组合的应用.docx
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组合的应用
组合的应用
[A组 基础巩固]
1．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）
A．1 260 B．2 025
C．2 520 D．5 040
解析：
N＝C·C·A＝2 520.
答案：
C
2．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手都必须在内，那么不同的选法数共有（ ）
A．26 B．84
C．35 D．21
解析：
从7名队员中选出3人有C＝＝35种选法．
答案：
C
3．从5名男医生，4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）
A．70种 B．80种
C．100种 D．140种
解析：
可分两类，男医生2名，女医生1名或男医生1名，女医生2名．∴共有CC＋CC＝70（种）．
答案：
A
4．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）
A．30种 B．35种
C．42种 D．48种
解析：
解法一 可分两种情况：
A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有CC＋CC＝18＋12＝30种选法．
解法二 总共有C＝35种选法，减去只选A类的C＝1种，再减去只选B类的C＝4种，故有30种选法．
答案：
A
5．从正方体ABCDA′B′C′D′的8个顶点中选取4个，作为四面体的顶点，可得到的不同四面体的个数为（ ）
A．C－12 B．C－8
C．C－6 D．C－4
解析：
从8个顶点中任取4个有C种取法，其中6个面和6个对角面上的四个顶点不能作为四面体的顶点，故有（C－12）个不同的四面体．
答案：
A
6．从5名同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有________种．
解析：
从5人中选4人，有C种方法，对于选定的4人，让他们参加这3天的公益活动，选派方法共有C（CCC）＝60（种）．
答案：
60
7．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为________．
解析：
6人中选派4人的组合数为C，其中都选男生的组合数为C.所以至少有1名女生的选派方案有C－C＝14（种）．
答案：
14
8．空间中有6个点，它们任何3点不共线，任何4点不共面，则过其中两点的异面直线共有________对．
解析：
考虑到每一个三棱锥对应着3对异面直线，问题就转化为求能构成的三棱锥的个数．由于这6个点可构成C个三棱锥，故共有3C＝45对异面直线．
答案：
45
9．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
（1）只有1名女生；
（2）两名队长当选；
（3）至少有1名队长当选；
（4）至多有2名女生当选；
（5）既要有队长，又要有女生当选．
解析：
（1）1名女生，4名男生．故共有C·C＝350种选法．
（2）将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C·C＝165种选法．
（3）至少有1名队长，含有两类：
只有1名队长，2名队长．故共有C·C＋C·C＝825种选法．
或采用间接法，共有C－C＝825种选法．
（4）至多有2名女生，含有三类：
有2名女生，只有1名女生，没有女生．
故共有C·C＋C·C＋C＝966种选法．
（5）分两类：
第一类，女队长当选有C种；第二类，女队长不当选有C·C＋C·C＋C·C＋C种．
故共有C＋C·C＋C·C＋C·C＋C＝790种选法．
10．平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得多少个不同的三角形？
解析：
我们把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准．
第一类：
共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点，共有C·C＝48个不同的三角形；
第二类：
共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点，共有C·C＝112个不同的三角形；
第三类：
共线的4个点中没有点作为三角形的顶点，共有C＝56个不同的三角形．
由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216（个）．
[B组 能力提升]
1．某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号、2号、…、19号、20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组．那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是（ ）
A．16 B．21
C．24 D．90
解析：
要“确保5号与14号入选并被分配到同一组”，则另外两人的编号或都小于5或都大于14，于是根据分类加法计数原理，得选取种数是C＋C＝6＋15＝21，故选B.
答案：
B
2．以圆x2＋y2－2x－2y－1＝0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形的个数为（ ）
A．76 B．78
C．81 D．84
解析：
如图，首先求出圆内的整数点个数，然后求组合数，圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝3，圆内共有9个整数点，其中共线的情况有8种，则组成的三角形的个数为C－8＝76.故选A.
答案：
A
3．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________．
解析：
先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有CCCCC＝80（种）．
答案：
80
4．某车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外2名老师傅既能当钳工又能当车工．现在从这11名工人中选派4名钳工和4名车工修理一台机床，有多少种不同的选派方法？
解析：
设A、B表示2位老师傅，下面对A、B的选派情况进行分类：
（1）A、B都没选上的方法有CC＝5（种）；
（2）A、B都选上且都当钳工的方法有CCC＝10（种）；
（3）A、B都选上且都当车工的方法有CCC＝30（种）；
（4）A、B都选上且一人当钳工，一人当车工的方法有ACC＝80（种）；
（5）A、B有一人选上且当钳工的方法有CCC＝20（种）；
（6）A、B有一个选上且当车工的方法有CCC＝40（种）；
故共有5＋10＋30＋80＋20＋40＝185种选派方法．
5．某班打算从7名男生5名女生中选取5人作为班干部，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？
（1）A，B必须当选；
（2）A，B必不当选；
（3）A，B不全当选；
（4）至少有2名女生当选；
（5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．
解析：
（1）由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，故有C＝120种选法．
（2）从除去A，B两人的10人中选5人即可，故有C＝252种选法．
（3）全部选法有C种，A，B全当选有C种，故A，B不全当选有C－C＝672种选法．
（4）注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法求解．
所以有C－C·C－C＝596种选法．
（5）分三步进行：
第一步，选1男1女分别担任两个职务有C·C种选法．
第二步，选2男1女补足5人有C·C种选法．
第三步，为这3人安排工作有A种方法．
由分步乘法计数原理，共有CC·CC·A＝12 600种选法．
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[A组 基础巩固]
1．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）
A．1 260 B．2 025
C．2 520 D．5 040
解析：
N＝C·C·A＝2 520.
答案：
C
2．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手都必须在内，那么不同的选法数共有（ ）
A．26 B．84
C．35 D．21
解析：
从7名队员中选出3人有C＝＝35种选法．
答案：
C
3．从5名男医生，4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）
A．70种 B．80种
C．100种 D．140种
解析：
可分两类，男医生2名，女医生1名或男医生1名，女医生2名．∴共有CC＋CC＝70（种）．
答案：
A
4．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）
A．30种 B．35种
C．42种 D．48种
解析：
解法一 可分两种情况：
A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有CC＋CC＝18＋12＝30种选法．
解法二 总共有C＝35种选法，减去只选A类的C＝1种，再减去只选B类的C＝4种，故有30种选法．
答案：
A
5．从正方体ABCDA′B′C′D′的8个顶点中选取4个，作为四面体的顶点，可得到的不同四面体的个数为（ ）
A．C－12 B．C－8
C．C－6 D．C－4
解析：
从8个顶点中任取4个有C种取法，其中6个面和6个对角面上的四个顶点不能作为四面体的顶点，故有（C－12）个不同的四面体．
答案：
A
6．从5名同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有________种．
解析：
从5人中选4人，有C种方法，对于选定的4人，让他们参加这3天的公益活动，选派方法共有C（CCC）＝60（种）．
答案：
60
7．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为________．
解析：
6人中选派4人的组合数为C，其中都选男生的组合数为C.所以至少有1名女生的选派方案有C－C＝14（种）．
答案：
14
8．空间中有6个点，它们任何3点不共线，任何4点不共面，则过其中两点的异面直线共有________对．
解析：
考虑到每一个三棱锥对应着3对异面直线，问题就转化为求能构成的三棱锥的个数．由于这6个点可构成C个三棱锥，故共有3C＝45对异面直线．
答案：
45
9．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
（1）只有1名女生；
（2）两名队长当选；
（3）至少有1名队长当选；
（4）至多有2名女生当选；
（5）既要有队长，又要有女生当选．
解析：
（1）1名女生，4名男生．故共有C·C＝350种选法．
（2）将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C·C＝165种选法．
（3）至少有1名队长，含有两类：
只有1名队长，2名队长．故共有C·C＋C·C＝825种选法．
或采用间接法，共有C－C＝825种选法．
（4）至多有2名女生，含有三类：
有2名女生，只有1名女生，没有女生．
故共有C·C＋C·C＋C＝966种选法．
（5）分两类：
第一类，女队长当选有C种；第二类，女队长不当选有C·C＋C·C＋C·C＋C种．
故共有C＋C·C＋C·C＋C·C＋C＝790种选法．
10．平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得多少个不同的三角形？
解析：
我们把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准．
第一类：
共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点，共有C·C＝48个不同的三角形；
第二类：
共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点，共有C·C＝112个不同的三角形；
第三类：
共线的4个点中没有点作为三角形的顶点，共有C＝56个不同的三角形．
由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216（个）．
[B组 能力提升]
1．某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号、2号、…、19号、20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组．那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是（ ）
A．16 B．21
C．24 D．90
解析：
要“确保5号与14号入选并被分配到同一组”，则另外两人的编号或都小于5或都大于14，于是根据分类加法计数原理，得选取种数是C＋C＝6＋15＝21，故选B.
答案：
B
2．以圆x2＋y2－2x－2y－1＝0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形的个数为（ ）
A．76 B．78
C．81 D．84
解析：
如图，首先求出圆内的整数点个数，然后求组合数，圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝3，圆内共有9个整数点，其中共线的情况有8种，则组成的三角形的个数为C－8＝76.故选A.
答案：
A
3．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________．
解析：
先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有CCCCC＝80（种）．
答案：
80
4．某车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外2名老师傅既能当钳工又能当车工．现在从这11名工人中选派4名钳工和4名车工修理一台机床，有多少种不同的选派方法？
解析：
设A、B表示2位老师傅，下面对A、B的选派情况进行分类：
（1）A、B都没选上的方法有CC＝5（种）；
（2）A、B都选上且都当钳工的方法有CCC＝10（种）；
（3）A、B都选上且都当车工的方法有CCC＝30（种）；
（4）A、B都选上且一人当钳工，一人当车工的方法有ACC＝80（种）；
（5）A、B有一人选上且当钳工的方法有CCC＝20（种）；
（6）A、B有一个选上且当车工的方法有CCC＝40（种）；
故共有5＋10＋30＋80＋20＋40＝185种选派方法．
5．某班打算从7名男生5名女生中选取5人作为班干部，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？
（1）A，B必须当选；
（2）A，B必不当选；
（3）A，B不全当选；
（4）至少有2名女生当选；
（5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．
解析：
（1）由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，故有C＝120种选法．
（2）从除去A，B两人的10人中选5人即可，故有C＝252种选法．
（3）全部选法有C种，A，B全当选有C种，故A，B不全当选有C－C＝672种选法．
（4）注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法求解．
所以有C－C·C－C＝596种选法．
（5）分三步进行：
第一步，选1男1女分别担任两个职务有C·C种选法．
第二步，选2男1女补足5人有C·C种选法．
第三步，为这3人安排工作有A种方法．
由分步乘法计数原理，共有CC·CC·A＝12 600种选法．
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