最新苏教版学年高中数学必修一222《函数的奇偶性》一等奖教学设计.docx

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最新苏教版学年高中数学必修一222《函数的奇偶性》一等奖教学设计

2.2.2　函数的奇偶性

课时目标

　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.掌握判断函数奇偶性的方法；3.了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．

1．函数奇偶性的概念

一般地，设函数y＝f（x）的定义域为A.

（1）如果对于任意的x∈A，都有__________，那么称函数y＝f（x）是偶函数；

（2）如果对于任意的x∈A，都有__________，那么称函数y＝f（x）是奇函数．

2．奇、偶函数的图象

（1）偶函数的图象关于______对称．

（2）奇函数的图象关于______对称．

一、填空题

1．已知y＝f（x），x∈（－a，a），F（x）＝f（x）＋f（－x），则F（x）是________函数（填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）．

2．f（x）是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是________．（填序号）

①f（－x）＋f（x）＝0；　②f（－x）－f（x）＝－2f（x）；

③f（x）·f（－x）≤0；　④

＝－1.

3．下面四个结论：

①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④没有一个函数既是奇函数，又是偶函数．

其中正确的命题个数是________．

4．函数f（x）＝

－x的图象关于________．（填序号）

①y轴对称；②直线y＝－x对称；③坐标原点对称；

④直线y＝x对称．

5．设函数f（x）＝（x＋1）（x＋a）为偶函数，则a＝____________________________.

6．若函数y＝f（x＋1）是偶函数，则下列说法正确的是________．（填序号）

①y＝f（x）图象关于直线x＝1对称；

②y＝f（x＋1）图象关于y轴对称；

③必有f（1＋x）＝f（－1－x）成立；

④必有f（1＋x）＝f（1－x）成立．

7．偶函数y＝f（x）的定义域为[t－4，t]，则t＝_____________________________.

8．设奇函数f（x）的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）<0的解集是________．

9．已知奇函数f（x）的定义域为R，且对于任意实数x都有f（x＋4）＝f（x），又f

（1）＝4，那么f[f（7）]＝________.

二、解答题

10．判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝3，x∈R；

（2）f（x）＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；

（3）f（x）＝|2x－1|－|2x＋1|；

（4）f（x）＝

11．已知奇函数f（x）＝

.

（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y＝f（x）的图象；

（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，试确定a的取值范围．

能力提升

12．y＝f（x）在（0,2）上是增函数，y＝f（x＋2）是偶函数，则f

（1），f（

），f（

）的大小关系是____________________．

13．已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足f（ab）＝af（b）＋bf（a）．

（1）求f（0），f

（1）的值；

（2）判断f（x）的奇偶性．

1．函数奇偶性

（1）从函数奇偶性定义来看，奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，否则此函数是非奇非偶函数．

（2）函数的奇偶性是相对于函数的定义域而言，这一点与函数单调性不同，从这个意义上说，函数单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质．

（3）函数f（x）＝c（c是常数）是偶函数，当c＝0时，该函数既是奇函数又是偶函数．

2．函数的奇偶性与图象的对称性的关系

（1）若一个函数是奇函数，则其图象关于原点对称，反之，若一个函数图象关于原点中心对称，则其一定是奇函数．

（2）若一个函数是偶函数，则其图象关于y轴对称，反之，若一个函数图象关于y轴成轴对称，则其必为偶函数．

第3课时　奇偶性的概念

知识梳理

1．

（1）f（－x）＝f（x）　

（2）f（－x）＝－f（x）　2.

（1）y轴　

（2）原点

作业设计

1．偶

解析　∵F（－x）＝f（－x）＋f（x）＝F（x）．

且x∈（－a，a）关于原点对称，

∴F（x）是偶函数．

2．④

解析　因为f（－x）＝－f（x），所以①、②显然正确，

因为f（x）·f（－x）＝－[f（x）]2≤0，故③正确．

当x＝0时，由题意知f（0）＝0，故④错误．

3．1

解析　函数y＝

是偶函数，但不与y轴相交，故①错；

函数y＝

是奇函数，但不过原点，故②错；

函数f（x）＝0既是奇函数又是偶函数，故④错．

4．③

解析　∵x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），

且对定义域内每一个x，都有f（－x）＝－

＋x＝－f（x），

∴该函数f（x）＝

－x是奇函数，其图象关于坐标原点对称．

5．－1

解析　∵f（x）为偶函数，∴f（－1）＝f

（1），

即（－1＋1）（－1＋a）＝2（1＋a），

∴a＝－1.

6．①②④

解析　由题意，y＝f（x＋1）是偶函数，所以f（x＋1）的图象关于y轴对称，故②正确；y＝f（x＋1）的图象向右平移一个单位即得函数y＝f（x）的图象，故①正确；可令g（x）＝f（x＋1），由题意g（－x）＝g（x），即f（－x＋1）＝f（x＋1），故④正确．

7．2

解析　偶函数的定义域应当关于原点对称，故t－4＝－t，得t＝2.

8．（－2,0）∪（2,5]

解析　由题意知，函数f（x）在[－5,0]的图象与在[0,5]上的图象关于原点对称．画出f（x）在[－5,0]上的图象，观察可得答案．

9．0

解析　∵f（7）＝f（3＋4）＝f（3）＝f（－1＋4）＝f（－1）

＝－f

（1）＝－4，

∴f[f（7）]＝f（－4）＝－f（4）＝－f（0＋4）＝－f（0）＝0.

10．解　

（1）f（－x）＝3＝f（x），

∴f（x）是偶函数．

（2）∵x∈[－3,3]，f（－x）＝5（－x）4－4（－x）2＋7

＝5x4－4x2＋7＝f（x），∴f（x）是偶函数．

（3）f（－x）＝|－2x－1|－|－2x＋1|

＝－（|2x－1|－|2x＋1|）＝－f（x），

∴f（x）是奇函数．

（4）当x>0时，f（x）＝1－x2，此时－x<0，

∴f（－x）＝（－x）2－1＝x2－1，∴f（－x）＝－f（x）；

当x<0时f（x）＝x2－1，

此时－x>0，f（－x）＝1－（－x）2＝1－x2，

∴f（－x）＝－f（x）；

当x＝0时，f（－0）＝－f（0）＝0.

综上，对x∈R，总有f（－x）＝－f（x），

∴f（x）为R上的奇函数．

11．解　

（1）当x<0时，－x>0，f（－x）＝－（－x）2＋2（－x）

＝－x2－2x.

又f（x）为奇函数，

∴f（－x）＝－f（x）＝－x2－2x，

∴f（x）＝x2＋2x，∴m＝2.

y＝f（x）的图象如图所示

（2）由

（1）知f（x）

＝

，

由图象可知，f（x）在[－1,1]上单调递增，

要使f（x）在[－1，a－2]上单调递增，只需

，

解得1

12．f（

）

（1）

）

解析　因y＝f（x＋2）是偶函数，f（x＋2）的图象向右平移2个单位即得f（x）的图象．所以函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，又因f（x）在（0,2）上是增函数，所以f（x）在（2,4）上是减函数，

且f

（1）＝f（3），由于

>3>

，

∴f（

）

），即f（

）

（1）

）．

13．解　

（1）令a＝b＝0，f（0）＝0＋0＝0；

令a＝b＝1，f

（1）＝f

（1）＋f

（1），

∴f

（1）＝0.

（2）f（x）是奇函数．

因为f（－x）＝f（（－1）·x）＝－f（x）＋xf（－1），

而0＝f

（1）＝f（（－1）×（－1））＝－f（－1）－f（－1），

∴f（－1）＝0，∴f（－x）＝－f（x）＋0＝－f（x），

即f（x）为奇函数．