数值分析学期期末考试试题与答案A.docx

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数值分析学期期末考试试题与答案A

期末考试试卷（A卷）

2007学年第二学期考试科目：

数值分析考试时间：

120分钟

学号

姓名

年级专业

题号

一

二

三

四

总分

2

3

4

5

1

6

得分

评阅人

一、判断题（每小题

2分，共10分）

1.

用计算机求1000

1时，应按照n从小到大的顺序相加。

（

）

1000

n1

n

2.

为了减少误差,应将表达式2001

1999改写为

2

进行计算。

（

）

2001

1999

3.

用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。

（

）

4.

采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，

公式阶数越高，数值解越精确。

（

）

5.用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有

关，与常数项无关。

（

）

二、填空题（每空

2分，共36

分）

1.

已知数a的有效数为

0.01，则它的绝对误差限为

________，相对误差限为_________.

1

0

1

0

2.

设A0

2

1

x

5,则A1_____，x

2______，Ax

_____.

1

3

0

1

3.

已知f（x）

2x5

4x3

5x,则f[

1,1,0]

f[

3,2,

1,1,2,3]

.

4.

为使求积公式

1

f（x）dx

A1f（

3）A2f（0）A3f（

3）的代数精度尽量高，应使

1

3

3

A1

，A2

，A3

，此时公式具有

次的代数精度。

5.

n阶方阵A的谱半径

（A）与它的任意一种范数

A的关系是

.

6.

用迭代法解线性方程组

AX

B时，使迭代公式

X（k1）

MX（k）

N（k

0,1,2,

）产

生的向量序列

X（k）

收敛的充分必要条件是

.

7.

使用消元法解线性方程组

AXB时，系数矩阵

A可以分解为下三角矩阵

L和上三角矩

1/13

阵U的乘积，即A

LU.若采用高斯消元法解

AX

B，其中A

4

2

2

，则

1

L_______________

，U

______________

；若使用克劳特消元法解

AX

B，则

u11

____；若使用平方根方法解AX

B，则l11与u11

的大小关系为_____（选填：

>，

<，=，不一定）。

8.

以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题

y

x

y

y（0）

的数值解，其迭代公式为

1

___________________________.

三、计算题（第1～3、6小题每题

8分，第4、5小题每题

7分，共46

分）

1.

以x0

2为初值用牛顿迭代法求方程

f（x）x3

3x

1

0在区间（1,2）

内的根，要求

（1）

证明用牛顿法解此方程是收敛的；

（2）

给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根（只需计算

x1,x2,

计算结果

取到小数点后

4位）。

2/13

2.给定线性方程组

x10.4x2

0.4x3

1

0.4x1

x2

0.8x3

2

0.4x1

0.8x2x3

3

（1）分别写出用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组的迭代公式；

（2）试分析以上两种迭代方法的敛散性。

3.已知函数yf（x）在如下节点处的函数值

x

-1

0

1

2

y

1

4

3

0

（1）

建立以上数据的差分表；

（2）

根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式

P2（x），并计算

y（1.1）的近似值；

（3）

采用事后估计法计算（

2）中近似值的截断误差（结果保留四位小数）

。

3/13

4.已知如下数据表，试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式。

x

-1

0

1

2

y

1

2

5

0

4/13

5.已知函数y

f（x）在以下节点处的函数值，利用差商表求

f（3）和f

（3）的近似值。

x

1

3

4

y

2

1

8

6.写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估－校正公式求解下列常微分方程的数值解。

yx2y2

（0x1,h0.2）

y（0）0

5/13

四、（8分）已知n+1个数据点（xi,yi）（i0,1,2,

n），请用多种方法建立这些数据点之间

的函数关系，并说明各种函数的适用条件。

6/13

期末考试答案及评分标准（A卷）

2007学年第二学期考试科目：

数值分析

一、判断题：

（每小题

2分，共

10分）

1.

×

2.

√

3.×

4.

×

5.

×

二、填空题：

（每空2

分，共36

分）

1.

0.005

10

2

0.5

或0.5

，

2.

5,

26,15

3.

0,2

4.

1,0,1,3

5.

（A）

A

6.

（M）

1

1

0

4

2

1

1,

7.

1

0

2

2

8.

y

yn

（

xn

y）

（1

xn

y）y

1.5xn2.5yn

0.5,n0,1,2,

n

1

n

1

n或

n1

2

三、解答题（第

1～4小题每题

8分，第5、6小题每题

7分，共

46分）

1.

（1）证明：

f（x）x33x1，由于

a）

f

（1）

3

0,f

（2）

1

0,

b）

f（x）

3x2

30

（x（1,2））,

c）

f（x）

6x

0

（x

（1,2））,即f

（x）在（1,2）上不变号，

d）对于初值x02，满足f

（2）f

（2）0,

所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分

（2）解：

牛顿迭代法的迭代公式为

7/13

xn1

xn

f（xn）

xn

xn3

3xn1

f（xn）

3xn2

3

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分

取初值x02进行迭代，得

x11.8889,

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分

x21.8795.

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分

2.解：

（1）Jacobi迭代公式为

x1（k1）

0.4x2（k）

0.4x3（k）

1

x2（k1）

0.4x1（k）

0.8x3（k）

2

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2分

x3（k1）

0.4x1（k）

0.8x2（k）

3

Gauss-Seidel迭代公式为

x1（k1）

0.4x2（k）

0.4x3（k）

1

x2（k1）

0.4x1（k1）

0.8x3（k）

2

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2分

x3（k1）

0.4x1（k1）

0.8x2（k1）

3

0.4

0.4

（2

）Jacobi

迭代矩阵的特征方程为

0

.4

0.8

0

，展开得

0

.4

0.8

3

0.96

0.256

0，即（

0.8）（

0.40.505）（

0.4

0.505）

0，

从而得1

-1.0928,

20.8000,

3

0.2928，（或由单调性易判断必有一个大于

1

的特征根，）因此迭代矩阵的谱半径等于必大于

1，所以Jacobi迭代法发散。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2分

0.4

0.4

Gauss-Seidel

迭代矩阵的特征方程为

0.4

0.8

0

，展开得

0.4

0.8

（2

0.832

0.128）0，解得

1

0,2

0.628,30.204,迭代矩阵的谱半径

小于1，所以Gauss-Seidel迭代法收敛。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分

3.解：

（1）建立差分表

8/13

x

y

y

2y

3y

1

1

3

0

4

4

1

2

1

3

2

3

2

0

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2分

（2）建立牛顿后插公式为

P2（x）0

3

（x2）

2

（x2）（x1）

1!

2!

3（x2）（x2）（x1）

x2

4

则所求近似值为

P2（1.1）

2.79

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3分

（3）根据前三个节点建立牛顿后插公式为

P2

（1）（x）3

1（x1）

4（x1）x

1!

2!

3

（x

1）

2x（x1）

2x2

x

4

则

P2

（1）（1.1）2.68

根据事后误差估计法

R2（x）

x

2P2（0.9）P2

（1）（0.9）

x

1

故截断误差

R2（1.1）

0.9

（2.792.68）0.0471

2.1

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3分

4.解：

设所求二次最小平方逼近多项式为P2（x）a0a1xa2x2.根据已知数据，得

1

1

1

a0

1

1

0

0

2

A

a1

M

1

1

Y

1

a2

5

1

2

4

0

9/13

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分

则

4

2

6

8

MM2

6

8

MY

4

6

8

18

6

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分

建立法方程组为

4

2

6

a0

8

2

6

8

a1

4

6

8

18

a2

6

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分

解得

a03.5,a11.5,a21.5.

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分

从而得所求一次最小平方逼近多项式为P1（x）3.51.5x1.5x2.

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分

5.解：

设P2（x）为已知节点数据的插值二次多项式。

构造如下差商表：

x

y

一阶差商

二阶差商

1

2

2

5

4

8

7

2

3

1

P2[3,3]

P2[4,3,3]

3

P2（3）

P2[3,3]

P2[3,3,3]

3

P2（3）

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2分

因为二次多项式的二阶差商为常数，又

P2（x）是f（x）的插值函数，故有

P2

[4,3,3]

P2

5

[3,3,3]

2

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2分

而

P2[4,3,3]

P2[3,3]7

5，

3

4

2

因此得

10/13

9

P2[3,3]，

2

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分

由于

f（k）（x）k!

Pn[x,x,x,,x]，

k1

从而得

f（3）P2[3,3]

9,

2

f（3）2!

P2[3,3,3]5.

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分

6.解：

前进欧拉公式：

yn1

yn

h

f（xn,yn）yn

0.2xn2

0.2yn2

⋯⋯⋯⋯1分

后退欧拉公式：

yn1

yn

h

f（xn1,yn

1）

yn

0.2xn2

1

0.2yn2

1⋯⋯1分

预估时采用欧拉公式

yn*

1

yn

0.2xn2

0.2yn2

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1分

校正时采用后退欧拉公式

yn1

yn

0.2xn21

0.2yn*

2

1

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1分

由初值

知，节点分别为

xi

0.2i,（i1,2,3,4,5）

0,h0.2

x00,y0

当x10.2,

y1*

y0

0.2x02

0.2y02

0,

y1

y0

0.2x120.2

y1*

2

0.008，

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1分

当x20.4,

y*2y10.2x120.2y120.0160,

11/13

y2y10.2x22

0.2y2*

2

0.0401.

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分

当x30.6,

y3*

y2

0.2x22

0.2y22

0.0724,

0.2x32

0.2y3*

2

y3

y2

0.1131.

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分

当x40.8,

y4*

y3

0.2x32

0.2y32

0.1877,

0.2x42

0.2y4*

2

y4

y3

0.2481.

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分

当x51.0,

y5*

y4

0.2x42

0.2y42

0.3884,

y5

y4

2

*

2

0.2x5

0.2y5

0.4783.

四、（8分）

答：

1、可以建立插值函数：

（1）Newton基本差商公式

Pn（x）f（x0）（xx0）f[x1,x0]（xx0）（xx1）f[x2,x1,x0]（xx0）（xx1）（xxn1）f[xn,,x1,x0]

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分

（2）Lagrange插值多项式

Ln（x）a0f（x0）a1f（x1）

aif（xi）

anf（xn）

其中ai

（xx0）（xxi

1）（xxi1）（xxn）

0,1,,n）.

（xix0）（xi

xi

（i

1）（xixi1）（xixn）

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1分

这两类插值函数的适用条件是：

n不太大；而且要求函数严格通过已知数据点。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2分

2、可以建立拟合函数：

12/13

Pm（x）a0a1xa2x2amxm

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分

其中系数a0,a1,a2,

an满足法方程组MMA

MY,

1

x0

x02

x0m

a0

f（x0）

y0

1

x1

x12

x1m

a1

f（x1）

y1

M

A

Y

1

xn

xn2

xnm

am

f（xn）

yn

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分

拟合函数的适用条件是：

n比较大，而且并不要求函数严格通过已知数据点，或者已知数据点本身的误差较大。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分

13/13