线性代数习题导航行列式docx.docx

1、线性代数习题导航行列式docx第一章行列式1行列式的概念1.填空(1)排列6427531的逆序数为 15 ,该排列为 奇 排列。(2)i = 8 , j = 3时,排列1274/56丿9为偶排列。(3)阶行列式由空项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的Q个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构 成一个斤元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为负号:若为偶排 列，该项的符号为 正号。(4)在6阶行列式中， 含45。23。32知。5“66的项的符号为 十 ，含 色2他3如的的项的符号为(-1)曲232.用行列式的定义计算下列行列式的值au 0 0(1) 0

2、 a22 a23 如。33解：该行列式的引项展开式中，有 2 项不为零,它们分别为(-1)33匕禺22色3(-1) W Q ，所以行列式的值为。11。2233 一。11。23。32 00 000 一 1a2n0an2 an.n-%解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是虫2“一心”_2一5,而它的逆序数是川(/?一1)故行列式值为_(-1) 2绚/2“-.勺1。3.证明：在全部元排列中，奇排列数与偶排列数相等。1 1证明：。0=. 1 1:=L(一1) L(T) =Ad人1k + （-/）,其中k为偶排列数、其中/为奇排列数。4.若一个斤阶行列式屮等于0的元素个数比n - n多，则此行列式为0

3、,为什么？解 由于0元个数比H2-/?多，故从行列式中任选n个元素出来，必有一个为零。 又D二工（1严泸2丿2仙”二E （一1）肚小0二0j J人 人】2人5./?阶行列式中，若负项的个数为偶数，则77至少为多少？（提示：利用3题的结果）nJ 川解：斤阶行列式中负项的个数为一，负项的个数为偶数，则斤至少满足22 2则n = 46.利用对角线法则计算下列三阶行列式201(1)1-4-1-183= 2x(-4)x3 + 0x(-l)x+lxlx8-lx(-4)x(-l)-1x0x3-2x(-l)x8=-41.2行列式的性质-abacae-b c e-11 1bd-cddeadfb -c e=abe

4、def1-1 1bf-efb c -e1+ 1 -1214121413-12150621232123250625062利用行列式的性质计算系列行列式。第3行与第4行相同。2.证明下列恒等式ax + by ay + bz az + bxx y z(1) D =ay + bz az + bx ax + by=3+戾)y z xaz + hx ax + by ay + bzz x y（提示：将行列式按第一列分解为两个行列式Z和，再利用性质证明）axazbybzbxD分第一行ay + bzJaz + bxax + by4-ay + bzaz + bxax + byaz + bxax + byay +

5、bzaz + bxax + byay + bzax ay azby hz hx记D =ay + bz az + hx ax + byd2 =ay + hz az + hx ax + byaz + bx ax + by ay + bzaz + bx ajc + by ay + bz兀 yzXyzDx aax + bz az + bxax + byE-ba2ax + bzaz + bxax + byaz + bx ax + byay + bzazaxXyzXyzXyza2ax + bzazbxax + byr2br37crayazax=a3yzXzXyzXyzXyx y同理可得=b3 y zZ X

6、axayazbybzbx注 D*ayazax+bzbxbyazaxaybxbybz-般情况不能同时拆几行原式。3，。4成比例为00-1X0 0000=x + axxn 十 + an_xx + a000 X-1anCln-1an-2 a2（提示：从最后一列起，后列的无倍加到前一列）3.已知四阶行列式D的第三行元素分别为：-L0.2.4；第四行元素的对应的余子式依次是2, 10, a , 4,求Q的值。解第四行线数余子人| 二(-1)4+1x2 = -2 A42 二(-l)4+2xl0二 1043 =(-l)4+3X6T = -6Z A44 =(-1)4+4x4 = 4 (-l)x (-2) +

7、0 x 10 + 2 x (-Q)+ 4x4 = 01136522743己知 1365, 2743, 4056, 6695, 5356 能被 13 整除，证明：34056能4669555356得a = 94.被13整除。（提示：注意观察行列式屮第2, 3, 4, 5列元素的特点）1136536522743743注意D丰3409505646695695553563561234 52221 15.已知D5 3124 5二27,1112 24315 0求:(1) 3人2 + + 2&2 + Ap + ；(2) A41 + A42 + A43 和 + A45 o(提示：利用行列式按行(列)展开的性质计

8、算)()3A2 + 2A22 + 2A32 + A42 + A52 =。132 +。23人22 +。33人32 +。43人42 +。53人52=0 (第3列的元与乘以第2列的代数余子式)(2) A4I + A42 + A43 + 2A44 + 2A45 = 27 (行列式展第四行展开)2A4I + 2A42 + 2A43 + Ag + A45 = 0 (笫二行元与乘以笫四行的代数余子式)有 An + A42 + 人43 = _9行列式展开式中含x4项，所以/(x) = 0有四个根。第一二两行相同()故X = Q是/(X)= 0的解同理可知x = h x = c是/(x) = 0的根x + c

9、+ b + cabc1abc兀 + a + b + cXbc1Xbc又fM =x+a+b+cbXc=(q + /? + c +兀)1bXc兀 + a + /? + cbcX1bcX故当X ci + /? + c)时有f (x) = 0 从而x = (d + /? + c)为方程的根x+c+b+c x+a+b+caXb cb c11法二：/(x)=(a + Z? + c + x)x+a+b+cbX c1x+a+b+cbC X1a b cx b ch x cb c x11C2 - aC, C3 - bC、, C4 一 cC (q + 方 + c + 兀)1=(a + b + c +兀)(x-g)(

10、兀一b)(兀 一 c)即 /(x) = (d + b + c + x)(兀一d)(x-b)(x c),所以 /(兀)根为x = -(a + b cx = a,x = b.x = c.3行列式的计算I-利用三角行列式的结果计算下列阶行列式3 1116 6 6 6111113 11413 1113 11斤+D=6113 1i=2113 1113 1111311131113注意各行（列）元素之和相等）D =11解：按笫一列展开X0y X0y 0 000=(-1)叭X0yX0 y 0000000 Xy000Xy0000000X0000y（上三角行列式）（下三角行列式）”一1=xn - ynDn =1

11、11 + 1 1 1 + Q”（提示：可考虑第一行的-1倍加到各行，再化为三角行列式）1 + a 1Q Cl -ax 010 （箭形行列式）ana=（1 + Q + V L）a a”2.用迭代法计算下列行列式21120100000000Dn =00001210000012解：按第一行（列）展开，得递推公式：Dn=2 $三。于是Dn J- Dn- = Dn-J-Dn_2=-=D2-J_D = _1由此得：Dn = Dn_ + （0一2）=几2 +(-2。一3)二=(nl) D2 + (- l)(n- 2)4 _n+la + bab0 0001a + bab 000Dfi =01a + b 0 0

12、0o000 1a + bab000 01a+b解：按笫一行展开，有递推公式=(a+b)人+-(-abDn 9,得递推D2公式:)i =(a + b)同理可得：Dn-bDn = an3.利用范德蒙行列式的结果计算下列行列式a-11,(a H0丄2,少)a-n1利用范德蒙行列式的结果计算行列式）16Z-1a-na”(d_l)(a - n)n(tz-ir1（a_旷s-i)3 (6Z-71)31i 1/(1)2(a-n)2a(d 1) (a-n)（步(a l)“ (a-n)(a-l)z (a-l)2 (a-n)2a-1 (a - n)11 - 1a a- a-n交换斤-1次将笫行变至第2行an (a-

13、l)n anl (a-1). (a _ n/a2 (a -1)2 (a-n)211 1aCl (a- n)(_l)(_I)I.(_l)2x(_l)a2(d-1)2(a _范徳蒙行列式a(Q 1)(a-n)n=(-n i(mi2 0z jnn(D2 ()/ js(71)5 1)(1) X 1)(一 1)(-2)(-1) X (-1)I咛S)驾%宀2!訥斤一1)2!心2卅b： D”+i =a；吩%2a异比a2bb；,(a.丰 0)Oild“+】b;:解：在i行中提出彳因子,n+1=iiai ni=4.构造辅助行列式法计算下列行列式111 11abc dXa1h2c2 d2X1a3戾c3卅X3a4c

14、4 d4X4而Dx-a)(x-b)x-c)(x-c/)(b-aXc-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)一(a + + c + d)(b 一 a)(c a)(d a)(c 一 b)(d 一 b)(d c)故(1)+ D = (a + /? + c + d)(b a)(c ci)(d a)(c b)(d b)(d c)故 D = (d + b + c + d)(b 一 a)(c - a)(d 一 d)(c b)(d 一 b)(d - c)nn解：构造辅助行列式Q则DnD,而1 +d|21 + Q212 +a21-1-2（箭形行列式）-n1c +zci 匸2 ir 八i+： HaI /=!

15、 W 丿 /=i/：Dn =2+ a2i = 2,n1 + Q_2d|（箭形行列式）一叫l+ d| + Y /=2 0COS&10 0012cos&1 00012cos& 00 0 0 0 2cos& 1000 12cos&(1) n=1时，等式显然成立; 5cos n0假定等式对于小于n阶的行列式成立;(2)证明:D产0S&10 0012 cos 61 00012cos& 00 0 0 0 2cos& 0000 11/-lCOS010 0012cos&1 00012cos& 00 0 0 0 2cos& 1000 12cos&+(1严 2cos&刃一19=(1严=2 cos & cos 一

16、1)&一 cos(n 一 2)0 =cos nO所以,cos nO(刃 一 1)Q + X H 0，求 Anl + A“2 + + 九（提示：将所有行加到最后一行）/=2x-a一 1Dn b +/=1a=x + (/? 一 1)6/1:Cl1x + (n- l)d(A| + A”？ + +故x + ( 一 l)a(A“ + A”？ + +A, = x + (_1)q(x_q)T=亀十饥=（兀-d）“3克来姆(Cramer)法则1.用克來姆法则解下列方程组2xt -x2-x3 =4(1) 3 = 3 4 11 = 603-2 11Xj + 3兀2十兀3 = 0(2) 2xl + 5x2 = 0xt-x2 =02-1-12-1-12-1-1D =34-2 k-34-2=634-23-240-660-112-1-2=6(- 1)x(-1 严2 -2c3+c263423 2=600-I0=伙_2)伙_1)_6 =比2 _34 =伙_4)仗 + 1)当D = 0即 比二4或比二一1时方程组有非零解当D/0即且比工一1时方程组仅有零解