导数中的构造函数最全精编.docx

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导数中的构造函数最全精编

导数小题中构造函数的技巧

函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。

（一）利用f（x）进行抽象函数构造

【例2】设

f（x）是定义在R上的偶函数，且

f

（1）=0，当x<0时，有

xf'（x）-f（x）>0恒成立，则不等式f（x）>0的解集为

时，2f（x）>xf'（x），则使得f（x）>0成立的x的取值范围是

【解析】构造F（x）=

f（x）

x2

，则F（x）=

f'（x）⋅x-2f（x）

，当x>0时，

x3

xf'（x）-2f（x）<0，可以推出x>0，F'（x）<0，F（x）在（0,+∞）上单调递减.∵f（x）为偶函数，x2为偶函数，所以F（x）为偶函数，∴F（x）在（-∞,0）上单调递增.根据f（-1）=0可得F（-1）=0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知

f（x）>0的解集为（-1,0）⋃（0,1）.

【变式提升】设函数f（x）满足x3f'（x）+3x2f（x）=1+lnx，且f（

则x>0时，f（x）（）

A、有极大值，无极小值B、有极小值，无极大值

xn

C、既有极大值又有极小值D、既无极大值也无极小值

e）=1，

2e

'

❀❀❀思路点拨：

满足“xf'（x）+nf（x）”形式，为n=3时情况，优先构造F（x）=f（x），

然后利用积分、函数的性质求解即可.

❀❀❀思路点拨：

满足“xf'（x）+nf（x）”形式，优先构造F（x）=xf（2x），然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.注意f（-2）=0和F（x）的转化.

【例4】设f（x）是定义在R上的奇函数，在（-∞,0）上有2xf'（2x）+f（2x）<0，且f（-2）=0，则不等式xf（2x）<0的解集为.

【解析】构造F（x）=xf（2x），则F'（x）=2xf'（x）+f（2x），当x<0时，

F'（x）=2xf'（x）+f（2x）<0，可以推出x<0，F'（x）<0，F（x）在（-∞,0）上单调递减.

∵f（x）为奇函数，x为奇函数，所以F（x）为偶函数，∴F（x）在（0,+∞）上单调递增.根据f（-2）=0可得F（-1）=0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知xf（2x）<0的解集为（-1,0）⋃（0,1）.

（2）利用f（x）与ex构造；

f（x）与ex构造，一方面是对u⋅v,u

v

函数形式的考察，另外一方面是对

（ex）=ex的考察.所以对于f（x）±f'（x）类型，我们可以等同

xf（x）,f（x）的类型处

x

理，“+”法优先考虑构造F（x）=

f（x）⋅ex，“”法优先考虑构造F（x）=

f（x）

ex.

我们根据得出的结论去解决例6题.

【例6】若定义在R上的函数f（x）满足f'（x）-2f（x）>0,f（0）=1，则不等式

f（x）>e2x的解集为

【变式提升】若定义在R上的函数f（x）满足f'（x）-2f（x）-4>0,f（0）=-1，则不等式f（x）>e2x-2的解集为

【例7】已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），若f（x）满足：

（x-1）[f'（x）-f（x）]>0，f（2-x）=f（x）e2-2x，则下列判断一定正确的是（）

（A）f

（1）<

f（0）

（B）f

（2）>e2f（0）

（C）f（3）>e3f（0）（D）f（4）

5

（3）利用f（x）与sinx,cosx构造.

sinx,cosx因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式.

【变式提升】定义在（0,

π

）上的函数，函数f

2

'（x）是它的导函数，且恒有

f（x）

πππ

A、f（）>

4

f（）3

B、f

（1）<2f（

）sin1

6

ππππ

C、f（）>

6

f（）4

D、f（）<

6

f（）3

则f'（0）=（）

A、26

B、29

C、212

D、215

f'（x）

正确的是（）

f（5π4ππ

A、）

63

B、f（）<

4

f（π）

C、f（-5π<

6

f（-4π

3

D、f（-π>

4

f（-π）

构造函数，作为一种做题技巧的体现，考察了学生的思考能力和动手能力，是一种非常实用的做题技巧，希望我的总结分享能够给大家带来帮助。