知识梳理与自测人教A版文科数学《 25指数与指数函数》.docx

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知识梳理与自测人教A版文科数学《25指数与指数函数》

§2.5　指数与指数函数

最新考纲

考情考向分析

1.了解指数函数模型的实际背景．

2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．

3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图象．

4.体会指数函数是一类重要的函数模型.

直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为选择、填空题，中档难度.

1．分数指数幂

（1）我们规定正数的正分数指数幂的意义是

＝（a>0，m，n∈N*，且n>1）．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定

＝

（a>0，m，n∈N*，且n>1）.0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．

（2）有理数指数幂的运算性质：

aras＝ar＋s，（ar）s＝ars，（ab）r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.

2．指数函数的图象与性质

y＝ax

a>1

0

图象

定义域

（1）R

值域

（2）（0，＋∞）

性质

（3）过定点（0,1）

（4）当x>0时，y>1；当x<0时，0

（5）当x>0时，01

（6）在（－∞，＋∞）上是增函数

（7）在（－∞，＋∞）上是减函数

概念方法微思考

1.如图是指数函数

（1）y＝ax，

（2）y＝bx，（3）y＝cx，（4）y＝dx的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为．

提示　c>d>1>a>b>0

2．结合指数函数y＝ax（a>0，a≠1）的图象和性质说明ax>1（a>0，a≠1）的解集跟a的取值有关．

提示　当a>1时，ax>1的解集为{x|x>0}；当01的解集为{x|x<0}．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）＝（）n＝a（n∈N*）．（　×　）

（2）分数指数幂

可以理解为个a相乘．（　×　）

（3）函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．（　√　）

（4）若am0，且a≠1），则m

（5）函数y＝2－x在R上为单调减函数．（　√　）

题组二　教材改编

2．[P59A组T4]化简（x<0，y<0）＝.

答案　－2x2y

3．[P56例6]若函数f（x）＝ax（a>0，且a≠1）的图象经过点P，则f（－1）＝.

答案　

解析　由题意知＝a2，所以a＝，

所以f（x）＝x，所以f（－1）＝－1＝.

4．[P59A组T7]已知a＝

，b＝

，c＝

，则a，b，c的大小关系是．

答案　c

解析　∵y＝x是R上的减函数，

∴

>

>0，

即a>b>1，

又c＝

<0＝1，

∴c

题组三　易错自纠

5．计算：

×0＋

×－

＝.

答案　2

解析　原式＝

×1＋

－

＝2.

6．若函数f（x）＝（a2－3）·ax为指数函数，则a＝.

答案　2

解析　由指数函数的定义可得解得a＝2.

7．若函数y＝（a2－1）x在（－∞，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围是．

答案　（－，－1）∪（1，）

解析　由题意知0

得－

8．若函数f（x）＝ax在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________.

答案　2或

解析　若a>1，则f（x）max＝f

（1）＝a＝2；

若0

所以，a＝2或.

题型一　指数幂的运算

1．若实数a>0，则下列等式成立的是（　　）

A．（－2）－2＝4B．2a－3＝

C．（－2）0＝－1D．

＝

答案　D

解析　对于A，（－2）－2＝，故A错误；对于B,2a－3＝，故B错误；对于C，（－2）0＝1，故C错误；对于D，

＝，故D正确．

2．计算：

＋0.002

－10（－2）－1＋π0＝.

答案　－

解析　原式＝－2＋

－＋1

＝＋10－10－20＋1＝－.

3．化简：

·

（a>0，b>0）＝.

答案　

解析　原式＝2×

＝21＋3×10－1＝.

4．化简：

＝（a>0）．

答案　a2

解析　原式＝

思维升华

（1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：

①必须同底数幂相乘，指数才能相加；

②运算的先后顺序．

（2）当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．

（3）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．

题型二　指数函数的图象及应用

例1

（1）函数f（x）＝1－e|x|的图象大致是（　　）

答案　A

解析　f（x）＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，

又e|x|≥1，∴f（x）≤0.符合条件的图象只有A.

（2）若函数y＝|4x－1|在（－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为____________．

答案　（－∞，0]

解析　函数y＝|4x－1|的图象是由函数y＝4x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．

由图象知，其在（－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是（－∞，0]．

思维升华

（1）已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．

（2）对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

跟踪训练1

（1）已知实数a，b满足等式2019a＝2020b，下列五个关系式：

①0

其中不可能成立的关系式有（　　）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

答案　B

解析　如图，观察易知，a，b的关系为a

（2）方程2x＝2－x的解的个数是．

答案　1

解析　方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象（如图）．

由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．

题型三　指数函数的性质及应用

命题点1　比较指数式的大小

例2

（1）已知a＝

，b＝

，c＝

，则（　　）

A．b

答案　A

解析　由a15＝（2

）15＝220，b15＝（2

）15＝212，c15＝255>220，可知b15

（2）若－1

，a3的大小关系是．（用“>”连接）

答案　3a>a3>a

解析　易知3a>0，a

<0，a3<0，又由－1

，即－a3<－a

，所以a3>a

，因此3a>a3>a

.

命题点2　解简单的指数方程或不等式

例3

（1）（2018·福州模拟）已知实数a≠1，函数f（x）＝若f（1－a）＝f（a－1），则a的值为．

答案　

解析　当a<1时，41－a＝21，解得a＝；

当a>1时，代入不成立．故a的值为.

（2）若偶函数f（x）满足f（x）＝2x－4（x≥0），则不等式f（x－2）>0的解集为．

答案　{x|x>4或x<0}

解析　∵f（x）为偶函数，

当x<0时，－x>0，则f（x）＝f（－x）＝2－x－4，

∴f（x）＝

当f（x－2）>0时，有或

解得x>4或x<0.

∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}．

命题点3　指数函数性质的综合应用

例4

（1）已知函数f（x）＝2|2x－m|（m为常数），若f（x）在区间[2，＋∞）上单调递增，则m的取值范围是．

答案　（－∞，4]

解析　令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f（x）＝2|2x－m|在[2，＋∞）上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是（－∞，4]．

（2）函数f（x）＝4x－2x＋1的单调增区间是．

答案　[0，＋∞）

解析　设t＝2x（t>0），则y＝t2－2t的单调增区间为[1，＋∞），令2x≥1，得x≥0，又y＝2x在R上单调递增，

所以函数f（x）＝4x－2x＋1的单调增区间是[0，＋∞）．

（3）若函数f（x）＝

有最大值3，则a＝.

答案　1

解析　令h（x）＝ax2－4x＋3，y＝h（x），由于f（x）有最大值3，所以h（x）应有最小值－1，

因此必有解得a＝1，

即当f（x）有最大值3时，a的值为1.

思维升华

（1）利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量；

（2）求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．

跟踪训练2

（1）函数f（x）＝x2－bx＋c满足f（x＋1）＝f（1－x），且f（0）＝3，则f（bx）与f（cx）的大小关系是（　　）

A．f（bx）≤f（cx）B．f（bx）≥f（cx）

C．f（bx）>f（cx）D．与x有关，不确定

答案　A

解析　∵f（x＋1）＝f（1－x），∴f（x）关于x＝1对称，

易知b＝2，c＝3，

当x＝0时，b0＝c0＝1，∴f（bx）＝f（cx），

当x>0时，3x>2x>1，又f（x）在（1，＋∞）上单调递增，∴f（bx）

当x<0时，3x<2x<1，又f（x）在（－∞，1）上单调递减，

∴f（bx）

综上，f（bx）≤f（cx）．

（2）已知f（x）＝2x－2－x，a＝

，b＝

，则f（a），f（b）的大小关系是．

答案　f（b）

解析　易知f（x）＝2x－2－x在R上为增函数，

又a＝

＝

>

＝b，

∴f（a）>f（b）．

（3）若不等式1＋2x＋4x·a≥0在x∈（－∞，1]时恒成立，则实数a的取值范围是．

答案　

解析　从已知不等式中分离出实数a，

得a≥－.∵函数y＝x＋x在R上是减函数，∴当x∈（－∞，1]时，x＋x≥＋＝，从而得－≤－.

故实数a的取值范围为.

1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a

答案　C

解析　因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.51，所以b

2．已知函数f（x）＝5x，若f（a＋b）＝3，则f（a）·f（b）等于（　　）

A．3B．4C．5D．25

答案　A

解析　∵f（x）＝5x，∴f（a＋b）＝5a＋b＝3，∴f（a）·f（b）＝5a×5b＝5a＋b＝3.故选A.

3．设x>0，且ax0且a≠1，b>0且b≠1），则a与b的大小关系是（　　）

A．b

C．1

答案　B

解析　若ax<1且x>0，则必有0a，故选B.

4．已知f（x）＝3x－b（2≤x≤4，b为常数）的图象经过点（2,1），则f（x）的值域为（　　）

A．[9,81]B．[3,9]C．[1,9]D．[1，＋∞）

答案　C

解析　由f（x）过定点（2,1）可知b＝2，

因为f（x）＝3x－2在[2,4]上是增函数，

f（x）min＝f

（2）＝1，f（x）max＝f（4）＝9.故选C.

5．若函数f（x）＝a|2x－4|（a>0，a≠1）满足f

（1）＝，则f（x）的单调递减区间是（　　）

A．（－∞，2]B．[2，＋∞）

C．[－2，＋∞）D．（－∞，－2]

答案　B

解析　由f

（1）＝，得a2＝，

所以a＝或a＝－（舍去），即f（x）＝|2x－4|.

由于y＝|2x－4|在（－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞）上单调递增，

所以f（x）在（－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞）上单调递减．故选B.

6．已知函数f（x）＝的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－3]B．[－3,0）

C．[－3，－1]D．{－3}

答案　B

解析　当0≤x≤4时，f（x）∈[－8,1]，当a≤x<0时，f（x）∈，所以[－8,1]，即－8≤－<－1，即－3≤a<0.所以实数a的取值范围是[－3，0）．

7．若“m>a”是“函数f（x）＝x＋m－的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为．

答案　－1

解析　f（0）＝m＋，∴函数f（x）的图象不过第三象限等价于m＋≥0，即m≥－，∵“m>a”是“m≥－”的必要不充分条件，∴a<－，则实数a能取的最大整数为－1.

8．不等式2

>x＋4的解集为．

答案　（－1,4）

解析　原不等式等价于

>2－x－4，

又函数y＝2x为增函数，∴－x2＋2x>－x－4，

即x2－3x－4<0，∴－1

9．当x∈（－∞，－1]时，不等式（m2－m）·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是．

答案　（－1,2）

解析　原不等式变形为m2－m

因为函数y＝x在（－∞，－1]上是减函数，

所以x≥－1＝2，

当x∈（－∞，－1]时，m2－m

10．已知函数f（x）＝2x－，函数g（x）＝则函数g（x）的最小值是．

答案　0

解析　当x≥0时，g（x）＝f（x）＝2x－为单调增函数，所以g（x）≥g（0）＝0；当x<0时，g（x）＝f（－x）＝2－x－＝－2x为单调减函数，所以g（x）>g（0）＝0，

所以函数g（x）的最小值是0.

11．已知9x－10·3x＋9≤0，求函数y＝x－1－4x＋2的最大值和最小值．

解　由9x－10·3x＋9≤0，得（3x－1）（3x－9）≤0，

解得1≤3x≤9，即0≤x≤2.

令x＝t，则≤t≤1，y＝4t2－4t＋2＝42＋1.

当t＝，即x＝1时，ymin＝1；

当t＝1，即x＝0时，ymax＝2.

12．已知函数f（x）＝b·ax（其中a，b为常量，且a>0，a≠1）的图象经过点A（1,6），B（3,24）．

（1）求f（x）的表达式；

（2）若不等式x＋x－m≥0在（－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．

解　

（1）因为f（x）的图象过A（1,6），B（3,24），

所以所以a2＝4，

又a>0，所以a＝2，b＝3.所以f（x）＝3·2x.

（2）由

（1）知a＝2，b＝3，则当x∈（－∞，1]时，x＋x－m≥0恒成立，即m≤x＋x在（－∞，1]上恒成立．

又因为y＝x与y＝x在（－∞，1]上均为减函数，所以y＝x＋x在（－∞，1]上也是减函数，所以当x＝1时，y＝x＋x有最小值，所以m≤，即m的取值范围是.

13．（2018·安徽滁州中学月考）设函数f（x）＝则满足f（f（a））＝2f（a）的a的取值范围是（　　）

A.B．[0,1]C.D．[1，＋∞）

答案　C

解析　令f（a）＝t，则f（t）＝2t.

当t<1时，3t－1＝2t，令g（t）＝3t－1－2t，则g′（t）＝3－2tln2，当t<1时，g′（t）>0，g（t）在（－∞，1）上单调递增，即g（t）

（1）＝0，则方程3t－1＝2t无解．

当t≥1时，2t＝2t成立，由f（a）≥1，得a<1，且3a－1≥1，解得≤a<1；a≥1，且2a≥1，解得a≥1.

综上可得a的取值范围是.故选C.

14．若函数f（x）＝2|x＋a|（a∈R）满足f（1－x）＝f（1＋x），f（x）在区间[m，n]上的最大值记为f（x）max，最小值记为f（x）min，若f（x）max－f（x）min＝3，则n－m的取值范围是．

答案　（0,4]

解析　因为f（1－x）＝f（1＋x），所以f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以a＝－1，

所以f（x）＝2|x－1|.

作出函数y＝f（x）的图象如图所示．

当m

15．设f（x）＝|2x－1－1|，af（c），则2a＋2c4.（选填“>”“<”“＝”）

答案　<

解析　f（x）在（－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞）上是增函数，故结合条件知必有a<1.

若c≤1，则2a<2,2c≤2，故2a＋2c<4；

若c>1，则由f（a）>f（c），得1－2a－1>2c－1－1，

即2c－1＋2a－1<2，即2a＋2c<4.

综上知，总有2a＋2c<4.

16．已知函数f（x）＝－＋4（－1≤x≤2）．

（1）若λ＝，求函数f（x）的值域；

（2）若方程f（x）＝0有解，求实数λ的取值范围．

解　

（1）f（x）＝－＋4

＝2x－2λ·x＋4（－1≤x≤2）．

设t＝x，得g（t）＝t2－2λt＋4.

当λ＝时，g（t）＝t2－3t＋4

＝2＋.

所以g（t）max＝g＝，g（t）min＝g＝.

所以f（x）max＝，f（x）min＝，

故函数f（x）的值域为.

（2）方程f（x）＝0有解可转化为

λ＝2·2x＋·（－1≤x≤2）．

设φ（x）＝2·2x＋，

当2x＝，即x＝－1时，φ（x）min＝2；

当2x＝4，即x＝2时，φ（x）max＝.

∴函数φ（x）的值域为.

故实数λ的取值范围是.