因式分解教案.docx

因式分解教案.docx

《因式分解教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《因式分解教案.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

因式分解教案

3、1多项式的因式分解

教学目标

1.

使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.

2.通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力.

教学重点

1.理解因式分解的意义.

2.识别分解因式与整式乘法的关系.

教学难点

通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.

教学过程

一、情境引入（复习巩固）

讨论6能被2整除吗？

你是怎样想的？

与同伴交流.

6能被2整除

.因为6=3×2

其中有一个因数为2，所以6能被2整除..6还能被哪些正整数整除？

还能被3整除.

从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式.

二、自主学习

你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？

与同伴交流.

观察x2－x与x2－1这两个代数式.

3.做一做

（1）计算

下列各式：

①（m+4）（m－4）=__________;②（y－3）2=__________;

③3x（x－

1）=____

______;

④m

（a+b+c）=__________;

⑤a（a+1）（a－1）=__________.

（2）根据上面的算式填空：

①3x2－3x=（）（）;②m2－16=（）（）;

③ma+mb+mc=（）（）;④y2－6y+9=（）2

.

能分析一下两个题中的形式变换吗？

三、合作探究

在

（1）中，等号左

边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；

在

（2）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式.

在

（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；

在

（2）中由多项式变成整式乘积的形式是因式分解.

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式

4.想一想

由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是什么运算？

由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同？

你还能举一些类似的例子加以说明吗？

由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是整式乘法，由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形是分解因式，这两

种过程正好相反.

由（a+b）（a－b）=a2－b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2－b2=（a+b）（a－b）来看，左边是一个多项式，右

边是整式的乘积形式，所以这两个过程正好相反.

如：

（1）m（a+b+

c）=ma+mb+mc

（2）ma+mb+mc=m（a+b+c）

联系：

等式

（1）和

（2）是同一个多项式的两种不同表现形式.

区别：

等式

（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.

等式

（2）是把一个多

项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.

所以，因式分解与整式乘法是互逆方向的变形.

四.典例精讲

5.例题：

下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？

（1）4a（a+2b）=4a2+8ab;

（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）;

（3）a2－4=（a+2）

（a－2）

;

（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.

（1）左边是整式乘积的形式，右边是一个多项式，因此从左到右是整式乘法，

不是因式分解；

（2）左边是一

个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分

解；

（3）和

（2）相同，是因式分解；

（4）不是因式分解，左右都是和形式

五、课堂检测

1.连一连

解：

2下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？

（1）4a（a＋2b）＝4a2＋8ab；

（2）6ax－3ax2＝3ax（2－x）；

（3）a2－4＝（a＋2）（a－2）；（4）x2－3x＋2＝x（x－3）＋2．

六、课堂小结

本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形

．

家庭作业：

P57.58习题

板书设计:

§2.1　多项式的因式分解

定义：

例题讲解

课堂练习

教学反思：

3.2　提公因式法

（1）

教学目标

1.通过对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因式

2.树立学生“化零为整”、“化归”的数学思想，培养学生完整地、辨证地看问题的思想。

3.在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性。

教学重点∶掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则。

教学难点∶正确地找出公因式

教学过程

一．创设情境，（复习巩固）

让学生观察多项式：

ma+mb

（让学生说出其特点：

都有m，含有两种运算乘法、加法；然后教师规范其特点，从而引出新知。

）

二．自主学习

各项都含有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式。

注意：

公因式是一个多项式中每一项都含有的相同的因式。

又如：

b是多项式ab-b2各项的公因式

2xy是多项式4x2y-6xy2z各项的公因式

让学生说出公因式，学生可能会说是2或者是x、y、2x、2y、2xy等，最后一起确定公因式2xy，让学生初步体会到确定公因式的方法。

三．合作探究

指出下列各多项式中各项的公因式（以抢答的形式）

⑴ax+ay-a（a）

⑵5x2y3-10x2y（5x2y）

⑶24abc-9a2b2（3ab）

⑷m2n+mn2（mn）

⑸x（x-y）2-y（x-y）（x-y）

显然由定义可知，提取公因式法的关键是如何正确地寻找确定公因式的方法：

（可以由学生讨论总结，然后教师进行归纳）

⑴公因式的系数应取各项系数的最大公约数（当系数是整数时）

⑵字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幂

根据分配律，可得m（a+b）=ma+mb逆变形，使得到ma+mb的因式分解形式：

ma+mb=m（a+b）这说明多项式ma+mb各项都含有的公因式可提到括号外面，将多项式ma+mb写成m（a+b）的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。

　　　定义：

一般地，如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行分解的方法叫做提取公因式法。

四.典例精讲

例1：

把

因式分解

例2：

把

因式分解

例3：

把

因式分解

五、课堂检测

1．写出下列多项式各项的公因式．

（1）ma＋mb；　

（2）4kx－8ky；　（3）5y3＋20y2；　（4）a2b－2ab2＋ab。

2．把下列各式分解因式

（1）8x－72＝8（x－9）

（2）a2b－5ab＝ab（a－5）

（3）4m3－6m2＝2m2（2m－3）（4）a2b－5ab＋9b＝b（a2－5a＋9）

（5）－a2＋ab－ac＝－（a2－ab＋ac）＝－a（a－b＋c）

（6）－2x3＋4x2－2x＝－（2x3－4x2＋2x）＝－2x（x2－2x＋1）

3．把3x2－6xy＋x分解因式。

六、课堂小结

1．提公因式法分解因式的一般形式，如：

ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）．

这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式．

2．找公因式的一般步骤

（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；

（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；

（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的．

（4）所有这些因式的乘积即为公因式．

3．初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因式，也要将它写成乘1的形式，这样可以防范错误，即漏项的错误发生．

家庭作业：

P60练习

板书设计:

§2.2.1　提公因式法

（一）

一、1．公因式与提公因式法分解因式的概念

2．例题讲解（例1）

二、课堂练习（1．随堂练习，2．补充练习）

教学反思

3.2　提公因式法

（二）

教学目标

1．进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法。

2．进一步培养学生的观察能力和类比推理能力。

3．通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点．

教学重点

能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式．

教学难点

准确找出公因式，并能正确进行分解因式．

教学过程

一．创设情境，（复习巩固）

上节课我们学习了用提公因式法分解因式，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？

本节课我们就来揭开这个谜．

二．自主学习，合作探究

1．例题讲解

例2　把a（x－3）＋2b（x－3）分解因式．

分析：

这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x－3）与2b（x－3），每项中都含有（x－3），因此可以把（x－3）作为公因式提出来．

例3　把下列各式分解因式：

（1）a（x－y）＋b（y－x）；　　　　

（2）6（m－n）3－12（n－m）2．

分析：

虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x－y）与（y－x）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x＝－（x－y）（m－n）3与（n－m）2也是如此．

2．做一做

请在下列各式等号右边的括号前填入“＋”或“－”号，使等式成立：

（1）2－a＝________（a－2）；

（2）y－x＝________（x－y）；

（3）b＋a＝________（a＋b）；（4）（b－a）2＝________（a－b）2；

（5）－m－n＝________－（m＋n）；（6）－s2＋t2＝________（s2－t2）．

三．课堂检测

1．把下列各式分解因式：

（1）x（a＋b）＋y（a＋b）；

（2）3a（x－y）－（x－y）；

（3）6（p＋q）2－12（q＋p）；（4）a（m－2）＋b（2－m）；

（5）2（y－x）2＋3（x－y）；（6）mn（m－n）－m（n－m）2．

2．把下列各式分解因式

5（x－y）3＋10（y－x）2；m（a－b）－n（b－a）

m（m－n）＋n（n－m）；m（m－n）－n（m－n）

m（m－n）（p－q）－n（n－m）（p－q）；（b－a）2＋a（a－b）＋b（b－a）

四.课堂小结

本节课进一步学习了用提公因式法分解因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式，要认真观察多项式的结构特点，从而能准确熟练地进行多项式的分解因式．

家庭作业

把下列各式分解因式：

1．a（x－y）－b（y－x）＋c（x－y）；2．x2y－3xy2＋y3；

3．2（x－y）2＋3（y－x）；4．5（m－n）2＋2（n－m）3．

《学法》P40.41

I板书设计

§2.2.2　提公因式法

（二）

一、1．例题讲解

2．做一做

二、课堂练习

三、课时小结

教学反思

3.3　公式法

（一）

教学目标

1．使学生掌握用平方差公式分解因式。

2．使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式。

3．通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力。

教学重点

让学生掌握运用平方差公式分解因式．

教学难点

将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力．

教学过程

一．创设情境，（复习巩固）

在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式．

如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？

当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法．

二．自主学习

请看乘法公式

（a＋b）（a－b）＝a2－b2

（1）

左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是

a2－b2＝（a＋b）（a－b）

（2）

左边是一个多项式，右边是整式的乘积．判断，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？

三，合作探究

公式讲解

观察式子a2－b2，找出它的特点．

是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差．

如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积．如x2－16＝（x）2－42＝（x＋4）（x－4）；9m2－4n2＝（3m）2－（2n）2＝（3m＋2n）（3m－2n）。

四.典例精讲

例1　把

因式分解，

例2　把

因式分解，

例3把

因式分解

例4把

因式分解

五．课堂检测

（一）随堂练习

1．判断正误

（1）x2＋y2＝（x＋y）（x－y）；

（2）x2－y2＝（x＋y）（x－y）；

（3）－x2＋y2＝（－x＋y）（－x－y）；（4）－x2－y2＝－（x＋y）（x－y）．

2．把下列各式分解因式

（1）a2b2－m2；

（2）（m－a）2－（n＋b）2；

（3）x2－（a＋b－c）2；（4）－16x4＋81y4。

3．把下列各式分解因式

（1）36（x＋y）2－49（x－y）2；　

（2）（x－1）＋b2（1－x）；　（3）（x2＋x＋1）2－1．

六．.课堂小结

我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行．

第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止．

家庭作业

P64练习

板书设计

§2.3.1　运用公式法

（一）

一、1．由整式乘法中的平方差公式推导因式分解中的平方差公式．

2．公式讲解

3．例题讲解补充例题

二、课堂练习

三、课时小结

 教学反思

3.3　公式法

（二）

教学目标

1．使学生会用完全平方公式分解因式。

2．在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力。

3．通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．

教学重点

让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法．

教学难点

让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式．

教学过程

一．创设情境，（复习巩固）

因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：

提取公因式法、运用平方差公式法．现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？

在前面我们不仅学习了平方差公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2，而且还学习了完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab＋b2。

本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式．

二．自主学习

1．推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点．

由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？

将完全平方公式倒写：

a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2；a2－2ab＋b2＝（a－b）2．

便得到用完全平方公式分解因式的公式．

什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？

互相交流，找出这个多项式的特点．

三，合作探究

左边的特点有：

（1）多项式是三项式；

（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍．

右边的特点：

这两数或两式和（差）的平方．

用语言叙述为：

两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．

形如a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的式子称为完全平方式．

由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．

练一练：

下列各式是不是完全平方式？

（1）a2－4a＋4；

（2）x2＋4x＋4y2；（3）4a2＋2ab＋b2；

（4）a2－ab＋b2；（5）x2－6x－9；（6）a2＋a＋0.25．

四.典例精讲

例1　把

因式分解

例2把

因式分解

例3把

因式分解

例4把

因式分解

五．课堂检测

把下列各式分解因式：

（1）4a2－4ab＋b2；

（2）a2b2＋8abc＋16c2；

（3）（x＋y）2＋6（x＋y）＋9；（4）4（2a＋b）2－12（2a＋b）＋9；

六.课堂小结

这节课我们学习了用完全平方公式分解因式．它与平方差公式不同之处是：

（1）要求多项式有三项．

（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负．

同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式．

家庭作业

《学法》P42.43

板书设计

§2.3.2　运用公式法

（二）

一、1．推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点

2．例题讲解（例1、例2）

课堂检测

教学反思

因式分解复习

教学目标：

1．复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式。

2． 通过知识结构图的教学，培养学生归纳总结能力。

3． 通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。

教学重点

复习综合应用提公因式法，运用公式法分解因式．

教学难点

利用分解因式进行计算及讨论．

教学过程

一．创设情境，（复习巩固）

前面我们已学习了因式分解概念，提公因式法分解因式，运用公式法分解因式的方法，并做了一些练习．今天，我们来综合总结一下．

二．自主学习，合作探究

（一）讨论推导本章知识结构图

请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些?

（1）有因式分解的意义，提公因式法和运用公式法的概念．

（2）分解因式与整式乘法的关系．（3）分解因式的方法．

能否把本章的知识结构图绘出来呢?

（若学生有困难，给予帮助）

（二）重点知识讲解

1．举例说明什么是分解因式．

如15x3y2＋5x2y－20x2y3＝5x2y（3xy＋1－4y2）

把多项式15x3y2＋5x2y－20x2y3分解成为因式5x2y与3xy＋1－4y2的乘积的形式，就是把多项式15x3y2＋5x2y－20x2y3分解因式．

学习因式分解的概念应注意以下几点：

（1）因式分解是一种恒等变形，即变形前后的两式恒等．

（2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止．

2．分解因式与整式乘法有什么关系?

分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形．如：

ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c），从左到右是因式分解，从右到左是整式乘法．

3．分解因式常用的方法有哪些?

提公因式法和运用公式法．

三．典例精讲

例1　下列各式的变形中，哪些是因式分解?

哪些不是?

说明理由．

（1）x2＋3x＋4＝（x＋2）（x＋1）＋2；

（2）6x2y3＝3xy•2xy2；

（3）（3x－2）（2x＋1）＝6x2－x－2；（4）4ab＋2ac＝2a（2b＋c）。

例2　将下列各式分解因式．

（1）8a4b3－4a3b4＋2a2b5；

（2）－9ab＋18a2b2－27a3b3；

（3）－x2；（4）9（x＋y）2－4（x－y）2；

（5）x4－25x2y2；（6）4x2－20xy＋25y2；

（7）（a＋b）2＋10c（a＋b）＋25c2．

例3　把下列各式分解因式：

（1）x7y3－x3y3；

（2）16x4－72x2y2＋81y4。

从上面的例题中，大家能否总结一下分解因式的步骤呢?

分解因式的一般步骤为：

（1）若多项式各项有公因式，则先提取公因式．

（2）若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点，选用平方差公式或完全平方公式．

（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止．

四.课堂检测

1．把下列各式分解因式

（1）16a2－9b2；

（2）（x2＋4）2－（x＋3）2；

（3）－4a2－9b2＋12ab；（4）（x＋y）2＋25－10（x＋y）

2．利用因式分解进行计算

（1）9x2＋12xy＋4y2，其中x＝，y＝－；

（2）（）2－（）2，其中a＝－，b＝2．

五．课堂小结

1．共同回顾，总结因式分解的意义，因式分解的方法及一般步骤，其中要特别指出：

必须使每一个因式都不能再进行因式分解．

2．利用因式分解简化某些计算．

家庭作业

复习题　A组

板书设计

1．讨论推导本章知识结构图

2．重点知识讲解

（1）举例说明什么是因式分解．

（2）分解因式与整式乘法有什么关系?

（3）分解因式常用的方法有哪些?

（4）例题讲解（例1、例2、例3）（5）分解因式的一般步骤

2、课堂练习

教学反思