如图所示,三角形的个数是()
A.3个B.4个C.5个D.6个
【答案】D
【解析】BD,BE,BC,DE,DC,EC六条线段分别和A组成6个三角形.故选D
【例题2】
【题干】用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形。
(1)如果腰长是底长的2倍,那么各边的长是多少?
(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗?
为什么?
【答案】
(1)设底边长为xcm,
∵腰长是底边的2倍,∴腰长为2xcm,
∴2x+2x+x=18,解得,x=
cm,
∴2x=2×
=
cm,∴各边长为:
cm,
cm,
cm
(2)①当4cm为底时,腰长=
=7cm;
②当4cm为腰时,底边=18-4-4=10cm,
∵4+4<10,
∴不能构成三角形,故舍去;
∴能构成有一边长为4cm的等腰三角形,另两边长为7cm,7cm.
【解析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系,在解答此类题目时要注意分类讨论,不要漏解
(1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm,根据周长公式列一元一次方程,解方程即可求得各边的长;
(2)题中没有指明4cm所在边是底还是腰,故应该分情况进行分析,注意利用三角形三边关系进行检验
【例题3】
【题干】已知三角形两边长分别为3和8,则该三角形第三边的长可能是( )
A.5B.10C.11D.12
【答案】B
【解析】根据三角形的三边关系,得第三边大于:
8-3=5,而小于:
3+8=11.则此三角形的第三边可能是:
10.故选:
B.
【例题4】
【题干】一个等腰三角形的两边长分别是3和7,则它的周长为( )
A.17B.15C.13D.13或17
【答案】A
【解析】①当等腰三角形的腰为3,底为7时,3+3<7不能构成三角形;②当等腰三角形的腰为7,底为3时,周长为3+7+7=17.故这个等腰三角形的周长是17.故选A.
【例题5】
【题干】下面四个图形中,线段BE是△ABC的高的图是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】根据高的画法知,过点B作AC边上的高,垂足为E,其中线段BE是△ABC的高
【例题6】
【题干】BM是△ABC中AC边上的中线,AB=5cm,BC=3cm,求△ABM与△BCM的周长之差
【答案】解:
5-3=2cm.答:
△ABM与△BCM的周长之差为2cm.
【解析】根据三角形的中线的概念,由BM是△ABC中AC边上的中线得AM=CM.所以△ABM与△BCM的周长之差为AB与BC的差.
【例题7】
【题干】如右图,在ΔABC中,AD平分∠BAC且与BC相交于点D,∠B=40°,∠BAD=30°,则∠C的度数是;
【答案】80°
【解析】∵AD平分∠BAC,∠BAD=30°,
∴∠BAC=2∠BAD=2×30°=60°,
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-40°-60°=80°.
故答案为:
80°.
【例题8】
【题干】如图,在△ABC中,∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分线。
求∠ADB得度数。
【答案】∵AD平分∠CAB,∠BAC=40°,
∴∠DAB=
∠BAC=20°,
∵∠B=75°,
∴∠ADB=180°-∠DAB-∠B=180°-20°-75°=85°
【解析】本题考查了三角形内角和定理,角平分线定义的应用,注意:
三角形的内角和等于180°。
根据角平分线定义求出∠DAB,根据三角形内角和定理得出∠ADB=180°-∠DAB-∠B,代入求出即可.
【例题9】
【题干】如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向,从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度?
【答案】∠CBA=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°
∵AD∥BE∴∠BAD+∠ABE=180°
∴∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°
∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°
答:
从C岛看AB两岛的视角∠ACB=180°是90°。
【解析】根据三角形内角和定理,只需求出∠CAB和∠CBA的度数即可。
【例题10】
【题干】如图,∠C=∠D=90°,AD、BC相交于点E,∠CAE与∠DBE有什么关系?
为什么?
【答案】∠CAE与∠DBE相等.
理由如下:
∵在△CAE,△DBE中,∠C=∠D=90°,∠CEA=∠DEB,
∴∠CAE=90°-∠CEA,∠DBE=90°-∠DEB,
即∠CAE=∠DBE.
【解析】本题考查了直角三角形的性质,主要利用了直角三角形两锐角互余和对顶角相等的性质,熟记性质是解题的关键.
根据对顶角相等可得∠CEA=∠DEB,再根据直角三角形两锐角互余求解即可.
【例题11】
【题干】如图,∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角,它们的和是多少?
【答案】解:
∵∠BAE+∠BAC=180°,∠CBF+∠ABC=180°,∠ACD+∠ACB=180°,
∴∠BAE+∠BAC+∠CBF+∠ABC+∠ACD+∠ACB=3×180°=540°,
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°,
即三个外角的和于360°.
【解析】此题比较简单,考查的是三角形的内角和为180°及平角的性质。
根据平角的性质求出三角形三个外角及三个内角的度数,再由三角形的内角和为180°即可求解.
【例题12】
【题干】如图,在△ABC中,∠B=47°,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC=
【答案】66.5°
【解析】∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,
∴∠EAC=
∠DAC,∠ECA=
∠ACF;
又∵∠B=47°(已知),∠B+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理),
∴
∠DAC+
∠ACF
=
(∠B+∠2)+
(∠B+∠1)
=
(∠B+∠B+∠1+∠2)=
(外角定理),
∴∠AEC=180°-(
∠DAC+
∠ACF)=66.5°;
故答案是:
66.5°.
【例题13】
【题干】
(1)如图1,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于O.
①已知∠A=40°,求∠BOC的度数,∠A与∠BOC有怎样的数量关系?
②若∠A=n°,则∠A与∠BOC有怎样的数量关系?
(2)如图2,在△A′B′C′中,∠A′B′C′的平分线与∠A′C′B′的外角平分线相交于O′,请你探索∠A′与∠O′有怎样的数量关系?
【答案】
(1)∠BOC=90°+
∠A.理由如下:
∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB,
∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB,
而BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,
∴∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB,
∴2∠BOC=360°-(∠ABC+∠ACB),
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
∴2∠BOC=180°+∠A,
∴∠BOC=90°+
∠A.
①当∠A=40°,∠BOC=110°;
②当∠A=n°,∠BOC=90°+
°
(2)∠B′O′C′=
∠A′.理由如下:
∵∠O′C′D=∠B′O′C′+∠O′B′C′,∠A′C′D=∠A′B′C′+∠A′,
而B′O′平分∠A′B′C′,C′O′平分∠A′C′D,
∴∠A′C′D=2∠O′C′D,∠A′B′C′=2∠O′B′C′,
∴2∠B′O′C′+2∠O′B′C′=∠A′B′C′+∠A′,
∴2∠B′O′C′=∠A′,
即∠B′O′C′=
∠A′.
【解析】
(1)根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB,则2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB,再根据角平分线的定义得∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB,则2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB,易得∠BOC=90°+
∠A.
(2)根据角平分线的定义得∠ACE=2∠OCE,∠ABC=2∠OBC,由三角形外角的性质有∠OCE=∠BOC+∠OBC,∠ACE=∠ABC+∠A,则2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A,即可得到∠BOC=
∠A;
课程小结
1、对于三角形的概念学生在之前已有所接触,要注意三角形按边分类的分法,这是学生容易出错的地方,本节的重点和难点是“两边的和大于第三边,两边的差小于第三边”。
2、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法。
3、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律。
4、探索和证明与三角形的角有关的结论,并运用这些结论解决问题。
(三角形的内角和等于180°,直角三角形的两个锐角互余。
)
5、用平行线的性质与平角的定义给出这个结论的证明。
6、三角形的外角的性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
7、注意性质的灵活应用,及在计算中的应用。