冀教版七年级下册数学知识点总结.docx

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冀教版七年级下册数学知识点总结

冀教版七年级下册知识点总结

第六章二元一次方程组

1、含有未知数的等式叫方程，使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解。

2、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫二元一次方程，二元一次方程的一般形式为（为常数，并且）。

使二元一次方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程的解，一个二元一次方程一般有无数组解。

3、方程组含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫二元一次方程组。

使二元一次方程组每个方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程组的解，一个二元一次方程组一般有一个解。

4、用代入法解二元一次方程组的一般步骤:

观察方程组中，是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数，如果有，则将它直接代入另一个方程中;如果没有，则将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数;再将表示出的未知数代入另一个方程中，从而消去一个未知数，求出另一个未知数的值，将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值。

5、用加减法解二元一次方程组的一般步骤:

（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使同一个未知数的系数相等或互为相反数;

（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数;（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值;（4）将求出的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值，从而得到原方程组的解。

6、解三元一次方程组的一般步骤:

①观察方程组中未知数的系数特点，确定先消去哪个未知数;②利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程，与另外两个方程分别组成两组，消去同一个未知数，得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组;③解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值;④将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程中，求出第三个未知数的值，从而得到原三元一次方程组的解。

第七章相交线与平行线

1、邻补角与对顶角：

两直线相交所成的四个角中存在两种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：

图形

顶点

边的关系

大小关系

对顶角

∠1与∠2

有公共顶点

∠1的两边与∠2的两边

互为反向延长线

对顶角相等

即∠1=∠2

邻补角

∠3与∠4

有公共顶点

∠3与∠4有一条边公共，

另一边互为反向延长线。

邻补角互补

∠3+∠4=180°

注意点：

⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；

⑵如果∠α与∠β是对顶角，则一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，则∠α与∠β不一定是对顶角.

⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.

两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。

两线四角：

经过一点画m条直线，共有m（m-1）对对顶角，共有2m（m-1）对邻补角。

2、垂线定义:

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

符号语言记作：

如图所示：

AB⊥CD，垂足为O.

垂直定义有以下两层含义：

（1）∵∠AOC=90°（已知），∴AB⊥CD（垂直的定义）．

（2）∵AB⊥CD（已知），∴∠AOC＝90°（垂直的定义）．

3、垂线性质:

性质1：

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简称：

垂线段最短。

4、垂线的画法：

过直线外一点画已知直线的垂线：

以点P为圆心,任意长为半径,画弧,交直线于两点（如图）,分别以这两点为圆心,大于两点间距离的1/2长为半径,画弧,两弧交与一点.连接p与该点,并延长与直线相交即可.

5、垂线段的概念：

由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫做垂线段。

6、点到直线的距离：

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

7、正确理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近又相异的概念

‘

⑴垂线与垂线段区别：

垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。

⑵两点间距离与点到直线的距离区别：

两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。

⑶线段与距离：

距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。

8、平行线的概念：

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线

与直线

互相平行，记作

∥

。

9、两条直线的位置关系：

在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：

⑴相交；⑵平行。

10、平行公理：

（平行线的存在性与唯一性）：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

11、平行公理的推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

如图所示，∵

∥

，

∥

∴

∥

12、三线八角：

两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。

如图，直线

被直线

所截：

∠1与∠5在截线

的同侧，同在被截直线

的上方，叫做同位角（位置相同）

②∠5与∠3在截线

的两旁（交错），在被截直线

之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）

③∠5与∠4在截线

的同侧，在被截直线

之间（内），叫做同旁内角。

④三线八角也可以从模型中看出。

同位角是“F”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。

13、两直线平行的判定方法:

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称：

同位角相等，两直线平行

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简称：

内错角相等，两直线平行

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简称：

同旁内角互补，两直线平行

几何符号语言：

∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

14、平行线的性质：

两条直线被第三条直线所截，

性质1：

两直线平行，同位角相等；几何符号语言：

∵AB∥CD∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）

性质2：

两直线平行，内错角相等；∵AB∥CD∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）

性质3：

两直线平行，同旁内角互补。

∵AB∥CD∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

15、平行线的性质与判定的区别和联系：

平行线的性质与判定是互逆的关系:

两直线平行

同位角相等；两直线平行

内错角相等；两直线平行

同旁内角互补。

16、两条平行线的距离：

如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离。

注意：

直线AB∥CD，在直线AB上任取一点G，则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离。

17、命题：

命题的概念：

判断一件事情的语句，叫做命题。

每个命题都是题设、结论两部分组成。

命题常写成“如果…那么…”的形式。

用“如果”开始的部分是题设，题设是已知事项；

用“那么”开始的部分是结论，结论是由已知事项推出的事项。

真命题：

如果题设成立，那么结论一定成立的命题；

假命题：

如果题设成立，不能保证结论一定成立的命题。

18、定理：

经过推理证实得到的真命题叫做定理.

19、平移变换：

①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。

②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移。

20、平移的特征：

①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化。

②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。

第八章整式的乘法

知识点一：

同底数幂相乘

同底数幂的乘法

知识点二：

幂的乘方与积的乘方

1、幂的乘方

2、积的乘方

知识点三：

同底数幂的除法

同底数幂的除法

知识点四．单项式的乘法法则：

单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

知识点五．单项式与多项式的乘法法则：

a（b+c+d）=ab+ac+ad

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．

知识点六．多项式与多项式的乘法法则：

（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．

知识点七．乘法公式：

①完全平方公式：

（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

（a－b）2＝a2－2ab＋b2

语言叙述：

两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍．

②平方差公式：

（a＋b）（a－b）＝a2－b2

语言叙述：

两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．

第九章三角形

一、三角形相关概念

1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形

要点：

①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．

2．三角形中的三种重要线段

（1）三角形的角平分线：

三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．

（2）三角形的中线：

在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．

（3）三角形的高线：

从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．

二、三角形三边关系定理

①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：

a+b>c，b+c>a，c+a>b．

②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：

a>b-c，b>a-c，c>b-a．

注意：

判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可

三、三角形的稳定性

三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．

四、三角形的内角

结论1：

三角形的内角和为180°．表示：

在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°

结论2：

在直角三角形中，两个锐角互余．

注意：

①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角

如：

在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）

②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．

如：

△ABC中，已知∠A：

∠B：

∠C=2：

3：

4，求∠A、∠B、∠C的度数．

五、三角形的外角

1．意义：

三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．

2．性质：

①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.

③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补

第十章一元一次不等式和一元一次不等式组

1、用不等号表示不等关系的式子叫不等式，不等号主要包括:

>、<、≥、≤、≠。

2、在含有未知数的不等式中，使不等式成立的未知数的值叫不等式的解，一个含有未知数的不等式的所有的解组成的集合，叫这个不等式的解集。

不等式的解集可以在数轴上表示出来。

求不等式的解集的过程叫解不等式。

含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的不等式叫一元一次不等式。

3、不等式的性质:

①性质1:

不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

用字母表示为:

如果，那么;如果，那么;

如果，那么;如果，那么。

②性质2:

不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

用字母表示为:

如果，那么（或）;如果，那么（或）;

如果，那么（或）;如果，那么（或）;

③性质3:

不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

用字母表示为:

如果，那么（或）;如果，那么（或）;

如果，那么（或）;如果，那么（或）;

4、解一元一次不等式的一般步骤:

①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1。

这与解一元一次方程类似，在解时要根据一元一次不等式的具体情况灵活选择步骤。

5、不等式组中含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的不等式组叫一元一次不等式组。

使不等式组中的每个不等式都成立的未知数的值叫不等式组的解，一个不等式组的所有的解组成的集合，叫这个不等式组的解集解（简称不等式组的解）。

不等式组的解集可以在数轴上表示出来。

求不等式组的解集的过程叫解不等式组。

6、解一元一次不等式组的一般步骤:

①求出这个不等式组中各个不等式的解集;②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，得到这个不等式组的解集。

如果这些不等式的解集的没有公共部分，则这个不等式组无解（此时也称这个不等式组的解集为空集）。

7、求出各个不等式的解集后，确定不等式组的解的口诀:

大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找。

因式分解

第十一章．因式分解

因式分解的定义：

把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．

一、掌握因式分解的定义应注意以下几点：

（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；

（2）因式分解必须是恒等变形；

（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．

因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．

二、熟练掌握因式分解的常用方法．

1、提公因式法

（1）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：

①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；

（2）提公因式法的步骤：

第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．

（3）注意点：

①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．

2、公式法

运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；

①平方差公式：

a2－b2＝（a＋b）（a－b）

②完全平方公式：

a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2

a2－2ab＋b2＝（a－b）2

应用题

行程问题

1、相遇问题：

各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系

2、追及问题：

两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。

3、环形跑道上的相遇和追及问题：

同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。

航行问题

顺水速度＝静水中速度＋水流速度；逆水速度＝静水中速度－水流速度。

工程问题工作总量＝工作效率×工作时间；合做的效率＝各单独做的效率的和。

（当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”，分析时可采用列表或画图来帮助理解）

溶液配制问题

溶液质量＝溶质质量＋溶剂质量；溶质质量＝溶液中所含溶质的质量

利润率问题

商品的利润＝商品售价－商品的进价；商品利润率＝商品利润／商品进价×100％，注意打几折销售就是按原价的百分之几出售。

数字问题

要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。

列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式，一个多位数是各位上数字与该位计数单位的积之和。

年龄问题

基本数量关系：

大小两个年龄差不会变。

抓住年龄增长，一年一岁，人人平等