圆的导学案.docx
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圆的导学案
5.1.1圆(第1课时)
【自主学习】
(一)新知导学
1.圆的运动定义:
把线段OP的一个端点O ,使线段OP绕着点O在 旋转 ,另一端点P运动所形成的图形叫做圆,其中点O叫做 ,线段OP叫做 .以O为圆心的圆记作 。
2.圆的集合定义:
圆是到 的点的集合。
3.点与圆的位置关系:
如果⊙O的半径为r,点P到圆心的距离为d,那么
点P在圆内
;
点P在圆上
;
点P在圆外
。
【合作探究】
1.如图,已知:
点P、Q,且PQ=4cm。
(1)画出下列图形:
①到点P的距离等于2cm的点的集合;
②到点Q的距离等于3cm的点的集合;
(2)在所画图中,到点P的距离等于2cm;且到点Q的距离等于3cm的点有几个?
请在图中将它们画出来。
(3)在所画图中,到点P的距离小于或等于2cm;且到点Q的距离大于或等于3cm的点的集合是怎样的图形?
把它画出来.
【自我检测】
1。
到定点O的距离为2cm的点的集合是以 为圆心, 为半径的圆。
2.正方形的四个顶点在以 为圆心,以 为半径的圆上。
3.矩形ABCD边AB=6cm,AD=8cm,
(1)若以A为圆心,6cm长为半径作⊙A,则点B在⊙A______,点C在⊙A_______,点D在⊙A________,AC与BD的交点O在⊙A_________;
(2)若作⊙A,使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内,至少有一点在⊙A外,则⊙A的半径r的取值范围是_______.
4.一个点与定圆最近点的距离为4cm, 与最远点的距离是9cm,则圆的半径是
5。
如图,已知在⊿ABC中,∠ACB=900,AC=12,AB=13,CD⊥AB,以C为圆心,5为半径作⊙C,
试判断A,D,B三点与⊙C的位置关系
6.如左下图,一根长4米的绳子,一端拴在树上,另一端拴着
一只小狗.请画出小狗的活动区域。
7。
已知:
如右上图,△ABC,试用直尺和圆规画出过A,B,C三点的⊙O。
8.△ABC中,∠A=90°,AD⊥BC于D,AC=5cm,AB=12cm,以D为圆心,AD为半径作圆,则三个顶点与圆的位置关系是什么?
画图说明理由.
9.如右图,
(1)若点O为⊙O的圆心,则线段__________是圆O的半径;
线段________是圆O的弦,其中最长的弦是______;
______是劣弧;______是半圆。
(2)若∠A=40°,则∠ABO=______,∠C=______,∠ABC=______.
10。
已知:
如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB,CD的延长线交于E,若AB=2DE,∠E=18°,求∠C及∠AOC的度数.
(一)
5.1.1圆(第2课时)
【自主学习】
(一)复习巩固:
1。
圆的集合定义。
2.点与圆的三种位置关系.
3.已知⊙O的半径为5cm,点P是⊙O外一点,则OP的长可能是( )
A.3cm B.4cm C. 5cm D.6cm
(二)新知导学
1.与圆有关的概念
①弦:
连结圆上任意两点的 叫做弦.
②直径:
经过 的弦叫做直径.
③弧:
,弧分为:
半圆( 所对的弧叫做半圆)、劣弧(小于 的弧)和优弧(大于的弧)。
④同心圆:
相同, 不相等的两个圆叫做同心圆.
⑤等圆:
能够互相 的两个圆叫做等圆.
⑥等弧:
在 或 中,能够互相 的弧叫做等弧.
2.同圆或等圆的性质:
在同圆或等圆中,它们的 相等。
【合作探究】
1.圆心都为O的甲、乙两圆,半径分别为r1和r2,且r1<OA<r2,那么点A在( )
A.甲圆内 B.乙圆外 C.甲圆外、乙圆内D。
甲圆内、乙圆外
2.下列判断:
①直径是弦;②两个半圆是等弧;③优弧比劣弧长,其中正确的是( )
A.①B.②③ C。
①②③ D。
①③
【自我检测】
1.已知⊙O中最长的弦为16cm,则⊙O的半径为________cm.
2.过圆内一点可以作出圆的最长弦_____条。
3。
下列语句中,不正确的个数是()
①直径是弦; ②弧是半圆; ③长度相等的弧是等弧;
④经过圆内任一定点可以作无数条直径.
A.1个 B.2个 C.3个D.4个
4.下列语句中,不正确的是()
A.圆既是中心对称图形,又是旋转对称图形
B。
圆既是轴对称图形,又是中心对称图形
C.当圆绕它的圆心旋转89°57′时,不会与原来的圆重合
D.圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个
5。
等于
圆周的弧叫做( )
A.劣弧B.半圆 C。
优弧D。
圆
6。
如图,⊙O中,点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上,图中弦的条数有()
A.2条 B.3条C.4条 D.5条
7。
以已知点O为圆心,已知线段a为半径作圆,可以作()
A.1个 B.2个 C。
3个 D。
无数个
8。
如图,CD是⊙O的直径,∠EOD=84°,AE交⊙O于点B,且AB=OC,求∠A的度数。
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°;以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D,求∠ACD的度数.
(二)
10。
如图,CD是⊙O的弦,CE=DF,半径OA、OB分别过E、F点.求证:
△OEF是等腰三角形.
11。
如图,在⊙O中,半径OC与直径AB垂直,OE=OF,则BE与CF的大小关系如何?
并说明理由。
(三)
5.1。
2圆的对称性(第1课时)
【自主学习】
(一)复习巩固:
1.直径、弦、弧、同心圆、等圆、等弧的概念.
2。
同圆或等圆的性质。
(二)新知导学
1.圆的对称性
圆是 图形,过 的任意一条直线都是它的对称轴.
2.垂径定理
垂直于弦的直径平分 ,并且平分 .
【合作探究】
1。
已知如图,在⊙O中,AD是直径,BC是弦,AD⊥BC于点E,由这些条件你能推出哪些结论?
(要求:
不添加辅助线,不添加字母)
3.已知⊙O的半径为5cm,弦AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,求AB和CD之间的距离。
【自我检测】
1。
已知⊙O中,弦AB的长是8cm,圆心O到AB的距离为3cm,则⊙O的直径是_____cm.
2.如图1,已知⊙O的半径为5,弦AB=8,P是弦AB上任意一点,则OP的取值范围是_______.
(1)
(2) (3)
3.如图2,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,若∠COD=120°,OE=3厘米,则OD=___cm.
4.半径为5的⊙O内有一点P,且OP=4,则过点P的最短弦长是_______,最长的弦长_______.
5.如图3,AB是半圆的直径,O是圆心,C是半圆上一点,E是弧AC的中点,OE交弦AC于D,若AC=8cm,DE=2cm,则OD的长为________cm。
6。
⊙O的直径是50cm,弦AB∥CD,且AB=40cm,CD=48cm,则AB与CD之间的距离为_______.
7。
下列命题中错误的命题有()
(1)弦的垂直平分线经过圆心;
(2)平分弦的直径垂直于弦;
(3)梯形的对角线互相平分;(4)圆的对称轴是直径.A.1个B。
2个C。
3个D.4个
8.如左下图,同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D,已知AB=4,CD=2,点O到AB的距离等于1,那么两个同心圆的半径之比为( )
A.3:
2B.
:
2C.
:
D.5:
4
(8) (9)(10)
9.如右上图,AB是⊙O的直径,CD为弦,CD⊥AB于E,
则下列结论中错误的是()
A.∠COE=∠DOEB.CE=DE C.AE=BE D。
弧BD=弧BC
10.如图,在以O为圆心的两个同心圆的圆中,大圆弦AB交小圆于C、D两点,试判断AC与BD的大小关系,并说明理由.
5.1.2圆的对称性(第2课时)
【自主学习】
(一)复习巩固:
1.垂径定理.
2.已知点P是半径为5的⊙O内的一点,且OP=3,则过P点且长小于8的弦有( )
A.0条 B.1条 C。
2条 D.无数条
(二)新知导学
1.圆的旋转不变性
圆具有旋转不变的特征,即一个圆绕着它的圆心旋转 一个角度后,仍与原来的圆 .
2.圆心角、弧、弦之间的关系:
圆心角:
顶点在 的角叫做圆心角。
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 ,所对的弦 。
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 ,那么它们所对应的其他各组量都分别 。
3。
圆心角度数的性质:
10的角:
将顶点在圆心的角分成360份,每一份的圆心角是 .
【合作探究】
如图,AB、CE是⊙O的直径,∠COD=60°,且
弧AD=弧BC,那么与∠AOE相等的角有_____个,
与∠AOC相等的角有_________.
【自我检测】
1.如图,AB、CD是⊙O的两条弦,M、N分别为AB、CD的中点,且∠AMN=∠CNM,AB=6,则CD=_______.
)
(四)
(1) (3) (5)
2.如果两条弦相等,那么()
A.这两条弦所对的弧相等 B.这两条弦所对的圆心角相等
C.这两条弦的弦心距相等 D.以上答案都不对
3.如图,在圆O中,直径MN⊥AB,垂足为C,则下列结论中错误的是( )
A.AC=BC B.弧AN=弧BN C。
弧AM=弧BM D.OC=CN
4.在⊙O中,圆心角∠AOB=90°,点O到弦AB的距离为4,则⊙O的直径的长为()
A.4
B.8
C.24 D.16
5.如图,AB是⊙O的直径,CD为弦,CD⊥AB于E,则下列结论中不一定成立的是()
A。
∠COE=∠DOE B.CE=DE C.OE=BE D.弧BD=弧BC
6。
在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,则两条弧AB与CD关系是()
A.
=2
B.
>
C。
<2
D。
不能确定
7.如右图,⊙O中,如果
=2
,那么().
A.AB=AC B.AB=AC C.AB<2AC D。
AB>2AC
8.已知:
如图,A、B、C、D在⊙O上,AB=CD.
求证:
∠AOC=∠DOB.
(7) (8)
9.如图,在⊙O中,C、D是直径AB上两点,且AC=BD,MC⊥AB,ND⊥AB,M、N在⊙O上.
(1)求证:
=
;
(2)若C、D分别为OA、OB中点,则
成立吗?
10。
如图,∠AOB=90°,C、D是AB三等分点,AB分别交OC、OD于点E、F,求证:
AE=BF=CD.
(五)
5.1。
3圆周角(第1课时)
【自主学习】
(一)复习巩固:
1.圆的旋转不变性。
2.圆心角的性质.
(二)新知导学
1.圆周角的定义
顶点在 ,并且两边都和圆 的角叫做圆周角。
2。
圆周角定理
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 ,都等于该弧所对的圆心角的 .
【合作探究】
1。
如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长。
2。
如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC的长.
【自我检测】
1.如图,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC的度数是()
A.50° B。
100° C。
130°D.200°
2.如图,A、B、C、D四点在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有()
A.2对 B.3对C.4对 D。
5对
3.如图,D是弧AC的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是()
A。
4个B.3个 C。
2个 D。
1个
4。
如图,∠AOB=100°,则∠A+∠B等于()
A。
100° B.80° C。
50° D。
40°
(1)
(2) (3) (4)
5.如图,∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.
6。
如图,A、B、C为⊙O上三点,若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度。
7.如图,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O到CD的距离OE=______.
(5) (6) (7)
8.如图,ΔABC是⊙O的内接正三角形,若P是
上一点,则∠BPC=______;
若M是
上一点,则∠BMC=______.
(六)
9.已知:
如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,∠ACD=30°,AE=2cm。
求DB长.
10.已知:
如图,⊙O的半径AE=10cm,点C平分半圆ACE.求AC的长及∠ABC的度数.
(七)
5.1。
2圆周角(第2课时)
【自主学习】
(一)复习巩固:
1。
圆周角的定义.
2.圆周角定理.
3。
在半径为R的圆内,长为R的弦所对的圆周角为 .
(二)新知导学
1.直径(或半圆)所对的圆周角是 。
2.900的圆周角所对的弦是 .
3。
圆的内接多边形,多边形的内接圆。
圆内接四边形的对角 。
【合作探究】
如图,AB是⊙O的直径,AB=AC,D、E在⊙O上.求证:
BD=DE.
【自我检测】
1.如图,AB是⊙O的直径,∠AOD是圆心角,∠BCD是圆周角.若∠BCD=25°,
则∠AOD= .
2.如图,⊙O直径MN⊥AB于P,∠BMN=30°,则∠AON= 。
3.如图,A、B、C是⊙O上三点,∠BAC的平分线AM交BC于点D,交⊙O于点M.若∠BAC=60°,∠ABC=50°,则∠CBM= ,∠AMB= 。
4。
如图,⊙O中,两条弦AB⊥BC,AB=6,BC=8,求⊙O的半径= .
(1) (2) (3) (4)
5。
下列说法正确的是( )
A.顶点在圆上的角是圆周角 B.两边都和圆相交的角是圆周角
C.圆心角是圆周角的2倍 D.圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
6.下列说法错误的是( )
A。
等弧所对圆周角相等 B。
同弧所对圆周角相等
C.同圆中,相等的圆周角所对弧也相等.D.同圆中,等弦所对的圆周角相等
7.在⊙O中,同弦所对的圆周角( )
A.相等 B。
互补 C.相等或互补D.都不对
8.如右图,在⊙O中,弦AD=弦DC,则图中相等的圆周角的对数是()
A.5对 B.6对 C。
7对 D.8对
9。
如图,AC是⊙O的直径,弦AB∥CD,若∠BAC=32°,则∠AOD等于 。
若连接AD,则∠DAO等于 。
10。
已知:
如图,△ABC内接于⊙O,BC=12cm,∠A=60°.求⊙O的直径。
(8) (9) (10)
11.如图,已知AB=AC,∠APC=60°
(1)求证:
△ABC是等边三角形.
(2)若BC=4cm,求⊙O的面积.
(八)
5.2直线和圆的位置关系-—确定圆的条件(点和圆的位置)(第1课时)
【自主学习】
(一)复习巩固:
1.已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,若AB=4cm,AC=3cm,则BC= .
2.下列命题:
①直径所对的角是900 ;②直角所对的弦是直径;③相等的圆周角所对的弧相等;④对同一弦的两个圆周角相等。
正确的有( )
A.0个 B.1个 C。
2个 D.3个
(二)新知导学
1.过不在同一直线上的三个点确定 圆。
2.经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的 ,它的圆心叫做三角形的 ,这个三角形叫圆的三角形.
【合作探究】
1。
要将如图所示的破圆轮残片复制完成,请你先帮忙找出这个
圆轮残片的圆心.(用尺规作图画出即可)
【自我检测】
1.锐角三角形的外心在_______。
如果一个三角形的外心在它的一边的中点上,则该三角形是 .
如果一个三角形的外心在它的外部,则该三角形是 .
2.边长为6cm的等边三角形的外接圆半径是________。
3.△ABC的三边为2,3,
设其外心为O,三条高的交点为H,则OH的长为_____.
4.三角形的外心是__ ____的圆心,它是_______的交点,它
到_______的距离相等。
5.已知⊙O的直径为2,则⊙O的内接正三角形的边长为_______。
6.如图,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,
最少使用________ 次就可以找到圆形工件的圆心。
7.下列条件,可以准确画出惟一圆的是( )
A.已知圆心 B.已知半径;C。
已知不在同一直线上的三点 D.已知直径
8.三角形的外心是( )
A.三条中线的交点; B.三条边的中垂线的交点;
C.三条高的交点; D.三条角平分线的交点
9。
下列命题不正确的是()
A.三点确定一个圆 B.三角形的外接圆有且只有一个
C.经过一点有无数个圆 D.经过两点有无数个圆
10.一个三角形的外心在它的内部,则这个三角形一定是()
A.等腰三角形 B。
直角三角形; C。
锐角三角形D。
等边三角形
11.等腰直角三角形的外接圆半径等于()
A。
腰长 B。
腰长的
倍;C。
底边的
倍 D.腰上的高
12。
平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为( )
A.1个或3个 B。
3个或4个C.1个或3个或4个D.1个或2个或3个或4个
13.如图,A、B、C三点表示三个工厂,要建立一个供水站,使它到这三个工厂的距离相等,求作供水站的位置(不写作法,尺规作图,保留作图痕迹).
14.如图,已知△ABC的一个外角∠CAM=120°,AD是∠CAM的平分线,且AD与△ABC的外接圆交于F,连接FB、FC,且FC与AB交于E.判断△FBC的形状,并说明理由.
15。
矩形ABCD中,AB=3,BC=4,现以A为圆心,使B、C、D三点至少有一个在圆内,至少有一个在圆外,求⊙A的半径r的取值范围.
(九)
5.2直线和圆的位置关系(第2课时)
【自主学习】
(一)复习巩固:
1。
若△ABC的外接圆的圆心在△ABC的外部,则△ABC是( )
A.锐角三角形 B。
直角角三角形C.钝角三角形 D. 等腰直角三角形
2.在三角形内部,有一点P到三角形三个顶点的距离相等,则点P一定是( )
A.三角形三条角平分线的交点 B.三角形三边垂直平分线的交点
C。
三角形中位线与高线的交点 D.三角形中位线与中线的交点
(二)新知导学
1。
直线与圆的位置关系①定义:
直线与圆有 个公共点时,叫做直线与圆相交,这条直线叫做圆的线.直线与圆有 个公共点时,叫做直线与圆相切,这条直线叫做圆的 线。
这个公共点叫做点。
直线与圆有 个公共点时,叫做直线与圆相离。
2.直线与圆的位置关系的性质与判定
设⊙O的半径为r,圆心O到直线的距离为d,那么
直线与圆相交
;
直线与圆相切
;
直线与圆相离
.
小结:
根据本节课的知识填写下列表格:
直线和圆的位置关系
相交
相切
相离
公共点的个数
圆心到直线的距离与半径的关系
公共点的名称
直线的名称
【合作探究】
如图已知∠AOB=30°,M为OB上一点,且OM=5cm,现以M为圆心,以r为半径作圆,则直线OA与⊙M是什么位置关系?
为什么?
(1)r =2cm;
(2)r=4cm;
(3)r=2。
51cm;
(十)
【自我检测】
1.命题:
“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是( )
A。
经过半径的外端点的直线是圆的切线.
B。
垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线.
C.垂直于半径的直线是圆的切线。
D.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.如图,AB、AC与⊙O相切于B、C,∠A=500,点P是圆上
异于B、C的一个动点,则∠BPC的度数是( )
A.650 B.1150 C.650或1150 D。
1300或500
3.如图,线段AB经过圆心O,交⊙O于点A、C,∠B=300,
直线BD与⊙O切于点D,则∠ADB的度数是( )
A。
1500 B.1350 C。
1200 D.1000
4。
在平面直角坐标系中,以点(2,1)为圆心,1为半径的圆,必与( )
A.x轴相交 B.y轴相交 C.x轴相切D.y轴相切
5.如图,⊙
的直径
与弦
的夹角为
,切线
与
的延
长线交于点
若⊙
的半径为3,则
的长为( )
A.6 B。
C.3 D。
6.如图,已知直线CD与⊙O相切于点C,AB为直径,若∠BCD=40°,则∠ABC的大小等于_____。
7.如图,PA是⊙O的切线,切点为A,PA=
∠APO=30°,则⊙O的半径长为_______.
8。
如图,图同第5题,AB是⊙O的直径,BD=OB,∠CAB=300.,写出三个正确结论(除AO=OB=BD外):
①______________;②________________;③_________________。
9.已知∠AOB=300,M为OB边上任意一点,以M为圆心,2cm为半径作⊙M. 当OM=_______cm时,⊙M与OA相切(如图).
10。
如图,以等腰三角形ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点G,连结AD,并过点D作DE⊥AC,垂足为E。
根据以上条件写出三个正确的结论(除AB=AC,AO=BO,ABC=∠ABC外)是:
(1)___________________;
(2)___________________;(3)__________________
(6) (7) (9) (10)
11。
如图,∠PAQ是直角,⊙O与AP相切于点T,与AQ交于B、C两点.
(1)BT是