人教版高考数学理一轮复习第七单元 听课正文 第42讲空间点 直线 平面之间的位置关系.docx
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人教版高考数学理一轮复习第七单元听课正文第42讲空间点直线平面之间的位置关系
听课正文第42讲 空间点直线平面之间的位置关系
1.四个公理
文字语言
图形语言
符号语言
作用
公
理
1
如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线在此平面内
⇒l⊂α
可用来证明点、直线在平面内
公
理
2
过 的三点,有且只有一个平面
A,B,C三点不共线⇒有且只有一个平面α,使A∈α,B∈α,C∈α
①可用来确定一个平面;
②证明点、线共面
公
理
3
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们 过该点的公共直线
P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l
①可用来确定两个平面的交线;②判断或证明多点共线;③判断或证明多线共点
（续表）
文字语言
图形语言
符号语言
作用
公
理
4
平行于同一条直线的两条直线
a∥b,b∥c⇒a∥c
证明空间中两条直线平行
2.公理2的三个推论
推论1:
经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面;
推论2:
经过两条 直线有且只有一个平面;
推论3:
经过两条 直线有且只有一个平面.
3.空间直线的位置关系
（1）位置关系的分类
空间直线
（2）异面直线所成的角
①定义:
设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的 叫作异面直线a与b所成的角（或夹角）.
②范围:
.
（3）定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 .
4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言
符号语言
公共点
直线与
平面
相交
a∩α=A
个
平行
a∥α
个
在平
面内
a⊂α
个
平面与
平面
平行
α∥β
个
相交
α∩β=l
个
常用结论
1.唯一性定理
（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
（2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
（3）过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
（4）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
2.异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.
题组一 常识题
1.[教材改编]给出下列命题:
①空间中不同的三点确定一个平面;②空间中两两相交的三条直线确定一个平面;③若两个圆交于两点,则这两个圆确定一个平面;④一条直线与两条平行直线都相交,则这三条直线确定一个平面.其中真命题的序号是 .
2.[教材改编]已知直线a与b平行,直线c与b相交,则直线a与c的位置关系是 .
3.[教材改编]一条直线l上有三个相异的点A,B,C到平面α的距离相等,那么直线l与平面α的位置关系是 .
4.[教材改编]三个不同的平面可能把空间分成 部分（写出所有可能的情况）.
图7-42-1
5.[教材改编]如图7-42-1,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则
（1）当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH为菱形;
（2）当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH为正方形.
题组二 常错题
◆索引:
对异面直线的概念理解有误;判断直线与平面的位置关系时,忽视“直线在面内”;对平面的性质掌握不熟,应用不灵活;用平行移动法求异面直线所成的角致误（如角的范围）.
6.下列关于异面直线的说法正确的是 .（填序号）
①若a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;
②若a与b异面,b与c异面,则a与c异面;
③若a,b不同在平面α内,则a与b异面;
④若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面.
7.若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是 .
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有 条.
图7-42-2
9.如图7-42-2所示,已知在长方体ABCD-EFGH中,AB=2
AD=2
AE=2,则BC和EG所成角的大小是 ,AE和BG所成角的大小是 .
探究点一 平面的基本性质
例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列说法是否正确,并说明理由.
（1）直线AC1在平面CC1B1B内;
（2）设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O,O1,则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1;
（3）由点A,O,C可以确定一个平面;
（4）由A,C1,B1确定的平面是ADC1B1;
（5）设直线l是平面ABCD内的直线,直线m是平面DD1C1C内的直线,若l与m相交,则交点一定在直线CD上.
[总结反思]
（1）三个公理是立体几何的基础.公理1是确定直线在平面内的依据;公理2是利用点或直线确定平面的依据;公理3是确定两个平面有一条交线的依据,同时也是证明多点共线、多线共点的依据.
（2）要证明点共线或线共点的问题,关键是转化为证明点在直线上,也就是利用公理3,证明点在两个平面的交线上,或者选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在该直线上.
变式题如图7-42-3所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:
（1）E,C,D1,F四点共面;
（2）CE,D1F,DA三线共点.
图7-42-3
探究点二 空间两条直线的位置关系
例2
（1）下列结论正确的是（ ）
①在空间中,若两条直线不相交,则它们一定平行;
②平行于同一条直线的两条直线平行;
③一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么它也和另一条相交;
④空间中四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥c.
A.①②③B.②④
C.③④D.②③
（2）已知α是一个平面,m,n是两条不同的直线,A是一个点,若m⊄α,n⊂α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是（ ）
A.垂直B.相交
C.异面D.平行
[总结反思]
（1）要判断空间中两条直线的位置关系（平行、相交、异面）,可利用定义及公理4,借助空间想象并充分利用图形进行判断.
（2）判断空间直线的位置关系一般有两种方法:
一是构造几何体（如正方体、空间四边形等）模型来判断;二是利用排除法.
（3）异面直线的判定方法:
①反证法:
先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.②定理:
平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.
变式题如图7-42-4,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=2ED,CF=2FA,则EF与BD1的位置关系是（ ）
图7-42-4
A.相交但不垂直
B.相交且垂直
C.异面
D.平行
（2）已知平面α和直线a,b,下列说法正确的是（ ）
A.若直线a,b与平面α所成的角都是30°,则这两条直线平行
B.若直线a,b与平面α所成的角都是30°,则这两条直线不可能垂直
C.若直线a,b平行,则这两条直线中至少有一条与平面α平行
D.若直线a,b垂直,则这两条直线与平面α不可能都垂直
探究点三 异面直线所成的角
例3
（1）[2018·全国卷Ⅱ]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=
则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
（2）[2018·东莞一模]如图7-42-5,圆锥的底面直径AB=2,高OC=
∠AOD=120°,则空间中两条直线AD与BC所成的角为（ ）
图7-42-5
A.30°B.60°
C.75°D.90°
[总结反思]求异面直线所成角的一般步骤如下:
①找（或作）——平移两条直线中的一条或两条,到一个平面中,找出适合题意的角;
②求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角;
③结论——设由②求出的角的大小为θ,若0°<θ≤90°,则θ即为所求,若90°<θ<180°,则180°-θ即为所求.
变式题
（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为（ ）
A.
B.
C.
D.
（2）某几何体的三视图如图7-42-6所示,设该几何体中最长棱所在的直线为m,与直线m不相交的其中一条棱所在直线为n,则直线m与n所成的角为 .
图7-42-6
探究点四 正方体中的位置关系
微点1 正方体有关的截面问题
例4
（1）用一个平面去截正方体,则截面不可能是（ ）
A.直角三角形B.等边三角形
C.正方形D.正六边形
（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别为棱DD1,D1A1,A1B1的中点（如图7-42-7）,用过点M,N,P的平面截去该正方体的顶点C1所在的部分,则剩余几何体的正视图为（ ）
图7-42-7
A B C D
图7-42-8
[总结反思]
（1）作截面应遵循的三个原则:
①在同一平面上的两点可引直线;②凡是相交的直线都要画出它们的交点;③凡是相交的平面都要画出它们的交线.
（2）作交线的方法有如下两种:
①利用公理3作交线;②利用线面平行及面面平行的性质定理,去寻找线面平行及面面平行关系,然后根据性质作出交线.
微点2 正方体中的几何体问题
例5
（1）[2018·南昌4月调研]某几何体的三视图如图7-42-9所示,则该几何体的体积为（ ）
图7-42-9
A.
B.
C.2D.
（2）如图7-42-10,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,且PA=AC=BC=a,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积等于 .
图7-42-10
[总结反思]立体几何中许多概念、定理都可以用正方体的点、线、面的关系说明.构造正方体模型,依据题中几何体的特点,把线面关系问题转化到正方体中解决,是一种常用且有效的解题方法.
微点3 正方体中的角度问题
例6
（1）如图7-42-11,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC,BB1的中点,则异面直线MN与AD1所成角的大小为（ ）
A.30°B.45°
C.60°D.90°
图7-42-11
图7-42-12
（2）[2018·茂名一模]如图7-42-12所示为一正方体的平面展开图,在这个正方体中,有下列四个命题:
①AF⊥GC;
②BD与GC是异面直线且夹角为60°;
③BD∥MN;
④BG与平面ABCD所成的角为45°.
其中正确的个数是（ ）
A.1B.2C.3D.4
[总结反思]求解正方体中有关元素间的夹角,可以利用正方体中线面的位置关系,确定所求的角,再应用解三角形的知识加以解决.
应用演练
1.【微点3】如图7-42-13,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,CC1的中点,P为AD上一动点,记α为异面直线PM与D1N所成的角,则α的取值集合是（ ）
图7-42-13
A.
B.
C.
D.
2.【微点2】[2018·衡水中学模拟]正四面体A-BCD的所有棱长均为12,球O是其外接球,M,N分别是△ABC与△ACD的重心,则球O截直线MN所得的弦长为（ ）
A.4B.6
C.4
D.
3.【微点2】[2018·北京东城区期末]某三棱锥的三视图如图7-42-14所示,该三棱锥的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
图7-42-14
4.【微点1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点,则E,C,D1,F四点组成的四边形是 .
5.【微点3】如图7-42-15所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是 .
图7-42-15
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