基于人口增长模型的数学建模DOC.docx
《基于人口增长模型的数学建模DOC.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《基于人口增长模型的数学建模DOC.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
基于人口增长模型的数学建模DOC
基于人口增长模型的数学建模（DOC）
数学建模论文
题目：
人口增长模型的确定
专业、姓名：
专业、姓名：
专业、姓名：
人口增长模型
摘要
随着人口的增加，人们越来越认识到资源的有限性，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为世界上最被关注的问题之一。
问题给出了1790—1980年间美国的人口数据，通过分析近两百年的美国人口统计数据表，得知每10年的人口数的变化。
预测美国未来的人口。
对于问题我们选择建立Logistic模型（模型2）现实中，影响人口的因素很多，人口也不能无限的增长下去，Logistic模型引进常数N表示自然资源和环境所能承受的最大人口数，因而得到了一个贝努利方程的初值问题公式，从实际效果来看，这个公式较好的符合实际情况的发展，随着时间的递增，人口不是无限增长的，而是趋近于一个数，这个即为最大承受数。
我们还同时对数据作了深入的探讨，作数据分析预测，通过观测比较选择一个比较好的拟合模型（模型3）进行预测。
预测接下来的每隔十年五次人口数量，分别为251.4949，273.5988，293.4904，310.9222325.8466。
关键词：
人口预测Logistic模型指数模型
1、问题重述
1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。
表1人口记录表
年份
1790
1800
1810
1820
1830
1840
1850
1860
1870
1880
人口（⨯106）
3.9
5.3
7.2
9.6
12.9
17.1
23.2
31.4
38.6
50.2
年份
1890
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
人口（⨯106）
62.9
76.0
92.0
106.5
123.2
131.7
150.7
179.3
204.0
226.5
试用以上数据建立马尔萨斯（Malthus）人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。
如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测。
2、问题分析
人口预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长除了人口数与可利用资源外，还与医药卫生条件的改善，人们生育观念的变化等因素有关…….可以采取几套不同的假设，做出不同的预测方案，进行比较。
人口预测可按预测期长短分为短期预测（5年以下）、中期预测（5～20年）和长期预测（20～50年）。
在参数的确定和结果讨论方面，必须对中短期和长期预测这两种情况分开讨论。
中短期预测中所用的各项参数以实际调查所得数据为基础，根据以往变动趋势可较准确加以估计，推算结果容易接近实际，现实意义较大。
3、问题假设
1.在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害、突发事故
或战争等而受到大的影响；
2.假设美国人口的增长遵循马尔萨斯人口指数增长的规则
3.假设人口增长不受环境最大承受量的限制
4、变量说明
：
数据的起始时间，即1790年
t：
时间
r：
人口增长率
x∞：
人口常数最大值
5、模型建立
模型一
图一
由图1可以发现美国人口的变化规律曲线近似为一条指数函数曲线，因此我们假设美国的人口满足函数关系x=f（t）,f（t）=ea+bt，a,b为待定常数，根据最小二乘拟合的原理，a,b是函数的最小值点。
其中xi是ti时刻美国的人口数。
利用MATLAB软件中的曲线拟合程序“lsqcurvefit”。
模型二
上述模型对过去的统计数据吻合得较好，但也存在问题，即人口是呈指数规律无止境地增长，此时人口的自然增长率随人口的增长而增长，这不可能。
一般说来，当人口较少时增长得越来越快，即增长率在变大；人口增长到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小这是因为，自然资源、环境条件等因素不允许人口无限制地增长，它们对人口的增长起着阻滞作用，而且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。
而且人口最终会饱和，趋于某一个常数x∞，我们假设人口的静增长率为r（1-x（t）/x∞），即人口的静增长率随着人口的增长而不断减小，当t→∞时，静增长率趋于零。
按照这个假设，得到
（1）
这便是荷兰数学家Verhulst于19世纪中叶提出的阻滞增长模型（logistic模型）。
利用分离变量法，人口的变化规律为：
（2）
利用MATLAB软件中的“lsqcurvefit”命令和函数
（2）来拟合所给的人口统计数据，从而确定出
（2）中的待定参数r和x∞。
模型三
从图5看出，在前一段吻合得比较好，但在最上面，若拟合曲线更接近原始数据，对将来人口的预测应该更好。
因此，把用函数
（2）来拟合所给人口统计数据的评价准则略加修改，看效果如何。
将拟合准则改为：
其中w为右端几个点的误差权重，在此处应该取为大于1的数，这样会使右边的拟合误差减小，相应的，其他点的误差会有所增加。
如何才能使这些误差的增减恰当呢？
可以通过调整w和n的具体取值，比较他们取各种不同值时的拟合效果，从而确定出一个合适的数值。
6、模型求解
模型一
图二
a=0.0154-25.1080
x1=279.0104
x2=325.6156
x3=380.0056
x4=443.4808
X5=517.5587
模型二
图三
a=285.89310.0286
x1=230.9149
x2=242.5078
x3=252.0148
x4=259.6639
x5=265.7242
模型三
图四
a=388.71780.0260
x1=251.4949
x2=273.5988
x3=293.4904
x4=310.9222
x5=325.8466
7、结果分析
从图二可以看出，模型一对过去的统计数据吻合得较好，但也存在问题，即人口是呈指数规律无止境地增长，此时人口的自然增长率随人口的增长而增长，这不可能。
一般说来，当人口较少时增长得越来越快，即增长率在变大；人口增长到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小这是因为，自然资源、环境条件等因素不允许人口无限制地增长，它们对人口的增长起着阻滞作用，而且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。
而且人口最终会饱和，趋于某一个常数。
这时模型二比较符合。
从图三看，在前一段吻合得比较好，但在最上面，若拟合曲线更接近原始数据，对将来人口的预测应该更好。
因而用将模型二进行改进后的模型三拟合，此时后面的值更为拟合，预测结果更为准确。
所以，1990-2030年的人口预测数目为251.4949，273.5988
，293.4904，310.9222，325.8466（百万），经过与1990,2000,2010的实际查找数据（251.4，281.4,308.7）比较，误差较小，可以作为预测数据。
8、参考文献
【1】姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），北京：
高等教育出2003
9、附录
一．
functionf=fun1（a,t）
f=exp（a
（1）*t+a
（2））;
t=1790:
10:
1980;
x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976...
92106.5123.2131.7150.7179.3204226.5];
plot（t,x,'-*'）;
a0=[0.001,1];
a=lsqcurvefit（'fun1',a0,t,x）
ti=1790:
5:
2040;
xi=fun1（a,ti）;
holdon
plot（ti,xi,’.’）;
t1=1990;
x1=fun1（a,t1）
t2=2000;
x2=fun1（a,t2）
t3=2010;
x3=fun1（a,t3）
t4=2020;
x4=fun1（a,t4）
t5=2030;
x5=fun1（a,t5）
holdoff
二．
x=1790:
10:
1980;
y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976...
92106.5123.2131.7150.7179.3204226.5];
plot（x,y,'-*'）;
a0=[0.001,1];
a=lsqcurvefit（'fun3',a0,x,y）
xi=1790:
5:
2040;
yi=fun3（a,xi）;
holdon
plot（xi,yi）;
t1=1990;
x1=fun3（a,t1）
t2=2000;
x2=fun3（a,t2）
t3=2010;
x3=fun3（a,t3）
t4=2020;
x4=fun3（a,t4）
t5=2030;
x5=fun3（a,t5）
holdoff
三．
functionf=fun4（a）
n=16;w=30;
x=1790:
10:
1980;
x1=x（1:
n）;
x2=x（n+1:
20）;
y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976...
92106.5123.2131.7150.7179.3204226.5];
y1=y（1:
n）;
y2=y（n+1:
20）;
f=[fun3（a,x1）-y1,w*fun3（a,x2）-w*y2];
t=1790:
10:
1980;
x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976...
92106.5123.2131.7150.7179.3204226.5];
plot（t,x,'-*'）;
a0=[300,0.03];
a=lsqnonlin（'fun4',a0）
ti=1790:
5:
2040;
xi=fun3（a,ti）;
holdon;
plot（ti,xi,t,x,'*'）;
t1=1990;
x1=fun3（a,t1）
t2=2000;
x2=fun3（a,t2）
t3=2010;
x3=fun3（a,t3）
t4=2020;
x4=fun3（a,t4）
t5=2030;
x5=fun3（a,t5）
holdoff
升级会员 