数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题.docx

数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题.docx

《数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题

数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。

由于图形千变万化，错综复杂，所以要想准确地数出其中包含的某种图形的个数，还真需要动点脑筋。

要想有条理、不重复、不遗漏地数出所要图形的个数，最常用的方法就是分类数。

　　例1：

数出下图中共有多少条线段。

　　分析与解：

我们可以按照线段的左端点的位置分为A，B，C三类。

如下图所示，以A为左端点的线段有3条，以B为左端点的线段有2条，以C为左端点的线段有1条。

所以共有3＋2＋1＝6（条）。

　　　我们也可以按照一条线段是由几条小线段构成的来分类。

如下图所示，AB，BC，CD是最基本的小线段，由一条线段构成的线段有3条，由两条小线段构成的线段有2条，由三条小线段构成的线段有1条。

所以，共有3＋2＋1＝6（条）。

　　由例1看出，数图形的分类方法可以不同，关键是分类要科学，所分的类型要包含所有的情况，并且相互不重叠，这样才能做到不重复、不遗漏。

　　例2：

下列各图形中，三角形的个数各是多少？

　　分析与解：

因为底边上的任何一条线段都对应一个三角形（以顶点及这条线段的两个端点为顶点的三角形），所以各图中最大的三角形的底边所包含的线段的条数就是三角形的总个数。

由前面数线段的方法知，

　　图

（1）中有三角形1＋2＝3（个）。

　　图

（2）中有三角形1＋2＋3=6（个）。

　　图（3）中有三角形1＋2＋3＋4＝10（个）。

　　图（4）中有三角形1＋2＋3＋4＋5＝15（个）。

　　图（5）中有三角形

　　1＋2＋3＋4＋5＋6=21（个）。

　　例3：

下列图形中各有多少个三角形？

　　分析与解：

（1）只需分别求出以AB，ED为底边的三角形中各有多少个三角形。

　　以AB为底边的三角形ABC中，有三角形

　　1＋2＋3＝6（个）。

　　以ED为底边的三角形CDE中，有三角形

　　1＋2＋3＝6（个）。

　　所以共有三角形6＋6=12（个）。

　　　这是以底边为标准来分类计算的方法。

它的好处是可以借助“求底边线段数”而得出三角形的个数。

我们也可以以小块个数作为分类的标准来计算：

图中共有6个小块。

　　由1个小块组成的三角形有3个；

　　由2个小块组成的三角形有5个；

　　由3个小块组成的三角形有1个；

　　由4个小块组成的三角形有2个；

　　由6个小块组成的三角形有1个。

　　所以，共有三角形

　　3＋5＋1＋2＋1＝12（个）。

（2）如果以底边来分类计算，各种情况较复杂，因此我们采用以“小块个数”为分类标准来计算：

　　由1个小块组成的三角形有4个；

　　由2个小块组成的三角形有6个；

　　由3个小块组成的三角形有2个；

　　由4个小块组成的三角形有2个；

　　由6个小块组成的三角形有1个。

　　所以，共有三角形

　　4＋6＋2＋2＋1＝15（个）。

　　例4：

右图中有多少个三角形？

　　解：

假设每一个最小三角

　　形的边长为1。

按边的长度来分

　　类计算三角形的个数。

　　边长为1的三角形，从上到下一层一层地数，有

　　1＋3＋5＋7=16（个）；

　　边长为2的三角形（注意，有一个尖朝下的三角形）有1＋2＋3＋1=7（个）；

　　边长为3的三角形有1＋2＝3（个）；

　　边长为4的三角形有1个。

　　所以，共有三角形

　　16＋7＋3＋1＝27（个）。

　　例5：

数出下页左上图中锐角的个数。

　　分析与解：

在图中加一条虚线，如下页右上图。

容

易发现，所要数的每个角都对应一个三角形（这个角与它所截的虚线段构成的三角形），这就回到例2，从而回到例1的问题，即所求锐角的个数，就等于从O点引出的6条射线将虚线截得的线段的条数。

虚线上线段的条数有

　　1+2+3+4+5=15（条）。

　　所以图中共有15个锐角。

　　例6：

在下图中，包含“*”号的长方形和正方形共有多少个？

解：

按包含的小块分类计数。

　　包含1小块的有1个；包含2小块的有4个；

　　包含3小块的有4个；包含4小块的有7个；

　　包含5小块的有2个；包含6小块的有6个；

　　包含8小块的有4个；包含9小块的有3个；

　　包含10小块的有2个；包含12小块的有4个；

　　包含15小块的有2个。

　　所以共有

　　1＋4＋4＋7＋2＋6＋4＋3＋2＋4＋2=39（个）。

　　例7：

同时包含两个*的长方形（含正方形）有多少个?

　　分析：

（1）要同时包含两个“*”，必须由四个相邻的长方形构成。

如下图：

　　所以，可以把图形简化成这样：

　　也就是把原来的7×5的长方形简化成了，横少一排，竖少一列，转化成6×4的长方形。

（2）在每一列中包含“*”的长方形有6个

　　包含一个长方形的有1个；包含二个长方形的有2个；包含三个长方形的有2个；包含四个长方形的有1个；共有6个。

　　（3）在每一排中包含“*”的长方形有12个

　　包含一个长方形的有1个；包含二个长方形的有2个；包含三个长方形的有3个；包含四个长方形的有3个；包含五个长方形的有2个；包含六个长方形的有1个；共有12个。

　　（4）所以，同时包含两个*的长方形（含正方形）有12×6=72（个）

　　例8：

有一块木板上钉了16个钉子，横竖都是4个，横竖相邻的两个钉子间的距离都相等。

用皮筋能套出多少个正方形？

分析：

套出的正方形包括三种情况。

第一种情况：

（1）包含一个小正方形的有：

3×3=9（个）

（2）包含四个小正方形的有：

2×2=4（个）

（3）包含九个小正方形的有：

1×1=1（个）

共有9+4+1=14（个）

第二种情况：

有4个。

第三种情况：

有2个。

所以共能套:

14+4+2=20（个）

　　数图形属于“计数”的范畴。

通常，计数有两种基本方法，一种是“分类计数”，一种是“分步计数”。

分类计数的理论基础是“加法原理”，分步计数的理论基础是“乘法原理”。

具体采用什么方法，要根据图形的构成特点和学生的能力水平适当选择。

如：

　　例9：

正五边形和它的对角线可以形成多少个三角形？

　一．分类计数

　　方法一：

按组成分类。

（1）单一的三角形（△ABF、△AFJ、△AJE……）有10个；

（2）由2部分组成的三角形（△ABJ、△AFE……）有10个；

　　（3）由3部分组成的三角形（△ABE、△BEH……）有10个；

　　（4）由5部分组成的三角形（△ACD……）有5个。

　　总共有10＋10＋10＋5＝35（个）。

　　方法二：

按形状分类。

　　根据图形的对称性：

（1）与△ABF相同的有5个；

（2）与△ABJ相同的有5个；

　　（3）与△ABE相同的有5个；

　　（4）与△AFJ相同的有5个；

　　（5）与△AFE相同的有5个；

　　（6）与△ACD相同的有5个；

　　（7）与△ACI相同的有5个。

　　总共有5×7＝35（个）。

　　二．分步计数

　　抓住“所有的三角形都至少有一个顶点是五边形的顶点”这个特征。

　　第一步：

以顶点A为代表。

（1）只涉及顶点A的三角形，只有△AFJ这1个；

（2）涉及顶点A和另一个顶点的三角形，有△ABF、△ABJ、△ABG、△ACI、△ADG、△AEI、△AEJ、△AEF共8个；

　　（3）涉及顶点A和另外2个顶点的三角形，有△ABC、△ABD、△ABE、△ACD、△ACE、△ADE共6个。

　　第二步：

推广到5个顶点。

（1）只涉及1个顶点的三角形无重复，有1×5＝5（个）；

（2）涉及2个顶点的三角形排除重复后，实际有8×5÷2＝20（个）；

　　（3）涉及3个顶点的三角形排除重复后，实际有6×5÷3＝10（个）。

　　总共有5＋20＋10＝35（个）。

　　可见，

　　分类计数比较直观，适合各年级学生。

其中，方法一具有一般性，适用于所有图形；方法二只适用于特殊图形（对称图形，特别是多向对称图形）。

　　分步计数比较抽象，只适合分析概括能力较强的高年级学生。

关键和难点在于发现图形构成的内在规律。

　　无论是分类计数还是分步计数，对于小学生来说，要求图形都不能太复杂，否则，极易发生重复或遗漏。

设计题目时，必须从学生实际出发，不能要求过高。

作业：

1.请数数看下面有多少个正方形

2.请数数下面有多少个三角形?

多少个正方形？

后记：

数图形问题，让孩子对图形有初步的感应，认识，对以后中学学几何有好处，有些比较复杂，也能锻炼孩子做题目办事细心的问题

数学竞赛中常遇到数图形问题。

这类问题一般都要先寻求规律，而后按照这个规律去数图形。

数图形时要有次序、有条理，才能不遗漏、不重复。

　　因此，一般步骤应是：

仔细观察、发现规律、应用规津。

运用规律常能使解法简便。

例1下面两根线段中各有多少条线段？

解

（1）由一条基本线段构成的线段有：

　　AB、BC、CD、DE，共4条；

　　由两条基本线段构成的线段有：

　　AC、BD、CE，共3条；

　　由三条基本线段构成的线段有：

　　AD、BE，共2条；

　　由四条基本线段构成的线段只有AE1条。

　　因此共有线段：

　　　　4+3+2+1

　　=（4+1）×4÷2

　　=10（条）

（2）可以采用

（1）同样的解法：

　　由一条基本线段组成的线段有6条，

　　由两条基本线段组成的线段有5条，

　　由三条基本线段组成的线段有4条，

　　由四条基本线段组成的线段有3条，

　　由五条基本线段组成的线段有2条，

　　由六条基本线段组成的线段有1条，

　　共有线段：

　　　6+5+4+3+2+1

　　=（6+1）×6÷2

　　=21（条）

答

（1）中有10条线段。

（2）中有21条线段。

　　这种先分类再排序的方法称为分类排序法。

这样排序，不易遗漏和重复。

　　由以上例子可以推知，如果线段上有五个点，就构成了四条基本线段，总线段数为四个连续自然数的和：

4+3+2+1。

如果有n个点，线段总数为（n-1）+（n-2）+…+3+2+1=n×（n-1）÷2（条）。

找到了这个规律，我们就可以运用这个公式来解答这类问题。

例2在∠AOB（图6－2）内有8条从O点引出的射线，可组成各种大小不同的角一共有多少个？

解这问题类似于例1，

　　10×9÷2=45（个）

答图中有45个角。

解3数一数，图6－3一共有几个长方形？

分析可以按照顺序去数长方形的个数，也可以通过分析研究，找出数长方形的规律。

长方形是由长和宽组成的，

　　图中共有3个长（横向线段）、3个宽（竖向线段），

解

　　3×3＝9（个）

答图中共有9个长方形。

　　这一类型的问题在后面还要专门讨论。

例4如图6－4。

（1）如上图这样的形状，如果最底层有11个三角形，那么这堆小三角形共有多少个？

（2）现在共有169个小三角形，按上图排列，那么最底层三角形有几个？

分析根据图示可以得到规律，底层与总数有“2→4，3→9，4→16”的关系。

而22＝4，33=9，44＝16，就是：

“底层的个数的平方正好等于总数”。

所以可得：

（1）下层有11个小三角形，共有

　　11×11=121（个）

（2）因为13×13＝169，所以169个小三角形如上图排列，底层有13个小三角形。

练    习

　　1．线段AB上除两端外有49个点，问这条线段上共有多少条线段？

　　2．下图中共有多少个三角形？

　　3．把长2厘米、宽1厘米的长方形硬纸片按照下图一层层叠起来。

（1）如果叠5层，周长是（）厘米。

（2）如果周长是120厘米，共有（）层。