四年级奥数思维训练专题讲义1.docx

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四年级奥数思维训练专题讲义1

四年级奥数思维训练专题

四年级奥数思维训练专题-简单列举

专题简析：

直接列式解答比较困难时,可采用一一列举的方法解决.（根据题目的要求,通过一一列举各种情况最终达到解答整个问题的方法叫做列举法.）

例题1从南通到上海有两条路可走,从上海到南京有3条路可走.王叔叔从南通经过上海到南京去,有几种走法？

分析：

为了帮助理解,先画一个线路示意图.

从南通到上海有两条路,每条路经上海到南京都有3条路；即有2个3条路：

3×2=6（种）

试一试1：

从甲地到乙地,有两条直达铁路,从乙地到丙地,有4条直达公路.那么,从甲地到丙地有多少种不同的走法？

例2：

有三张数字卡片,分别为3、6、0.从中挑出两张排成一个两位数,一共可以排成多少个两位数？

分析：

排成时要注意“0”不能排在最高位.

十位上排6,个位有两种选择：

60,63；

十位上排3,个位有两种选择：

30,60.

一共可以排成2×2=4（个）两位数.

试一试2：

用8、6、3、0这四个数字,可以组成多少个不同的三位数？

最大的一个是多少？

例3：

用红、黄、蓝三种信号灯组成一种信号,可以组成多少种不同的信号？

分析：

要使信号不同,每一种信号颜色的顺序就不同.把这些不同的信号一一列举如下：

红灯排在第一位置时,有两种不同的信号,

黄灯排在第一位置时,有两种不同的信号,

蓝灯排在第一位置时,有两种不同的信号.

因此,共有2×3=6种不同的排法.

试一试3：

小红有3种不同颜色的上衣,4种不同颜色的裙子,问她共有多少种不同的穿法？

例4：

在一次足球比赛中,4个队进行循环赛,需要比赛多少场？

（两个队之间比赛一次称为1场）

分析1：

4个队进行循环赛,即每两个队都要赛一场.设4个队分别为A、B、C、D则：

A队和其他3个队各比赛1次,要赛3场；

B队和其他两个队还要各比赛1次,要赛2场；

C队还要和D队比赛1次,要赛1场.

这样,一共需要比赛3＋2＋1=6（场）.

分析2：

4个队进行循环赛,即每两个队都要赛一场.则每个队都要赛3场,共赛4×3=12场.这样就重复算了两次,因此实际共赛：

12÷2=6（场）

试一试4：

在一次羽毛球赛中,8个队进行循环赛,需要比赛多少场？

四年级奥数思维训练专题-巧妙求和

（一）

专题简析：

若干个数排成一列称为数列.数列中的每一个数称为一项.其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中项的个数称为项数.

相邻两项的差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差.

通项公式：

第n项=首项+（项数－1）×公差

项数公式：

项数=（末项－首项）÷公差＋1

例1：

有一个数列：

4,10,16,22,…,52,这个数列共有多少项？

分析：

容易看出这是一个等差数列,公差为6,首项是4,末项是52,要求项数,可直接带入项数公式进行计算.

项数=（52－4）÷6＋1=9

答：

这个数列共有9项.

试一试1：

有一个等差数列：

2,5,8,11,…,101,这个等差数列共有多少项？

例2：

有一等差数列：

3,7,11,15,……,这个等差数列的第100项是多少？

分析：

这个等差数列的首项是3,公差是4,项数是100.要求第100项,可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算.

第100项=3+4×（100－1）=399

试一试2：

求1,4,7,10……这个等差数列的第30项.

例3：

有这样一个数列：

1,2,3,4,…,99,100.请求出这个数列所有项的和.

分析：

等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2

1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050

试一试3：

6+7+8+…+74+75

例4：

求等差数列2,4,6,…,48,50的和.

分析：

项数=（末项－首项）÷公差+1

=（50－2）÷2+1=25

首项=2,末项=50,项数=25

等差数列的和=（2+50）×25÷2=650

试一试4：

9+18+27+36+…+261+270

巧妙求和

（二）

专题简析：

某些问题,可以转化为求若干个数的和.先判断是否是求某个等差数列的和.如果是等差数列求和,才可用等差数列求和公式.

例1：

刘俊读一本长篇小说,他第一天读30页,从第二天起,他每天读的页数都比前一天多3页,第11天读了60页,正好读完.这本书共有多少页？

分析：

根据“每天读的页数都比前一天多3页”可知他每天读的页数是按一定规律排列的数,即30、33、36、……57、60.这列数是一个等差数列,首项=30,末项=60,项数=11带入等差数列求和公式,得：

（30＋60）×11÷2=495（页）

试一试1：

丽丽学英语单词,第一天学会了6个,以后每天都比前一天多学1个,最后一天学会了16个.丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？

例2：

30把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试几次？

分析：

开第一把锁时,如果不凑巧,试了29把钥匙还不行,那所剩的一把就一定能把它打开,即开第一把锁至多需要试29次；同理,开第二把锁至多需试28次,开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁,剩下的最后一把不用试,一定能打开.所以,至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）.

试一试2：

有10只盒子,44只羽毛球.能不能把44只羽毛球放到盒子中去,使各个盒子里的羽毛球只数不相等？

例3：

某班有51个同学,毕业时每人都和其他的每个人握一次手.那么共握了多少次手？

分析1：

假设51个同学排成一排,第一个人依次和其他人握手,一共握了50次,第二个依次和剩下的人握手,共握了49次,第三个人握了48次.依次类推,第50个人和剩下的一人握了1次手,这样,他们握手的次数和为：

50＋49＋48＋…＋2＋1=（50＋1）×50÷2=1275（次）

分析2：

每个同学都要握手51－1=50次.而每两人就重复算了1次.所以实际握手次数：

51×50÷2=1275（次）

试一试3：

学校进行乒乓球赛,每个选手都要和其他所有选手各赛一场.如果有21人参加比赛,一共要进行多少场比赛？

四年级奥数思维训练专题-巧算年龄

专题简析：

解答年龄问题,要灵活运用以下三条规律：

1、两人的年龄差总是不变的；

2、随着时间的向前或向后推移,几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量；

3、随着时间的变化,两人的年龄之间的倍数关系也会发生变化.

例1：

爸爸今年43岁,儿子今年11岁.几年后爸爸的年龄是儿子的3倍？

分析：

儿子出生后,无论在哪一年,爸爸和儿子的年龄差总是不变的,这个年龄差是43－11=32岁.所以,当爸爸的年龄是儿子3倍时,儿子是32÷（3－1）=16岁,因此16－11=5年后,爸爸的年龄是儿子的3倍.

试一试1：

小强今年15岁,小亮今年9岁.几年前小强的年龄是小亮的3倍？

例2：

妈妈今年的年龄是女儿的4倍,3年前,妈妈和女儿的年龄和是39岁.妈妈和女儿今年各多少岁？

分析：

从3年前到今年,妈妈和女儿都长了3岁,她们今年的年龄和是：

39+3×2=45岁.于是,这个问题可转化为和倍问题来解决.所以,今年女儿的年龄是45÷（1+4）=9岁,妈妈今年是9×4=36岁.

试一试2：

今年小丽和她爸爸的年龄和是41岁,4年前爸爸的年龄恰好是小丽的10倍.小丽和爸爸今年各是多少岁？

例3：

甜甜的爸爸今年28岁,妈妈今年26岁.再过多少年,爸爸和妈妈的年龄和为80岁？

分析：

两人的年龄和每年增加2岁,先求今年爸爸和妈妈的年龄和：

28＋26=54岁,再求80比54多80－54=26岁.26里面包含多少个2,就是经过的年数.所以,再过26÷2=13年爸爸和妈妈的年龄和为80岁.

试一试3：

林星今年8岁,爸爸今年34岁.当他们的年龄和为72岁时,爸爸和林星各多少岁？

四年级奥数思维训练专题-容斥原理

专题简析：

容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理,也叫容斥原理.即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分.

例1：

某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人.问多少个同学两题都答得不对？

分析：

只答对第一题的有25－15=10人.至少有一题答对的人数：

10＋23=33人.所以,两题都答得不对的有36－33=3人.

试一试1：

一个班有55名学生,订阅《小学生数学报》的有32人,订阅《中国少年报》的有29人,两种报纸都订阅的有25人.两种报纸都没有订阅的有多少人？

例2：

某班有56人,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有27人,如果两科都没有参加的有25人,那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？

分析：

至少参加一科竞赛的人数：

56－25=31人,两科竞赛都参加：

28＋27－31=24人.

试一试2：

一个俱乐部有103人,其中会下中国象棋的有69人,会下国际象棋的有52人,这两种棋都不会下的有12人.问这两种棋都会下的有多少人？

例3：

在1到100的自然数中,既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？

分析：

从1到100的自然数中,5的倍数有100÷5=20个,6的倍数有16个（100÷6=16……4）,其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）.因此,是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33个,既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：

100－33=67个.

试一试3：

在1到200的全部自然数中,既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？

四年级奥数思维训练专题-数数图形

专题简析：

当线段、角、三角形、长方形等图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形.要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数,必须注意以下几点：

1,弄清被数图形的特征和变化规律.

2,要按一定的顺序数,做到不重复,不遗漏.

例1：

数一数下图中共有多少个三角形.

分析：

以AD上的线段为底边的三角形也是1+2+3=6个；以EF上的线段为底边的三角形也是1+2+3=6个.所以图中共有6×2=12个三角形.

试一试1：

数一数下面各图中各有多少个三角形.

（）个三角形（）个三角形

例2：

数一数下图中有多少个长方形.·

分析：

数长方形与数线段的方法类似.可以这样思考,图中的长方形的个数取决于AB或CD边上的线段,AB边上的线段条数是1+2+3=6条,所以图中有6个长方形.

试一试2：

数一数下面各图中分别有多少个长方形.

（）个长方形

数数图形

（二）

专题简析：

“数图形”时,既可以逐个计数,也可以把图形分成若干个部分,先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数,再把他们的个数合起来.

例1：

数一数下图中有多少个长方形？

分析：

AB边上有线段1+2+3=6条,把AB边上的每一条线段作为长,AD边上的每一条线段作为宽,每一个长配一个宽,就组成一个长方形,所以,图中共有6×3=18个长方形.

即：

长边线段数×宽边线段数=长方形的个数

试一试1：

数一数,下图中有（）个长方形.

例2：

数一数,下图中有多少个正方形？

（每个小方格是边长为1的正方形）

分析：

图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个,边长为2个长度单位的正方形有2×2=4个,边长为3个长度单位的正方形有1×1=1个.所以图中的正方形总数为：

1+4+9=14个.

经进一步分析可以发现,由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：

1×1＋2×2＋…＋n×n.

试一试2：

数一数下图中有（）个正方形.（每个小方格为边长是1的小正方形）

例3：

数一数右图中有多少个正

方形？

（其中每个小方格都是边

长为1个长度单位的正方形）

分析：

边长是1个长度单位的正方形有6×4=24个；边长是2个长度单位的正方形有（6－1）×（4－1）=15个；边长是3个长度单位的正方形有（6－2）×（4－2）=8个；边长是4个长度单位的正方形有（6－3）×（4－3）=3个；共有：

24＋15＋8＋3=50个.

如果一个长方形的长被分成m等份,宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：

mn+（m－1）（n－1）＋（m－2）（n－2）＋…＋（m－n＋1）·1

试一试3：

数一数下图中有（）个正方形.

四年级奥数思维训练专题-速算与巧算

专题简析：

乘、除法的巧算方法主要是利用乘、除法的运算定律和运算性质以及积、商的变化规律,通过对算式适当变形,将其中的数转化成整十、整百、整千…的数,或者使这道题计算中的一些数变得易于口算,使计算简便.

例1：

计算325÷25

分析：

在除法里,被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数,商不变.利用这一性质,可以使这道计算题简便.

325÷25=（325×4）÷（25×4）=1300÷100=13

试一试1：

计算下面各题.

450÷253500÷125

例2：

计算25×125×4×8

分析：

先把25与4相乘,可以得到100；同时把125与8相乘,可以得到1000；再把100与1000相乘就简便了.这就启发我们运用乘法交换律和结合律使计算简便.

25×125×4×8

=（25×4）×（125×8）

=100×1000

=100000

试一试：

计算下面各题.

125×25×3275×16

例3：

计算

（360+108）÷36（450－75）÷15

分析：

两个数的和（或差）除以一个数,可以用这个数分别去除这两个数,再求出两个商的和（或差）.利用这一性质,可以使这道题计算简便.

（360+108）÷36（450－75）÷15

=360÷36+108÷36=450÷15－75÷15

=10+3=30－5

=13=25

试一试3：

计算下面各题.

（720+96）÷24（4500－90）÷45

例4：

计算158×61÷79×3

分析：

在乘除法混合运算中,如果算式中没有括号,计算时可以根据运算定律和性质调换因数或除数的位置.

158×61÷79×3

=158÷79×61×3

=2×61×3

=366

试一试4：

计算下面各题.

624×48÷312÷8406×312÷104÷203

速算与巧算

专题简析：

有些题看似不能巧算,如果把已知数适当分解或转化就可以使计算简便.

例1：

计算236×37×27

分析：

将27变为“3×9”,将37乘3得111,这是一个特殊的数,这样就便于计算了.

236×37×27

=236×（37×3×9）

=236×（111×9）

=236×999

=236×（1000－1）

=236000－236

=235764

试一试1：

计算下面各题：

315×77×136666×6666

例2：

计算333×334＋999×222

解析：

333×334＋999×222

=333×334＋333×（3×222）

=333×（334＋666）

=333×1000

=333000

试一试2：

计算下面各题：

9999×2222＋3333×333446×28＋24×63

例3：

计算20012001×2002－20022002×2001

分析：

大数化小：

20012001=2001×10001,20022002=2002×10001：

20012001×2002－20022002×2001

=2001×10001×2002－2002×10001×2001

=0

试一试3：

计算

19931993×1994－19941994×1993

例4：

不用笔算,请你指出下面哪个得数大.

163×167164×166

分析1：

两个因数和相等,差越小积越大,所以163×167＜164×166

分析2：

把题中的数据作适当变形,再利用乘法分配律,再比较就方便了.

163×167164×166

=163×（166＋1）=（163＋1）×166

=163×166＋163=163×166＋166

所以,163×167＜164×166

试一试4：

计算：

8353×363－8354×362

四年级奥数思维训练专题-算式谜

（一）

专题简析：

解答算式谜问题时,要先仔细审题,分析数据之间的关系,找到突破口,逐步试验,分析求解,通常要运用倒推法、凑整法、估值法等.

例1：

将0、1、2、3、4、5、6这七个数字填在圆圈和方格内,每个数字恰好出现一次,组成一个整数算式.

○×○=□=○÷○

分析：

用七个数字组成五个数（3个是一位数,2是两位数）.而方格中的数和被除数是两位数,其他是一位数.

0和1不能作因数,也不能做除数.由于2×6=12（2将出现两次）,2×5=10（不合题意）,2×4=8（数字中没有8）,2×3=6（不是两位数）.因此,0、1、2只能用来组成两位数.经试验可得：

3×4=12=60÷5

试一试1：

将0、1、3、5、6、8、9这七个数字填在圆圈和方筐里,每个数字恰好出现一次组成一个整数算式.

○×○=□=○÷○

例2：

把“＋、－、×、÷”分别放在适当的圆圈中（运算符号只能用一次）,并在方框中填上适当的数,使下面的两个等式成立.

36○0○15=1521○3○5=□

分析：

先从第一个等式入手,等式右边是15,与等式左边最后一个数15相同,因为0+15=15,所以,只要使36与0的运算结果为0就行.显然,36×0+15=15

因为“×”、“+”已用,第二个等式中只有“－”、“÷”可以填.“方框中填整数”,而3不能被5整除：

21÷3－5=2

试一试2：

将1~9这九个数字填入□中（每个数字只能用一次）,组成三个等式.

□＋□=□□－□=□□×□=□

专题六算式谜

（二）

:

专题简析：

1．利用列举和筛选相结合的方法,逐步排除不合理的数字；

2．算式谜解出后,要验算一遍.

例1：

在下面的方框中填上合适的数字.

分析：

由积的末尾是0,推出第二个因数的个位是5；由第二个因数的个位是5,并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑,可推出第一人个因数的百位是3；由第一个因数为376与积为31□□0,可推出第二个因数的十数上是8.题中别的数字就容易填了.

试一试1：

在□里填上适当的数.

例2：

在下面方框中填上适合的数字.

分析：

由“1□2”和“1□”可知商和除数的十位都是1.那么被除数的十位只可能是7、8、9.如果是7,除数的个位是0,那么最后必有余数；如果被除数是8,除数的个位就是1,也不能除尽；只有当被除数的十位是9时,除数的个位是2时,商的个位为6,正好除尽.

完整的竖式是：

试一试2：

在□内填入适当的数字,使右面除法竖式成立.

例3：

下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字？

分析：

因为四位数abcd乘9的积是四位数,可知a=1、d=9；因为9与b相乘的积不能进位,所以b只能是0（1已经用过）；再由b=0,可推知c=8.

试一试3：

右式中每个汉字所代表的数字.

华=罗=

庚=金=杯=

例4：

在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中间加上“＋、－”两种运算符号,使其结果等于100（数字的顺序不能改变）.

分析：

先凑出与100比较接近的数,再根据需要把相邻的几个数组成一个数.

（1）123与100比较接近,前三个数字组成123,后面的数字凑出23就行.因为45与67相差22,8与9相差1,所以：

123＋45－67＋8－9=100

（2）89与100比较接近,78与67正好相差11,所此可得另一种解法：

123＋45－67＋89=100

试一试4：

一个乘号和七个加号添在下面的算式中合适的地方,使其结果等于100（数字的顺序不能改变）.

123456789=100

四年级奥数思维训练专题-图形问题

专题简析：

解答“图形面积”问题时,应注意以下几点：

1、根据题意,画出图形.

2、合理地进行切拼.

3、掌握图形本质,结合必要的分析推理和计算,使隐蔽的数量关系明朗化.

例1：

人民路小学操场长90米,宽45米.改造后,长增加10米,宽增加5米.现在操场面积比原来增加了多少平方米？

分析：

用操场现在的面积减去操场原来的面积,就得到增加的面积.

现在面积：

（90+10）×（45+5）=5000平方米

原来面积：

90×45=4050平方米

现在比原来增加：

5000－4050=950平方米

试一试1：

一块长方形铁板,长18分米,宽13分米.如果长和宽各减少2分米,面积比原来减少多少平方分米？

例2：

一个长方形,如果宽不变,长增加6米,那么它的面积增加54平方米；如果长不变,宽减少3米,那么它的面积减少36平方米.这个长方形原来的面积是多少平方米？

分析：

由“宽不变,长增加6米,面积增加54平方米”可知,它的宽为54÷6=9米；由“长不变,宽减少3米,面积减少36平方米”可知,它的长为36÷3=12米.所以,这个长方形原来的面积是12×9=108平方米.

试一试2：

一个长方形,如果宽不变,长减少3米,那么它的面积减少24平方米；如果长不变,宽增加4米,那么它的面积增加60平方米.这个长方形原来的面积是多少平方米？

例3：

一个养禽专业户用一段16米的篱笆围成的一个长方形养鸡场（如下图）,求养鸡场的占地面积.

分析：

因为一面利用着墙,所以两条长加一条宽等于16米.而宽是4米,那么长是（16－4）÷2=6米,占地面积是6×4=24平方米.

试一试3：

下图是某个养禽专业户用一段长13米的篱笆围成的一个长方形养鸡场,求养鸡场的占地面积.

例4：

街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路,如果水泥路的总面积是12平方米,中间花坛的面积是多少平方米？

分析：

把水泥路分成四个同样大小的长方形（如下图）.因此,一个长方形的面积是12÷4=3平方米.因为水泥路宽1米,所以小长方形的长是3÷1=3米.从图中可以看出正方形小正方形的边长是3－1=2米.中间花坛的面积是2×2=4平方米.

试一试4：

有一个正方形的水池,如下图的阴影部分,在它的周围修一个宽8米的花池,花池的面积是480平方米,求水池的边长.

四年级奥数思维训练专题-盈亏问题

专题简析：

一定数量的物品分给一定数量的人,每人多一些,物品就不够；每人少一些,物品就有余.不足部分叫做“亏”,多余部分叫做“盈”.

盈亏问题的数量关系是：

（1）（盈＋亏）÷两次分配差=份数

（多盈－少盈）÷两次分配差=份数

（多亏－少亏）÷两次分配差=份数

（2）每次分得的数量×份数＋盈=总数量

每次分得的数量×份数－亏=总数量

例1：

一个植树小组植树.如果每人栽5棵,还剩14棵；如果每人栽7棵,就缺4棵.这个植树小组有多少人？

一共有多少棵树？

分析：

两种分配方法如下：

①：

每人栽5棵,还剩14棵（盈）

②：

每人栽7棵,就缺4棵（亏）

（盈＋亏）÷两次分配差=份数

人数=（14＋4）÷（7－5）=9（人）

棵树=5×9＋14=59（棵）

试一试1：

某校安排宿舍,如果每间6人,则16人没有床位；如果每间8人,则多出10个床位.问宿舍多少间？

学生多少人？

例2：

学校将一批铅笔奖给三好学生.如果每人奖9支,则缺45支；如果每人奖7支,则缺7支.三好学生有多少人？

铅笔有多少支？

分析：

两种分配方法如下：

①：

每人奖9支,缺45支（多亏）

②：

每人奖7支,缺7支（少亏）