线性代数习题导航行列式docx.docx
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第一章行列式
§1行列式的概念
1.填空
（1）排列6427531的逆序数为15,该排列为奇排列。
（2）i=8,j=3时,排列1274/56丿‘9为偶排列。
（3）〃阶行列式由空项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的
Q个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个斤元排列。
若该排列为奇排列，则该项的符号为负号:
若为偶排列，该项的符号为正号。
（4）在6阶行列式中，含45。
23。
32知。
5“66的项的符号为十，含色2他3如的的项的符号为（-1）曲23⑹
2.用行列式的定义计算下列行列式的值
au00
（1）0a22a23
°如。
33
解：
该行列式的引项展开式中，有2项不为零,它们分别为（-1）33匕禺22色3
（-1）WQ]，
所以行列式的值为。
11。
22°33一。
11。
23。
32°
0
0…
0
0
0…
一1
a2n
⑵
•
■
■
•
■
■
■
■
■
•
■
•
0
…
an2…
an.n-\
%
解：
该行列式展开式中唯一不可能为0的项是％虫2“一心”_2一5,而它的逆序数是
川（/?
一1）
故行列式值为_（-1）2绚/2“-「.・勺1。
3.证明：
在全部〃元排列中，奇排列数与偶排列数相等。
11
证明：
。
0=..
••
••
11
:
=L（一1）L（T）=
Ad…人
1
k+（-/）,其中k为偶排列数、其中/为奇排列数。
4.若一个斤阶行列式屮等于0的元素个数比n-n多，则此行列式为0,为什么？
解由于0元个数比H2-/?
多，故从行列式中任选n个元素出来，必有一个为零。
又D二工（—1严"…泸2丿2…仙”二E（一1）"肚小0二0
jJ…人人】2…人
5./?
阶行列式中，若负项的个数为偶数，则77至少为多少？
（提示：
利用3题的结果）
nJ川
解：
斤阶行列式中负项的个数为一，负项的个数为偶数，则斤至少满足—>2
22
则n=4
6.利用对角线法则计算下列三阶行列式
2
0
1
（1）
1
-4
-1
-1
8
3
=2x（-4）x3+0x（-l）x+lxlx8
-lx（-4）x（-l）-1x0x3-2x（-l）x8
=-4
1.
§2行列式的性质
-ab
ac
ae
-bce
-1
11
⑶
bd
-cd
de
adf
b-ce
=abedef
1
-11
bf
-ef
bc-e
1
+1-1
2
1
4
1
2
1
4
1
3
-1
2
1
5
0
6
2
1
2
3
2
1
2
3
2
5
0
6
2
5
0
6
2
利用行列式的性质计算系列行列式。
第3行与第4行相同。
2.证明下列恒等式
ax+byay+bzaz+bx
xyz
（1）D=
ay+bzaz+bxax+by
=3+戾）
yzx
az+hxax+byay+bz
zxy
（提示：
将行列式按第一列分解为两个行列式Z和，再利用性质证明）
ax
az
by
bz
bx
D分第一行
ay+bz
J
az+bx
ax+by
4-
ay+bz
az+bx
ax+by
az+bx
ax+by
ay+bz
az+bx
ax+by
ay+bz
axayaz
byhzhx
记D\=
ay+bzaz+hxax+by
d2=
ay+hzaz+hxax+by
az+bxax+byay+bz
az+bxajc+byay+bz
兀y
z
X
y
z
Dx—a
ax+bzaz+bx
ax+by
E-b"
a2
ax+bz
az+bx
ax+by
az+bxax+by
ay+bz
az
ax
X
y
z
X
y
z
X
y
z
a2
ax+bz
az^bx
ax+by
r2~br3
7
cr
ay
az
ax
=a3
y
z
X
z
X
y
z
X
y
z
X
y
xy
同理可得=b3yz
ZX
ax
ay
az
by
bz
bx
注D*
ay
az
ax
+
bz
bx
by
az
ax
ay
bx
by
bz
-般情况不能同时拆几行
原式
。
3，。
4成比例为0
0
-1
X
0…
—]♦♦•
0
0
0
0
⑶
•
•
•
■
■
■
■
■
■
•
•
•
•
=x"+axxn^十••+an_xx+a
0
0
0…
X
-1
an
Cln-1
an-2…
a2
（提示：
从最后一列起，后列的无倍加到前一列）
3.已知四阶行列式D的第三行元素分别为：
-L0.2.4；第四行元素的对应的余
子式依次是2,10,a,4,求Q的值。
解第四行线数余子
人|二（-1）4+1x2=-2A42二（-l）4+2xl0二10
^43=（-l）4+3X6T=-6ZA44=（-1）4+4x4=4
•••（-l）x（-2）+0x10+2x（-Q）+4x4=0
1
1
3
6
5
2
2
7
4
3
己知1365,2743,4056,6695,5356能被13整除，证明：
3
4
0
5
6
能
4
6
6
9
5
5
5
3
5
6
得a=9
4.
被13整除。
（提示：
注意观察行列式屮第2,3,4,5列元素的特点）
1
1365
3
6
5
2
2743
7
4
3
注意
D丰
3
4095
0
5
6
4
6695
6
9
5
5
5356
3
5
6
1
2
3
45
2
2
2
11
5.已知D5—
3
1
2
45
二
27,
1
1
1
22
4
3
1
50
求:
（1）3人2++2&2+Ap+；
（2）A41+A42+A43和+A45o
（提示：
利用行列式按行（列）展开的性质计算）
（]）3A]2+2A22+2A32+A42+A52=。
13£2+。
23人22+。
33人32+。
43人42+。
53人52
=0（第3列的元与乘以第2列的代数余子式）
（2）A4I+A42+A43+2A44+2A45=27（行列式展第四行展开）
2A4I+2A42+2A43+Ag+A45=0（笫二行元与乘以笫四行的代数余子式）
有An+A42+人43=_9
行列式展开式中含x4项，所以/（x）=0有四个根。
第一二两行相同（）故X=Q是/（X）=0的解
同理可知x=hx=c是/（x）=0的根
x+c+b+c
a
b
c
1
a
b
c
兀+a+b+c
X
b
c
1
X
b
c
又
fM=
x+a+b+c
b
X
c
=（q+/?
+c+兀）
1
b
X
c
兀+a+/?
+c
b
c
X
1
b
c
X
故当X——{ci+/?
+c）时有f（x）=0＞从而x=—（d+/?
+c）为方程的根
x+c+b+cx+a+b+c
a
X
bc
bc
1
1
法二：
/（x）=
=（a+Z?
+c+x）
x+a+b+c
b
Xc
1
x+a+b+c
b
CX
1
abc
xbc
hxc
bcx
1
1
C2-aC},C3-bC、,C4一cC}（q+方+c+兀）
1
=（a+b+c+兀）（x-g）（兀一b）（兀一c）
即/（x）=（d+b+c+x）（兀一d）（x-b）（x—c）,所以/（兀）根为
x=-（a+bc\x=a,x=b.x=c.
§3行列式的计算
I-利用三角行列式的结果计算下列〃阶行列式
3111
6666
1111
1311
4
1311
1311
斤+〉D
=6
1131
i=2
1131
1131
1113
1113
1113
注意各行（列）元素之和相等）
D=
1
1
解：
按笫一列展开
X
0
■
■
■
yX
■
■
■
0
y
■
■
■
…0
…0
■
■
■
0
0
•
•
■
=（-1）叭
X
0
■
■
■
y
X
■
■
■
0…y•••
■
■
■
0
0
■
■
•
0
0
■
■
■
0
0
0
…X
y
0
0
0…
X
y
0
0
…0
0
0
0…
0
X
0
0
0
0
y
（上三角行列式）
（下三角行列式）
”一1
=xn-yn
⑶Dn=
1…1
1+…1
••
••
••
1…1+Q”
（提示：
可考虑第一行的-1倍加到各行，再化为三角行列式）
1+a〕1
—Q[Cl^
••
••
••
-ax0
1
0（箭形行列式）
an
"a
=（1+Q]+V—L）a^…a”
2.用迭代法计算下列行列式
2
1
1
2
0
1
0
0…
0
0
0
0
0
0
⑴Dn=
■
■
■
■
■
•
■
■
■
■
■
■
•
•
•
■
■
■
•
•
•
0
0
0
0…
1
2
1
0
0
0
0…
0
1
2
解：
按第一行（列）展开，得递推公式：
Dn=—2$三。
于是
Dn~J-Dn-\=Dn-\
~J-Dn_2=-=D2-J_D}=_1
由此得：
Dn=Dn_}+（―0一2）
=^—几2+（-2。
一3）二…
=（n・l）D2+[（-l）（n-2）4_
n+l
a+b
ab
0…0
0
0
1
a+b
ab…0
0
0
⑵
Dfi=
0
■
■
■
1
•
■
■
a+b…0
••
••
••
0
•
■
■
0
■
■
■
o
0
0
0…1
a+b
ab
0
0
0…0
1
a+b
解：
按笫一行展开，有递推公式=
（a+b）
人+-
（-ab}
Dn9,得递推
D2
公式:
£）i=（a+b）
同理可得：
Dn-bDn^=an
3.
利用范德蒙行列式的结果计算下列行列式
a-1
1
（aH0丄2,…少）
a-n
1
利用范德蒙行列式的结果计算行列式）
1
6Z-1
a-n
a”
（d_l）〃
…（a-n）n
■
■
（tz-ir1
…（a_旷
■
s-i）3
…（6Z-71）3
1
i
…1
/
（—1）2
…（a-n）2
a
（d—1）
…（a-n）
（步
（a—l）“…（a-n）"
（a-l）z…
（a-l）2…（a-n）2
a-1…（a-n）
11••-1
aa-\
•••
a-n
交换斤-1次将笫〃行变至第2行
an（a-l）nan~l（a-1）"
•
•
.…（a_n/
•
a2（a-1）2
…（a-n）2
1
1…
1
a
Cl~\…
（a-n）
（_l）〃（_I）I...（_l）2x（_l）
a2
•
•
（d-1）2
•
•
（a_
范徳蒙行列式
•
a"
•
（Q—1）"…
（a-n）n
=（-ni（mi
20n（D
2（）
[（—71）5—1）…（—1）]X[―⑺—1）…（一1）]…[（-2）（-1）]X[（-1）]
I咛S）驾%宀…2!
訥斤一1）…2!
心2
…卅
b：
⑵D”+i=
a；
■
■
■
吩%2
■
■
■
a异比
■
■
■
…a2b^
■
■
■
b；
■
■
■
（a.丰0）
Oil
…d“+】b;;:
解：
在i行中提出彳因子,
n+1
=iiain
i=\
4.
构造辅助行列式法计算下列行列式
1
1
11
1
a
b
cd
X
a1
h2
c2d2
X1
a3
戾
c3卅
X3
a4
c4d4
X4
而
D
x-a）（x-b）[x-c）（一（a+〃+c+d）（b一a）（c—a）（d—a）（c一b）（d一b）（d—c）
故（—1）"+'D=—（a+/?
+c+d）（b—a）（c—ci）（d—a）（c—b）（d—b）（d—c）
故D=（d+b+c+d）（b一a）（c-a）（d一d）（c—b）（d一b）（d-c）
n
n
解：
构造辅助行列式Q
则Dn
D,
而"
1+d|
2
1+Q]
2
1
2+a2
1
-1
-2
（箭形行列式）
-n
1
c\+z—ci匸2®i
r"八
i+£：
Ha
I/=!
W丿/=i
/：
Dn=
2+a2
i=2,・・・n
1+Q]
_2d|
（箭形行列式）
一叫
l+d|+Y—
/=2©
0
COS&
1
0…
0
0
1
2cos&
1…
0
0
0
1
2cos&…
0
0
•••
0
•••
0
•••
0…
•••
2cos&
•••
1
0
0
0…
1
2cos&
（1）n
=1时，
等式显然成立;
•5
cosn0
假定等式对于小于n阶的行列式成立;
（2）
证明:
D产
0S&
1
0…
0
0
1
2cos6^
1…
0
0
0
1
2cos&…
0
0
•••
0
•••
0
•••
0…
•••
2cos&
•••
0
0
0
0…
1
1
//-l
COS0
1
0•…
0
0
1
2cos&
1…
0
0
0
1
2cos&…
0
0
•••
0
•••
0
•••
0•…
•••
2cos&
•••
1
0
0
0•…
1
2cos&
+（—1严2cos&
刃一1
9=（—1严
=2cos&cos⑺一1）&一cos（n一2）0=cosnO
所以,
cosnO
‘（刃一1）Q+XH0，求Anl+A“2+…+九
（提示：
将所有行加到最后一行）
/=2
x-a
"一1
Dnb+
/=1
a
=[x+（/?
一1）6/1:
Cl
1
[x+（n-l）d]（A〃|+A”？
+…+
故[x+（〃一l）a]（A“]+A”？
+•••+A,"=[x+（〃_1）q]（x_q）"T
=＞亀十…饥=（兀-d）“
§3克来姆（Cramer）法则
1.用克來姆法则解下列方程组
2xt-x2-x3=4
（1）<3兀］+4%-2x3=11
3x,-2x2+4无3=11
解系数行列式
2-14
£>3=3411=60
3-211
Xj+3兀2十兀3=0
（2）<2xl+5x2=0
xt-x2=0
2
-1
-1
2
-1
-1
2
-1
-1
D=
3
4
-2k-
3
4
-2
=6
3
4
-2
3
-2
4
0
-6
6
0
-1
1
2
-1
-2
=6（-1）x（-1严
2-2
c3+c26
3
4
2
32
=60
0
-I
0
=伙_2）伙_1）_6=比2_3—4=伙_4）仗+1）
当D=0即比二4或比二一1时方程组有非零解
当D/0即且比工一1时方程组仅有零解
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