上海专高考数学分项解析专题10立体几何文.docx

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上海专高考数学分项解析专题10立体几何文

专题10立体几何文

【2015/2016】

1、【2015高考上海文数】若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则.

【答案】4

【解析】依题意，，解得.

【考点定位】等边三角形的性质，正三棱柱的性质.

【名师点睛】正三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面.柱体的体积等于底面积乘以高.边长为的正三角形的面积为.

2.【2015高考上海文数】（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为，底面的一条直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点.已知，，求三棱锥的体积，并求异面直线与所成角的大小.

【答案】

所以异面直线与所成角的大小.

【考点定位】圆锥的性质，异面直线的夹角.

【名师点睛】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：

利用图中已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．

3.【2016高考上海文数】如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）.

（A）直线AA1（B）直线A1B1

（C）直线A1D1（D）直线B1C1

【答案】D

【考点】异面直线

【名师点睛】本题以正方体为载体，研究直线与直线的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，题目不难，能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、空间想象能力等.

4.【2016高考上海文数】（本题满分12分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分6分.

将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.

（1）求圆柱的体积与侧面积；

（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.

【答案】

（1），；

（2）．

【解析】

【考点】几何体的体积、空间角

【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答此类试题时，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等.

一．基础题组

1.【2014上海,文8】在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于　　　　　.

【答案】24

【解析】由题意割去的两个小长方体的体积为.

【考点】三视图，几何体的体积..

2.【2013上海,文10】已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A、B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图．若直线OA与BC所成角的大小为，则＝______.

【答案】　

【解析】由题知，.

3.【2012上海,文5】一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为__________．

【答案】6π

4.【2011上海,文7】若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积是________．

【答案】3π

【解析】

5.【2010上海,文6】已知四棱椎P—ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝8，则该四棱椎的体积是________．

【答案】96

6.（2009上海,文5）如图,若正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为2,高为4,则异面直线BD1与AD所成角的大小是______________.（结果用反三角函数值表示）

【答案】

【解析】∵BC∥AD,∴∠CBD1等于异面直线BD1与AD所成的角.

在Rt△BCD1中,

∵BC=2,,

∴tan∠CBD1=.

∴∠CBD1=.

7.（2009上海,文6）若球O1、O2表面积之比,则它们的半径之比=__________.

【答案】2

【解析】由,得.

8.（2009上海,文8）若等腰直角三角形的直角边长为2,则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是__________.

【答案】

9.（2009上海,文16）如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长为4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是（）

【答案】B

【解析】由于主视图是在几何体的正前方,用垂直于投影面的光线照射几何体而得到的投影,易知图形B符合题意.

10.【2007上海,文7】如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的大小是（结果用反三角函数值表示）.

【答案】

【解析】

11.【2007上海,文16】（本题满分12分）

在正四棱锥中，，直线与平面所成的角为，求正四棱锥的体积.

【答案】

【解析】作平面，垂足为.连接，是正方形的中心，是直线与平面所成的角.

＝，.，，，

.

12.【2006上海,文16】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是

（A）48（B）18（C）24（D）36

【答案】D

13.【2005上海,文12】有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是__________.

【答案】

【解析】两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况四棱柱有一种，就是边长为的边重合在一起，表面积为24+28三棱柱有两种，边长为的边重合在一起，表面积为24+32边长为的边重合在一起，表面积为24+36两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况表面积为12+48最小的是一个四棱柱，这说明

二．能力题组

1.【2014上海,文19】（本题满分12分）

底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形，如图，求△的各边长及此三棱锥的体积.

【答案】边长为4，体积为．

【解析】

即，三棱锥是边长为2的正四面体

∴如右图所示作图，设顶点在底面内的投影为，连接，并延长交于

∴为中点，为的重心，底面

∴，，

【考点】图象的翻折，几何体的体积．

2.【2013上海,文19】如图，正三棱锥O－ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．

【答案】体积为，表面积为

3.【2012上海,文19】如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知，AB＝2，，PA＝2.求：

（1）三棱锥P－ABC的体积；

（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．

【答案】

（1）;

（2）

【解析】

（1），三棱锥P－ABC的体积为.

（2）取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，

所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC与AD所成的角．

在△ADE中，DE＝2，，AD＝2，

，

所以.

因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是.

4.【2011上海,文20】已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1＝2，求：

（1）异面直线BD与AB1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）四面体AB1D1C的体积．

【答案】

（1）;

（2）

5.【2010上海,文20】如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分．再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．

（1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？

并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；

（2）若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）．

【答案】

（1）当半径r＝0.4（米）时，Smax＝0.48π≈1.51（平方米）;

（2）参考解析

6.【2008上海,文16】（本题满分12分）

如图，在棱长为2的正方体中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

【答案】

7.【2006上海,文19】（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。

在直三棱柱中，.

（1）求异面直线与所成的角的大小；

（2）若与平面S所成角为，求三棱锥的体积.

【答案】

（1）45°;

（2）

【解析】

（1）∵BC∥B1C1,∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角（或它的补角）

∵∠ABC=90°,AB=BC=1,∴∠ACB=45°,

∴异面直线B1C1与AC所成角为45°.

（2）∵AA1⊥平面ABC,

∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角,∠ACA=45°.

∵∠ABC=90°,AB=BC=1,AC=,

∴AA1=.

∴三棱锥A1-ABC的体积V=S△ABC×AA1=.

8.【2005上海,文17】（本题满分12分）已知长方体中，M、N分别是和BC的中点，AB=4，AD=2，与平面ABCD所成角的大小为，求异面直线与MN所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

【答案】arctan

∴∠DB1C=arctan.

即异面直线B1D与MN所成角的大小为arctan.