中考数学一元二次方程应用题经典题型汇总.docx

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中考数学一元二次方程应用题经典题型汇总

一元二次方程应用题经典题型汇总

同学们知道，学习了一元二次方程的解法以后，就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题，即列一元二次方程解应用题，不少同学遇到这类问题总是左右为难，难以下笔，事实上，同学们只要能认真地阅读题目，分析题意，并能学会分解题目，各个击破，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目，举例说明.

一、增长率问题

例1恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了

一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了

求这两个月的平均增长率.

20%，商厦从十

193.6万元，

解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200（1－20%）（1+x）2＝193.6，

即（1+x）2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）.

答这两个月的平均增长率是10%.

说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中

每一个数据的意义，即可利用公式m（1+x）2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若

经过两次相等下降后，则有公式m（1－x）2＝n即可求解，其中m＞n.

二、商品定价

例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过商店计划要盈利400元，需要进货多少件？

每件商品应定价多少？

若每件商20%，

解根据题意，得（a－21）（350－10a）＝400，整理，得a2－56a+775＝0，

解这个方程，得a1＝25，a2＝31.

因为21×（1+20%）＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去.

所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.

答需要进货100件，每件商品应定价25元.

说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.

三、储蓄问题

例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期

后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存

入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）

解设第一次存款时的年利率为x.

则根据题意，得[1000（1+x）－500]（1+0.9x）＝530.整理，得90x2+145x－3＝0.

解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将

x2≈－1.63舍去.

答第一次存款的年利率约是2.04%.

说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.

四、趣味问题

例4一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽

4米，

旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高

2米，

二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？

解设渠道的深度为xm，那么渠底宽为（x+0.1）m，上口宽为（x+0.1+1.4）m.

则根据题意，得

1

（x+0.1+x+1.4+0.1）x＝·1.8，整理，得

x2+0.8x－1.8＝0.

2

解这个方程，得

x1

2

＝－1.8（舍去），x＝1.

所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.

答渠道的上口宽2.5m，渠深1m.

说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.

五、古诗问题

例5读诗词解题：

（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.

大江东去浪淘尽，千古风流数人物；

而立之年督东吴，早逝英年两位数；

十位恰小个位三，个位平方与寿符；

哪位学子算得快，多少年华属周瑜？

解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3.

则根据题意，得x2＝10（x－3）+x，即x2-11x+30＝0，解这个方程，得

x＝5

或

x＝6.

当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.

答周瑜去世的年龄为36岁.

说明本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味.

六、象棋比赛

例6象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少

个选手参加

.

解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与（n－1）个选手比赛一局，共计n（n－

1）局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为

1n（n－1）局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n（n－1）分.显然（n－1）与n为相

2

邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是

1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n（n－1）＝1980，得n2－n－1980＝0，

解得n1＝45，n2＝－44（舍去）.

答参加比赛的选手共有45人.

说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.

七、情景对话

例7春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标

准.

某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位

这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

解设该单位这次共有

所以员工人数一定超过25

x名员工去天水湾风景区旅游人.

.因为

1000×25＝25000

＜27000

，

则根据题意，得[1000－20（x－25）]x＝27000.

整理，得x2－75x+1350＝0，解这个方程，得x1＝45，x2＝30.

当x＝45时，1000－20（x－25）＝600＜700，故舍去x1；

当x2＝30时，1000－20（x－25）＝900＞700，符合题意.

答：

该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.

说明求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中

找出符合题意的结论.

如果人数不超过

25人，

如果人数超过25人，每增加1

人均旅游费用为

1000元.

人，人均旅游费用降低

20元，

但人均旅游费用不得低于

700

图1

八、等积变形

例8将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）

（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.

（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.

以上两种方案是否都能符合条件?

若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的

半径；若不能符合条件，请说明理由.

解都能.

（1）设小路宽为x，则18x+16x－x2＝2×18×，15即x2－34x+180＝0，

3

解这个方程，得x＝34436，即x≈6.6.

2

（2）设扇形半径为r，则3.14r2＝2×18×，15即r2≈57.32，所以r≈7.6.

3

说明等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；

B

或形变积也变，但重量不变，等等.

Q

图2

AP

C

图3

图4

九、动态几何问题

例9如图4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.

（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？

（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面

积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.

解因为∠C＝90°，所以AB＝AC2

BC2＝62

82＝10（cm）.

（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以AP＝xcm，PC＝（6－x）cm，CQ＝2xcm.

则根据题意，得1·（6－x）·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2

2

＝4.

所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.

（2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.

则根据题意，得

1

（6－x）·2x＝1

×1×6×整8.理，得x2－6x+12＝0.

2

2

2

由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.

说明本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程＝速度×时间.

十、梯子问题

例10一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.

（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？

（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？

（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多

少米？

解依题意，梯子的顶端距墙角10262＝8（m）.

（1）若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.

则根据勾股定理，列方程72+（6+x）2＝102，整理，得x2+12x－15＝0，

解这个方程，得x1≈1.14，x2≈－13.14（舍去），

所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.

（2）当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动xm.

则根据勾股定理，列方程（8－x）2+（6+1）2＝100.整理，得x2－16x+13＝0.

解这个方程，得x1≈0.86，x2≈15.14（舍去）.

所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.

（3）设梯子顶端向下滑动xm时，底端向外也滑动xm.

则根据勾股定理，列方程（8－x）2+（6+x）2＝102，整理，得2x2－4x＝0，

解这个方程，得x1＝0（舍去），x2＝2.

所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.

说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三

角形.

十一、航海问题

例11如图5

所示，我海军基地位于

A处，在其正南方向200A

海里处有一重要目标

B，在B的正东方向

200海里处有一重要目标

D

C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛

F位于

BC上且恰好处于小岛

D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C

F

C

BE

匀速巡航．一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，图5

欲将一批物品送往军舰.

（1）小岛D和小岛F相距多少海里？

（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，

那么相遇时补给船航行了多少海里？

（精确到0.1海里）

解

（1）F位于D的正南方向，则DF⊥BC.因为AB⊥BC，D为AC的中点，所以DF＝1AB2

＝100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.

（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，EF＝AB+BC

－（AB+BE）－CF＝（300－2x）海里.

在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2＝1002+（300－2x）2，整理，得3x2－

1200x+100000＝0.

解这个方程，得

x1＝200－100

6≈118.4，x2＝200+

100

6（不合题意，舍去）.

3

3

所以，相遇时补给船大约航行了

118.4海里.

说明求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图

形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.

十二、图表信息

例12如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格，将边

长为n（n为整数，且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，

第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第

一张纸片的部分恰好为（n－1）×（n－1）个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形

ABCD的右下角为止.

请你认真观察思考后回答下列问题：

（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，?

完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：

纸片的边长n23456

使用的纸片张数

（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2.

①当n＝2时，求S1∶S2的值；

②是否存在使得S1

2

的n值？

若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.

＝S

解

（1）依题意可依次填表为：

11、10、9、8、7.

（2）S1＝n2+（12－n）[n2－（n－1）2]＝－n2+25n－12.

①当n＝2时，S1

＝－2

2

+25×2－

2

＝12×12－34＝110.

图6

12＝34，S

所以S1

2

＝34∶110＝17∶55.

∶S

②若S1

2

2

+25n－12

＝

1

，即n2－25n+84＝0，

＝S

，则有－n

2

×12

解这个方程，得n1＝4，n2＝21（舍去）.

所以当n＝4时，S1＝S2.所以这样的n值是存在的.

说明求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.

十三、探索在在问题

例13将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.

（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分

别是多少?

（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?

若能，求出两段铁丝的长度；若不

能，请说明理由.

解

（1）设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20－x）cm.

2

x

则根据题意，得+

4

2

20x

＝17，解得x1＝16，x2＝4，

4

当x＝16时，20－x＝4，当x＝4时，20－x＝16，

答这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.

（2）不能.理由是：

不妨设剪成两段后其中一段为ycm，则另一段为（20－y）cm.则

2

y

由题意得+

4

2

20y

＝12

，整理，得y2－20y+104

＝0，移项并配方，得

（y－10）2＝

4

－4＜0，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm2.

说明本题的第

（2）小问也可以运用求根公式中的b2－4ac来判定.若b2－4ac≥0，

方程有两个实数根，若b2－4ac＜0，方程没有实数根，本题中的b2－4ac＝－16＜0即无

解.

十四、平分几何图形的周长与面积问题

例14如图7，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.点E?

在下底边

BC上，点F在腰AB上.

（1）若

EF平分等腰梯形

ABCD的周长，设

BE长为

x，试用含

x的代数式表示△BEF

的面积；

（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？

若存在，求出此时

BE的长；若不存在，请说明理由；

（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成

存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由.

1∶2

的两部分？

若

解

（1）由已知条件得，梯形周长为

12，高4，面积为28.

A

D

F

过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K.

BG

K

EC

12x

则可得，FG＝

图7

×4，

5

所以S△BEF＝

1

BE·FG＝－

2

x2+

24

x（7≤x≤10）.

2

5

5

（2）存在.由

（1）得－2

2

24

x＝14，解这个方程，得

1

＝7

2

＝5（不合题意，

5

x+

x

，x

5

舍去），

所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE＝7.

（3）不存在.假设存在，显然有S△BEF∶S多边形AFECD＝1∶2，

即（BE+BF）∶（AF+AD+DC）＝1∶2.则有－2x2+16x＝28，

553

整理，得3x2－24x+70＝0，此时的求根公式中的b2－4ac＝576－840＜0，

所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.

说明求解本题时应注意：

一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得x2＝5时，

并不属于7≤x≤10，应及时地舍去；三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.

十五、利用图形探索规律

例15在如图8中，每个正方形有边长为

1的小正方形组成：

图8

（1）观察图形，请填写下列表格：

正方形边长

黑色小正方形个数

1

3

5

7

n（奇数）

正方形边长

黑色小正方形个数

2

4

6

8

n（偶数）

（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形

的个数为P

2，问是否存在偶数．．n，使P2＝5P1？

若存在，请写出n的值；若不存在，请说

明理由.

解

（1）观察分析图案可知正方形的边长为

1、3、5、7、、

n

时，黑色正方形的个