重庆大学数学实验第五次.docx
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重庆大学数学实验第五次
开课学院、实验室：
DS1422实验时间：
2015年4月10日
课程
名称
数学实验
实验项目
名称
水塔用水量
的估计——插值
实验项目类型
验证
演示
综合
设计
其他
指导
教师
肖剑
成绩
实验目的
[1]了解插值的基本原理
[2]了解拉格朗日插值、线性插值、样条插值的基本思想；
[3]了解三种网格节点数据的插值方法的基本思想；
[4]掌握用MATLAB计算三种一维插值和两种二维插值的方法；
[5]通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；
通过自己动手作实验学习如何用插值方法解决实际问题，提高探索和解决问题的能力。
通过撰写实验报告，促使自己提炼思想，按逻辑顺序进行整理，并以他人能领会的方式表达自己思想形成的过程和理由。
提高写作、文字处理、排版等方面的能力。
实验内容
1．编写拉格朗日插值方法的函数M文件；
2．用三种插值方法对已知函数进行插值计算，
通过数值和图形输出，比较它们的效果；
3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。
基础实验
1.一维插值利用以下一些具体函数，考察分段线性插值、三次样条插值和拉格朗日多项式插值等三种插值方法的差异。
1），x∈[-5,5]；
分段线性插值程序如下：
x=-5:
5;
temps=[1/261/171/101/51/211/21/51/101/171/26];
h=-5:
.1:
5;
t=interp1（x,temps,h）
x1=linspace（-5,5,100）;
y1=1./（1+x1.^2）;
plot（x,temps,'g',h,t,x1,y1,'r'）
title（'分段线性插值曲线'）
图1
三次样条插值程序如下：
x0=linspace（-5,5,11）;
y0=1./（1+x0.^2）;
x=linspace（-5,5,100）;
y=interp1（x0,y0,x,'spline'）;
x1=linspace（-5,5,100）;
y1=1./（1+x1.^2）;
plot（x1,y1,'k',x0,y0,'+',x,y,'r'）;
图2
拉格朗日多项式插值程序如下：
m=101;
x=-5:
10/（m-1）:
5;
y=1./（1+x.^2）;z=0*x;
plot（x,z,'r',x,y,'LineWidth',1.5）,
gtext（'y=1/（1+x^2）'）,pause
n=3;
x0=-5:
10/（n-1）:
5;
y0=1./（1+x0.^2）;
y1=lagr1（x0,y0,x）;
holdon,plot（x,y1,'b'）,gtext（'n=2'）,pause,
holdoff
n=5;
x0=-5:
10/（n-1）:
5;
y0=1./（1+x0.^2）;
y2=lagr1（x0,y0,x）;
holdon,plot（x,y2,'b:
'）,gtext（'n=4'）,pause,
holdoff
n=7;
x0=-5:
10/（n-1）:
5;
y0=1./（1+x0.^2）;
y3=lagr1（x0,y0,x）;holdon,
plot（x,y3,'r'）,gtext（'n=6'）,pause,
holdoff
n=9;
x0=-5:
10/（n-1）:
5;
y0=1./（1+x0.^2）;
y4=lagr1（x0,y0,x）;holdon,
plot（x,y4,'r:
'）,gtext（'n=8'）,pause,
holdoff
n=11;
x0=-5:
10/（n-1）:
5;
y0=1./（1+x0.^2）;
y5=lagr1（x0,y0,x）;holdon,
plot（x,y5,'m'）,gtext（'n=10'）
图3
2）sinx,x∈[0,2π];
分段线性插值程序如下：
x=0:
1/2*pi:
2*pi;
temps=[010-10];
h=0:
.1:
2*pi;
t=interp1（x,temps,h）;
x1=linspace（0,2*pi,100）;
y1=sin（x1）;
plot（x,temps,'g',h,t,x1,y1,'r'）
title（'分段线性插值曲线'）
图4
三次样条插值程序如下：
x=linspace（0,2*pi,5）;
y=sin（x）;
x1=linspace（0,2*pi,100）;
y1=interp1（x,y,x1,'spline'）;
x2=linspace（0,2*pi,100）;
y2=sin（x2）;
plot（x,y,'+',x1,y1,'k',x2,y2,'y'）;
图5
拉格朗日多项式插值程序如下：
m=101;
x=0:
10/（m-1）:
2*pi;
y=sin（x）;z=0*x;
plot（x,z,'r',x,y,'LineWidth',1.5）,
gtext（'y=sin（x）'）,pause
n=3;
x0=-5:
10/（n-1）:
5;
y0=sin（x0）;
y1=lagr1（x0,y0,x）;
holdon,plot（x,y1,'b'）,gtext（'n=2'）,pause,
holdoff
n=5;
x0=-5:
10/（n-1）:
5;
y0=sin（x0）;
y2=lagr1（x0,y0,x）;
holdon,plot（x,y2,'b:
'）,gtext（'n=4'）,pause,
holdoff
n=7;
x0=-5:
10/（n-1）:
5;
y0=sin（x0）;
y3=lagr1（x0,y0,x）;holdon,
plot（x,y3,'r'）,gtext（'n=6'）,pause,
holdoff
n=9;
x0=-5:
10/（n-1）:
5;
y0=sin（x0）;
y4=lagr1（x0,y0,x）;holdon,
plot（x,y4,'r:
'）,gtext（'n=8'）,pause,
holdoff
n=11;
x0=-5:
10/（n-1）:
5;
y0=sin（x0）;
y5=lagr1（x0,y0,x）;holdon,
plot（x,y5,'m'）,gtext（'n=10'）
图6
注意：
适当选取节点及插值点的个数；比较时可以采用插值点的函数值与真实函数值的差异，或采用两个函数之间的某种距离。
2．高维插值对于二维插值的几种方法：
最邻近插值、分片线性插值、双线性插值、三次插值等，利用如下函数进行插值计算，观察其插值效果变化，得出什么结论？
，参数p=1/2000~1/200；采样步长为：
t=4ms~4s；x=5~25m.
程序：
t=linspace（0,4,10）;
x=linspace（5,25,10）;
[t,x]=meshgrid（t,x）;
z=sin（（t-1/200.*x）*2）;
[t1,x1]=meshgrid（linspace（0,4,100）,linspace（5,25,100））;
z1=interp2（t,x,z,t1,x1,'cubic'）;
z2=interp2（t,x,z,t1,x1,'nearest'）;
z3=interp2（t,x,z,t1,x1,'linear'）;
mesh（t1,x1,z1）;
pause
mesh（t1,x1,z2）;
pause
mesh（t1,x1,z3）;
三次插值，插值效果变化最好|图7
最邻近插值，插值效果变化最差|图8
线性插值，插值效果变化一般|图9
应用实验（或综合实验）
3．火车行驶的路程、速度数据如表7.2，计算从静止开始20分钟内走过的路程。
表7.2
t（分）
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
v（km/h）
10
18
25
29
32
20
11
5
2
0
t=0:
2:
20;
v=[010182529322011520];
h=0:
0.000001:
20;
x=interp1（t,v,h,'spline'）;
H=h./60;
z=sum（H.*0.000001）
plot（t,v,'+',h,x,'r'）
z=3.3333
图10
4．确定地球与金星之间的距离
天文学家在1914年8月份的7次观测中，测得地球与金星之间距离（单位：
米），并取其常用对数值，与日期的一组历史数据如表7.3。
表7.3
日期（号）
18
20
22
24
26
28
30
距离对数
9.9617724
9.9543645
9.9468069
9.9390950
9.9312245
9.9231915
9.9149925
由此推断何时金星与地球的距离（米）的对数值为9.9351799？
t=[18202224262830];
l=[9.9617729.95436459.94680699.93909509.93122459.92319159.9149925];
h=18:
0.0625:
30;
x=interp1（t,l,h,'spline'）
结果：
x=26号1时30分
5日照时间分布表7.4的气象资料是某一地区1985-1998年间不同月份的平均日照时间的观测数据（单位：
小时/月），试分析日照时间的变化规律。
表7.4
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
日照
80.9
67.2
67.1
50.5
32.0
33.6
36.6
46.8
52.3
62.0
64.1
71.2
程序：
x=1:
12;
y=[80.967.267.750.532.033.636.646.852.362.064.171.2];
x1=linspace（1,12,120）;
y1=interp1（x,y,x1,'spline'）;
plot（x1,y1）
图11
日照时间由1月到12月先减后增。
6．山区地貌图在某山区（平面区域（0，2800）⨯（0，2400）内，单位：
米）测得一些地点的高程（单位：
米）如表7.5，试作出该山区的地貌图和等高线图。
表7.5
2400
2000
1600
1200
800
400
0
1430145014701320128012001080940
14501480150015501510143013001200
14601500155016001550160016001600
13701500120011001550160015501380
12701500120011001350145012001150
1230139015001500140090011001060
118013201450142014001300700900
Y/X
040080012001600200024002800
x=2800:
-400:
0;
y=2400:
-400:
0;
z=[1430145014701320128012001080940;
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