八年级数学下册 112 等腰三角形教案 新版北师大版.docx

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八年级数学下册112等腰三角形教案新版北师大版

课题：

1.1.2等腰三角形

教学目标：

1．探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；

2．经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；

3．在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性；

4．在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：

对称性，发展学生的几何直觉.

教学重点与难点：

重点：

经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程，能够用综合法证明等腰（边）三角形的一些结论.

难点：

万事开头难——寻找等腰三角形中的等量线段.

课前准备：

教师：

几何画板课件；等腰三角形纸模。

学生：

每生准备至少三张等腰三角形纸片

教学过程：

一、创设情境，导入新课

活动内容：

用等腰三角形的美（对称性）引入新课

课件展示图片：

世界贸易中心一号楼武汉天兴洲长江大桥（世界上跨度最大的公铁两用斜拉桥）

崇圣寺（以“三塔”著称）

埃及金字塔

引出问题：

（出示几何画板课件：

等腰三角形——定点A可拖动，但无论怎样拖动依然是等腰三角形。

）

问题一：

等腰三角形以它那对称、和谐、庄重、典雅之美成为我们数学殿堂的一枚瑰宝，现实生活中有许多建筑要设计成等腰三角形的形状，那么你对等腰三角形有哪些了解？

问题二：

在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等），你能发现其中一些相等的线段吗?

你能证明你的结论吗?

处理方式：

问题一：

回答要点：

1.等腰三角形的两腰相等；

2.等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；

3.等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合；

……

教师组织学生回答问题，并对学生的语言进行规范，除了以上要点，学生回答“等腰三角形的内角和的内角和为180°”等普通三角形也具备的性质，教师也要予以肯定，还有一点那就是等腰三角形具有轴对称性，这一点学生如果想不到教师要进行提醒，因为这一点在下面的教学中有助于开发学生的思路。

问题二

利用问题一引导学生回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题二。

设计意图：

回顾性质，既为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于提高学生提出问题的能力。

二、探究学习，感悟新知

活动内容1：

想一想，做一做

问题：

在等腰三角形中自主作出一些线段（如角平分线、中线、高等），观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明。

活动中，教师应注意给予适度的引导，如可以渐次提出问题：

问题一：

你可能得到哪些相等的线段？

问题二：

你如何验证你的猜测？

问题三：

你能证明你的猜测吗？

试作图，写出已知、求证和证明过程；

问题四：

还可以有哪些证明方法？

处理方式：

先安排学生在自己的等腰三角形纸片中作出一些线段（如角平分线、中线、高等），然后进行直观猜测、测量验证。

可能有的学生会借助等腰三角形的轴对称性得出比较一般的结论，如对称轴两边的所有“对应”线段都相等；或在△ABC中，AB=AC，D为AC上任意一点，连接BD，在△ABC中总存在一条过点C的线段与BD相等。

也可能有学生以角平分线、中线、高线等特殊线段为对象进行思考，如将这些线段分为几个情况进行研究：

①两底角的平分线；②顶角的平分线与底角的平分线；③两腰上的中线；④一腰上的中线与底边上的中线；⑤两腰上的高线；⑥一腰上的高线与底边上的高线。

教师首先应当鼓励学生独立思考、大胆猜想，然后组织学生进行交流，在交流时可以利用几何画板针对以上情况进行验证，在充分交流的基础上，梳理出若干需要证明命题，并让学生分组进行证明。

以“等腰三角形两底角的平分线相等”为例:

如图：

利用几何画板制作课件，绘制等腰△ABC，BD和CE是△ABC的角平分线．拖动点A或点C，会改变△ABC的大小，但不会它始终都是等腰三角形，同时可以测量出BD和CE始终相等。

通过学生的自主探究和同伴的交流，以及几何画板实验，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出：

等腰三角形两个底角的平分线相等；

等腰三角形腰上的高相等；

等腰三角形腰上的中线相等．

并对这些命题给予多样的证明。

为提高课堂效率，可对以上三种情况进行分组证明，学生书写证明过程的时候教师进行巡视，寻找有代表性的做法安排板书。

对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，可运用下面的证明方法：

已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分线．

求证：

BD=CE．

证法1：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．

∵∠1=

∠ABC，∠2=

∠ABC，

∴∠1=∠2．

在△BDC和△CEB中，

∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．

∴△BDC≌△CEB（ASA）．

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）

证法2：

证明：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB．

又∵∠3=∠4．

在△ABC和△ACE中，

∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．

∴△ABD≌△ACE（ASA）．

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）．

对于“等腰三角形腰上的中线相等”，可运用下面的证明方法：

已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC两腰上的中线．

求证：

BD=CE．

证明：

∵AB=AC，（已知）

∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．

∵BE=

AB，CD=

AC，且AB=AC

∴BE=CD．

在△BDC和△CEB中，

∠ACB=∠ABC，BC=CB，BE=CD．

∴△BDC≌△CEB（SAS）．

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）

对于“等腰三角形两腰上的高线相等”，可运用下面的证明方法：

方法一：

已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC两腰上的高线．

求证：

BD=CE．

证明：

∵AB=AC，（已知）

∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．

∵BD和CE是△ABC两腰上的高线

∴∠CEB=∠BDC=90°（垂直的定义）．

在△BDC和△CEB中，

∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠CEB=∠BDC．

∴△BDC≌△CEB（AAS）．

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）

方法二：

已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC两腰上的高线．

求证：

BD=CE．

证明：

∵BD和CE是△ABC两腰上的高线

∴∠AEC=∠ADB=90°（垂直的定义）．

在△AEC和△ADB中，

∠A=∠A，AB=AC，∠AEC=∠ADB．

∴△AEC≌△ADB（AAS）．

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）

在证明过程中，学生思路一般还较为清楚，但毕竟严格证明表述经验尚显不足，因此，教学中教师应注意对证明规范提出一定的要求，因此，注意请学生板书其中部分证明过程，借助课件展示部分证明过程；可能部分学生还有一些困难，注意对有困难的学生给予帮助和指导。

设计意图：

让学生再次经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，并进行证明，从中进一步体会证明过程，感受证明方法的多样性。

活动内容2：

经典例题变式练习

问题：

提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？

并在学生思考的基础上，研究课本“议一议”：

在课本图1—4的等腰三角形ABC中，

（1）如果∠ABD=

∠ABC，∠ACE=

∠ACB呢?

由此，你能得到一个什么结论?

（2）如果AD=

AC，AE=

AB，那么BD=CE吗?

如果AD=

AC，AE=

AB呢?

由此你得到什么结论?

处理方式：

教学中应注意对学生的引导，因为学生先前这样的经验比较少，可能学生一时不知如何研究问题，教师可以引导学生思考：

把底角二等份的线段相等．如果是三等份、四等份……结果如何呢?

从而引出“议一议”。

由于课堂时间有限，如果学生全部解决上述问题，时间不够，可以在引导学生提出上述这些问题的基础上，让学生证明其中部分问题，而将其余问题作为课外作业，延伸到课外；当然，也可以对不同的学生提出不同的要求，如普通学生仅仅证明其中部分问题，而要求部分学优生解决所有的问题，甚至要求这部分学优生思考“还可以提出哪些类似问题，你是如何想到这些问题的”。

在学生解决问题的基础上，教师还应注意揭示蕴含其中的思想方法。

分析：

在等腰三角形ABC中，如果∠ABD=

∠ABC，那么BD=CE．这和证明等腰三角形两底角的角平分线相等类似．证明如下：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．

又∵∠ABD=

∠ABC,∴∠ACE=

∠ACB,

∴∠ABD=∠ACE．

在△BDC和△CEB中，

∵∠ABD=∠ACE，BC=CB，∠ACB=∠ABC,

∴△BDC≌△CEB（ASA）．

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）

如果在△ABC中，AB=AC,∠ABD=

∠ABC，∠ACE=∠

∠ACB，那么BD=CE也是成立的．因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，利用等量代换便可得到∠ABD=∠ACE，△BDC与△CEB全等的条件就能满足，也就能得到BD=CE．由此我们可以发现：

在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠

∠ABC，∠ACE=

∠ACB，就一定有BD=CE成立．

也可以更直接地说：

在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么BD=CE．

教师归纳思想方法：

以上证明都由特殊结论猜想出了一般结论．请同学们把一般结论的证明过程完整地书写出来．（教师可巡视指导）下面我们来讨论第

（2）问，请小组代表发言．

分析：

在△ABC中，AB=AC，如果AD=

AC，AE=

AB，那么BD=CE；如果AD=

AC，AE=

AB，那么BD=CE．由此我们得到了一个更一般的结论：

在△ABC中，AB=AC，AD=

AC，AE=

AB，那么BD=CE．证明如下：

∵AB=AC．

又∵AD=

AC，AE=

AB，

∴AD=AE．

在△ADB和△AEC中，

AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，

∴△ADB≌△AEC（SAS）．

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）．

一般结论也可更简洁地叙述为：

在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE．

思想方法归纳：

这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般的结论，这是我们研究数学问题常用的一种思想方法，它会使我们得到意想不到的效果．例如通过对这两个问题的研究，我们可以发现等腰三角形中，相等的线段有无数组．这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可分的．

设计意图：

提高学生变式能力、问题拓广能力，发展学生学习的自主性。

活动内容3：

拓展延伸，探索等边三角形性质

问题：

提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质：

等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.

处理方式：

安排学生独立完成该命题的证明。

已知：

如图，ΔABC中，AB=BC=AC．

求证：

∠A=∠B=∠C=60°.

证明：

在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）．

同理：

∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代换）．

又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理），∴∠A=∠B=∠C＝60°．

设计意图：

以此命题的证明再次规范学生的证明过程。

活动内容4：

小试身手

问题：

如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形.

求证:

AE=CD

处理方式：

.在探索得到了等边三角形的性质的基础上，让学生独立完成以下练习。

学生解题，一生板书后进行代表讲解，校正答案.

设计意图：

设计本部分，使学生在巩固等边三角形的性质的同时，进一步掌握综合证明法的基本要求和步骤，规范证明的书写格式。

三、练习巩固，深化提高

1.求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数。

2.如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数。

处理方式：

学生各组选派一名学生选题，小组内的同学自主完成.

教师巡视学生的答题情况，并对个别学习辅导；然后学生的讲解及时点评、鼓励.

设计意图：

心理学研究成果说明：

一个人只要体验到成功的欣慰与快乐，便会激起再一次追求成功胜利的信念和力量.因此我设计了两道练习，以小组比赛的形式，努力为学生创造成功的条件.

四、归纳总结，知识沉淀

问题：

这节课大家通过自己的努力和小组的合作，相信每个同学都有所收获．整理一下本节课的所学，写下来。

我掌握的定理有______；

我学会了_______；

我还知道了_______.

处理方式：

学生写完后，全班交流各自的收获和心得.

教师巡视学生的答题情况，及时点评、鼓励.

设计意图：

课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识，写下来更能加深印象．

六、课堂检测，体验成功

A类

1．等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）

A.顶角C.顶角的2倍B.顶角的一半D.底角的一半

2.如图，点D,E,F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（）

A．等边三角形B.腰和底边不相等的等腰三角形C.直角三角形D.不等边三角形

3.如图，点E是等边△ABC的边AC上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准确的判断是（）。

A．等腰三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.不能确定形状

4.如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线。

求证：

△DBC是等腰三角形

5.如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE。

求证：

AE∥BC

处理方式：

学生独立完成，完成后进行校正答案．

设计意图：

通过检测纠错，提高认识知识的效率，使学生能运用所学知识技能解决问题，同时又为学生提供了充分发挥创造力的空间，吧进一步发现和弥补教与学的不足，强化基本技能的训练，培养学生的良好的学习习惯和思维品质．

七、分层作业，发展个性

必做题：

课本第7页习题1.2知识技能第2、3题.

选做题：

课本第7页习题1.2数学理解第4题.

设计意图：

作业层次化，使学生根据自身的实际学习情况选择不同的作业.既满足了不同层次学生的需求，又提高作业的实效性，促进学生学习兴趣与质量的提高．

板书设计：

1.1等腰三角形（第二课时）

证明：

等腰三角形两底角的平分线相等。

（学生板书）

证明：

等腰三角形两腰上的中线相等。

（学生板书）

证明：

等腰三角形两腰上的高线相等。

（学生板书）

证明：

等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°。

（学生板书）