极坐标与参数方程知识点总结大全.docx

极坐标与参数方程知识点总结大全.docx

《极坐标与参数方程知识点总结大全.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《极坐标与参数方程知识点总结大全.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

极坐标与参数方程知识点总结大全

极坐标与参数方程

一、参数方程

1.参数方程的概念

般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函

并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上（即曲线上

的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系

x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数.

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.

2.参数方程和普通方程的互化

3.

数而从参数方程得到普通方程.

练习

B.

注：

普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3

可知））。

应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数

不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

4.圆的参数方程

如图所示，设圆0的半径为，点肋从初始位置•出发，按逆时针方向在圆0上作匀速圆周运动，设極忆加，贝U

这就是圆心在原点（），半径为的圆的参数方程，其中0的几何意义是转过的角度（称为旋转角）。

圆心为（□』），半径为的圆的普通方程是（口屏“丿冷/

『：

心:

（诙细

它的参数方程为：

力。

5.椭圆的参数方程

以坐标原点"为中心，焦点在丄轴上的椭圆的标准方程为

[":

学&讷参期

a沪其参数方程为LJr=Asm^，其中参数卩称为离心

与=1（瓯》艮

角；焦点在I轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为

严碍缎覺参飙

[y=a^^其中参数爷仍为离心角，通常规定参数爷的范围为爭€[0，

2兀）。

注：

椭圆的参数方程中，参数’的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角&区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在°到加的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。

但

0

当时，相应地也有，在其他象限内类似。

6.双曲线的参数方程

以坐标原点"为中心，焦点在I轴上的双曲线的标准方程为

（衲参数，其中毅屮嗣俎护打

y=acsc^

以上参数都是双曲线上任意一点的离心角

7.抛物线的参数方程

以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线/2^>0）的参数方程为严琢创参眇

$=2pt

8.直线的参数方程

经过点MI禹」J,过Mu仏」J，倾斜角为必的直线的参数方程为

x=jq）'F/cosa

1$=旳+£血皿砂参数）。

注：

直线参数方程中参数的几何意义：

过定点M〔】（州」J，倾斜角为必的直

厂

线！

的参数方程为1$=旳"血住（『为参数），其中『表示直线！

上以定点M（j为起点，任一点m（hJ）为终点的有向线段虬」“的数量，当点胸在•上方时，>o；当点就在.下方时，vo；当点胸与.重合时，=00我们也可以把参数理解为以"if为原点，直线向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。

北京高考近几年真题

（2014年北京.3题5分）曲线-"cos日（日为参数）的对称中心（）y=2+sinT

A在直线y=2x上B.在直线y=—2x上

C.在直线y=x-1上D.在直线y=x•1上

（2012年北京.9题5分）直线x=「t（t为参数）与曲线x=3cos〉（：

.为参数）

卜=_1_ty=3sin:

-

的交点个数为.

（2014年北京.3题5分）答案：

B

（2012年北京.9题5分）答案：

2

二、极坐标方程

1.极坐标系的概念

（1）极坐标系

极坐标系有四个要素：

①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向.

MRS

如图所示■,在平面内取一个定点，叫做极点，自极点◎引

一条射线Or,叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）,这样就建立了一个极坐标系.

注：

极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直

的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，

而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.

（2）极坐标

-MM

设M是平面内一点,极点（）与点M的距离|0M|叫做点M的极径,记为";以极轴Ox为始边,射线为终边的角加M叫做点M的极角,记为".有序数对SQ叫做点M的极坐标,记作ff）.

一般地,不作特殊说明时,我们认为"'％0可取任意实数•

特别地，

当点M在极点时,它的极坐标为（0,0）（0€R）.和直角坐标不同,平面内一

个点的极坐标有无数种表示.

女口果规定P>^<05,那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标

（卩t"）表示；同时,极坐标（卩T0）表示的点也是唯一确定的.

2.极坐标和直角坐标的互化

例题、①直角坐标为（-U2,磁）、（0,2）那么它的极坐标分别表示为、

②极坐标为（2,二）、（1,0）那么他们的直角坐标表示为、—

3

1.①答案：

2,34n、（2,?

）

②答案：

（1,.、3）,（1,0）

（1）互化背景：

把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示：

⑵互化公式：

设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是（・刃,极坐标是3仍（F-^）,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：

点M

直角坐标（兀M

极坐标

互化公式

Jx=[p=psm.&

tsfc6=—（r（9

JC

在一般情况下,由伽10确定角时,可根据点所在的象限最小正角.

（1）点的转化

1、①直角坐标为（―迈，迈）、（0,2）那么它的极坐标分别表示为:

②极坐标为（2,少）、（1,0）那么他们的直角坐标表示为、

3

1.①答案：

2,34n、（2,-）②答案：

（1厂.3）,（1,0）

（2）方程的转化

2、在极坐标系中，直线I:

pin9+4=2,则直线在直角坐标系中方程为

在极坐标系中，圆0:

尸4,则在直角坐标系中，圆的方程

直线I与圆0相交，所截得的弦长为•

答案：

⑴因为_---,

psin（0+-）=2

所以直线的直角坐标方程为

口n-v+v-2\'2=0

即^,

圆P=4的直角坐标方程为^+丫：

"&.

⑵由⑴知圆心的坐标是（°。

），半径是4,圆心到直线的距离

d=1屮幺习=£

是^~7

所以直线

psin（9+7）=2

被圆-一•截得的弦长是

3、若曲线的极坐标方程为尸2sin9+4cos9,以极点为原点，极轴为x轴正半

轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为•

4、求满足条件的曲线极坐标方程

（1）直线过点M（1,0）且垂直于x轴⑵直线过M（0，a）且平行

于x轴

--H

⑶当圆心位于M（a,0），半径为r（4）当圆心位于M（1,—），半径为2：

2

3.常见曲线的极坐标方程

曲线

图形

极坐标方程

圆心在极点，半径为F的圆

c

p=F（0

圆心为（人°）,半径为F的圆

5

p=2rcnsfil[——fl

22

圆心为‘2），半径为T■的圆

c

c

）1

p2rsiicx）

过极点,倾斜角为住的直线

⑴

0二a（p€I）或0二Ha（p“）

⑵

tf=a（p>（0和0=;r+a（pKQ）

过点（a®,与极轴垂直的直线

1

o卜询&

样=吒一y<

］（町）

过点2，与极轴平行的直线

i

o]

fit.

2,〒）

X

panfl=a（O

注：

由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即

3妙@刼他（-p严理（-P厂只匹都表示同一点的坐标,这与点的直角坐

标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至

少有一个能满足极坐标方程即可•例如对于极坐标方程"":

点可以表

等多种形式，其中，只有•的极坐

标满足方程"权.

4.圆Q=5cosJ-5・.3sinv的圆心坐标是（）

4兀兀兀5兀

A.（-5,）B.（-5,）C.（5,—）D.（-5,）

3333

4.化极坐标方程P2cosT-P=0为直角坐标方程为（）

A.X2y2=0或y=1B.X=1C.X2y2=0或X=1D.y=1

5.点M的直角坐标是（-1,、、3），则点M的极坐标为（）

二二2二二

A.（2,3）B.（2^-）C.（2,§）D.（2,2k二亍（kZ）

6.极坐标方程「COST-2sin2二表示的曲线为（）

A.一条射线和一个圆B.两条直线C.一条直线和一个圆D.一个圆

北京高考近几年真题

（2017年北京.11题5分）在极坐标系中，点A在圆p-2pcos-94psin+4=0上,点P的坐标为（1,0）,则|AP|的最小值为.

pcosB-pin0-仁0与圆p=2cos0交

（2016年北京.11题5分）在极坐标系中，直线于A,B两点，贝U|AB|=.

（2015年北京.11题5分）在极坐标系中，点（2,"）到直线p（cos07sin0

3

=6的距离为.

（2017年北京.11题5分）在极坐标系中，点A在圆p-2pcos-4psin+4=0上,点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为.

【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点P的距离的最小值.

【解答】解：

设圆p2-2pcos-4psin+4=0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：

22

x2+y2-2x-4y+4=0，

再化为标准方程：

（x-1）2+（y-2）2=1；

如图，当A在CP与。

C的交点Q处时，|AP|最小为:

|AP|min=|CP|-rc=2-1=1,

故答案为：

1.

【点评】本题主要考查曲线的极坐标方程和圆外一点到圆上一点的距离的最值,难度不大.

（2016年北京.11题5分）在极坐标系中，直线pcos0-^3psin仁0与圆p=2cos0交

于A,B两点，贝U|AB|=.

【考点】简单曲线的极坐标方程.

【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆.

【分析】把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心C在直线上可得|AB|.

【解答】解：

直线pcos0-psin0-仁0化为y直线x-';y-1=0.

22222

圆p=2cos0化为p=2pcos0,•••x+y=2x，配方为（x-1）+y=1，可得圆心C（1,0），半

径r=1.

则圆心C在直线上，•|AB|=2.

故答案为：

2.

（2015年北京.11题5分）在极坐标系中，点（2,…）到直线p（cos0Tsin0

3

=6的距离为.

【分析】化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出.【解答】解：

点P（2,丄）化为P-•-.

3

直线p（cosMsin0=6化为xW3y-6=0.

•••点P到直线的距离d=「=1.

Vi+tVs）2

故答案为：

1.

9.（2013北京，理9）在极坐标系中，点'2,n|到直线pin0=2的距离等于

I6丿答案：

1

应直角坐标系中的方程为y=2,所以点到直线的距离为1.

）.

【2011北京理，3】3.在极坐标系中，圆t二-2sin二的圆心的极坐标系是（

【解析】

oo:

P=—2sin日nxo+（y+1）2=1，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为（1,—三），

A-（1,_2

【答案】B•

选B.