最新和华南理工数学分析考研试题及解答汇总.docx
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最新和华南理工数学分析考研试题及解答汇总
2004年和2005年华南理工数学分析考研试题及解答
华南理工大学2004年数学分析考研试题及解答
1求极限«SkipRecordIf...»。
解由«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»，
得«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»。
2设«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...»。
解对«SkipRecordIf...»两边求导，有
«SkipRecordIf...»，
于是有«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»，
对«SkipRecordIf...»两边求导，得
«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»，
故«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»。
3设«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，试证：
«SkipRecordIf...»收敛，并求«SkipRecordIf...»。
证明令«SkipRecordIf...»，则有«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上是严格递减的；
当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»；当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»；
若«SkipRecordIf...»，则有
显然«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»；
将«SkipRecordIf...»代入«SkipRecordIf...»，得«SkipRecordIf...»，
由«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»，
得«SkipRecordIf...»单调递减，«SkipRecordIf...»单调递增，
设«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，
在«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»中，令«SkipRecordIf...»取极限，
得«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，从而有«SkipRecordIf...»，故«SkipRecordIf...»
或者注意到«SkipRecordIf...»，我们有
当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»，
当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»，
于是«SkipRecordIf...»，知
«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»
往证«SkipRecordIf...»递减，«SkipRecordIf...»递增，实际上
从«SkipRecordIf...»中，解出«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
当«SkipRecordIf...»为偶数时，«SkipRecordIf...»，
当«SkipRecordIf...»为奇数时，«SkipRecordIf...»，
从而由单调有界原理，存在«SkipRecordIf...»使得
«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，
在«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»中，令«SkipRecordIf...»，取极限，有
«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，
解之得«SkipRecordIf...»，
故«SkipRecordIf...»。
4设«SkipRecordIf...»为单位圆周，逆时针方向为正向，求«SkipRecordIf...»。
解设«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，
取«SkipRecordIf...»充分小，«SkipRecordIf...»，利用格林公式
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»。
5．求«SkipRecordIf...»的收敛区间，并求级数的和。
解：
设«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»
当«SkipRecordIf...»时，原级数收敛，
当«SkipRecordIf...»时，原级数发散，
当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»发散
当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»收敛
所以收敛区间为«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
这是由于«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
于是«SkipRecordIf...»。
6.设S为单位球面的上半部分，外侧为正向，计算«SkipRecordIf...»
解：
设«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
利用高斯公式得
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
7.设«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»平面上的任一单位向量
⑴求«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处沿«SkipRecordIf...»方向的导数
⑵试讨论«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处的连续性与可微性
解：
⑴设«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
⑵由«SkipRecordIf...»知
«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处连续
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
极限不存在（«SkipRecordIf...»）
所以«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处不可微
8.设«SkipRecordIf...»连续，«SkipRecordIf...»，试证：
«SkipRecordIf...»
证明：
由«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»，
即«SkipRecordIf...»，
显然有«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，
结论得证。
9.设函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上三次可导，且«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，
试证：
存在«SkipRecordIf...»，使得«SkipRecordIf...»。
证明：
当«SkipRecordIf...»时，由«SkipRecordIf...»展式，存在«SkipRecordIf...»，使得
«SkipRecordIf...»，
由此可得«SkipRecordIf...»，
当«SkipRecordIf...»时，亦由«SkipRecordIf...»展式，存在«SkipRecordIf...»使得
«SkipRecordIf...»，
由此，得«SkipRecordIf...»，
综合以上情况，结论得证。
10.试讨论函数项级数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上的一致收敛性，以及«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上的有界性。
解：
设«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续，显然«SkipRecordIf...»发散，
所以«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上不一致收敛，
«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上不一致收敛于0，
«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上不一致收敛；
另一方面«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上无界，事实上，假若«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»有界，
则存在常数«SkipRecordIf...»,使得«SkipRecordIf...»，
在上式中，令«SkipRecordIf...»，得
«SkipRecordIf...»，（任意正整数«SkipRecordIf...»），
这里是矛盾的，
故«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上无界。
11.设«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续，«SkipRecordIf...»，令«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，
试证明：
对每一个有界连续函数«SkipRecordIf...»，均有«SkipRecordIf...»。
证明：
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»，
显然«SkipRecordIf...»，且是局部一致的，
«SkipRecordIf...»，（«SkipRecordIf...»），«SkipRecordIf...»收敛，其中«SkipRecordIf...»;
由积分控制收敛定理，得
«SkipRecordIf...»，
故有«SkipRecordIf...»，结论得证。
12.试证明«SkipRecordIf...»。
证明：
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»。
13.设«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»上连续非负函数，满足«SkipRecordIf...»，（«SkipRecordIf...»），«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，试证明：
«SkipRecordIf...»。
证明：
由条件知，«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上单调递增，«SkipRecordIf...»，
由«SkipRecordIf...»，（«SkipRecordIf...»）得
«SkipRecordIf...»，
令«SkipRecordIf...»，则有
«SkipRecordIf...»，
由此得，«SkipRecordIf...»，
从而有
«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»，
于是
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»，
结论得证。
13、设«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»上连续非负函数，满足«SkipRecordIf...»，（«SkipRecordIf...»），«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，试证明：
«SkipRecordIf...»。
证明：
由条件知，«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上单调递增，«SkipRecordIf...»，
由«SkipRecordIf...»，（«SkipRecordIf...»）得
«SkipRecordIf...»，
令«SkipRecordIf...»，则有
«SkipRecordIf...»，
由此得，«SkipRecordIf...»，
从而有
«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»，
于是
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»，
故«SkipRecordIf...»。
华南理工大学2005年数学分析考研试题及解答
1设«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，求极限«SkipRecordIf...»。
解由«SkipRecordIf...»
得«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
可知«SkipRecordIf...»单减有下界，«SkipRecordIf...»存在，设«SkipRecordIf...»，
在«SkipRecordIf...»中，令«SkipRecordIf...»，取极限，得
«SkipRecordIf...»，
解之得：
«SkipRecordIf...»。
2求积分«SkipRecordIf...»。
其中«SkipRecordIf...»是单位圆周«SkipRecordIf...»，逆时针为正向。
解«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»。
3讨论函数序列«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上的一致收敛性。
解方法一显然«SkipRecordIf...»，
对任意«SkipRecordIf...»，有«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»，关于«SkipRecordIf...»是一致的；
对任意«SkipRecordIf...»，当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»，
于是«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上是一致收敛于«SkipRecordIf...»的，
综合以上结果，
故«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上是一致收敛于«SkipRecordIf...»的.
方法二由«SkipRecordIf...»，
即得«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上是一致收敛于«SkipRecordIf...»的。
4设«SkipRecordIf...»由方程«SkipRecordIf...»所确定，证明：
«SkipRecordIf...»。
证明设«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，
在方程«SkipRecordIf...»中分别对«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»求偏导数，则有
«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»，
从而有«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»，
故«SkipRecordIf...»。
5.设«SkipRecordIf...»是偶函数，在«SkipRecordIf...»的某个领域中有连续的二阶导数，且«SkipRecordIf...»，
试证明：
«SkipRecordIf...»绝对收敛。
证明由«SkipRecordIf...»是偶函数，知«SkipRecordIf...»是奇函数
于是«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»，（«SkipRecordIf...»充分大）
其中«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，显然«SkipRecordIf...»收敛，
于是«SkipRecordIf...»绝对收敛。
6.设曲线«SkipRecordIf...»由方程组«SkipRecordIf...»确定，求该曲线在«SkipRecordIf...»处的切线方程和法线方程
解：
由«SkipRecordIf...»得«SkipRecordIf...»
由«SkipRecordIf...»知，«SkipRecordIf...»
解之得«SkipRecordIf...»，于是«SkipRecordIf...»，
曲线在«SkipRecordIf...»处的切线方程为«SkipRecordIf...»，法线方程为«SkipRecordIf...»。
7.求幂级数«SkipRecordIf...»的收敛域，并求该级数的和。
解：
设«SkipRecordIf...»，
当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»，
显然，当«SkipRecordIf...»时，原级数收敛，
当«SkipRecordIf...»时，原级数发散，故原幂级数的收敛域为«SkipRecordIf...»。
由«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»，
知«SkipRecordIf...»。
8.求«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»为椭球面«SkipRecordIf...»的上半部分，其定向为下侧。
解：
设«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»为上半部分椭球面的上侧，«SkipRecordIf...»，
利用高斯定理，得
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»。
9.
（1）设«SkipRecordIf...»，证明积分«SkipRecordIf...»关于«SkipRecordIf...»一致收敛；
（2）设«SkipRecordIf...»，计算积分«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»。
证明：
（1）由«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，（«SkipRecordIf...»），
而«SkipRecordIf...»收敛，
所以«SkipRecordIf...»关于«SkipRecordIf...»一致收敛；
（2）«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»。
10.设«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上二阶连续可导，且«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，（«SkipRecordIf...»）
试证明：
«SkipRecordIf...»，（«SkipRecordIf...»）
证明：
首先，«SkipRecordIf...»,因为，假若«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»无界。
对任意«SkipRecordIf...»
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