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《小学数学教师的学科专业知识及其拓展》讲稿

第一部分：

培训内容

一、

（1）帮助教师们系统地掌握小学数学知识体系及其结构，包括能够解答教科书（如人教版12册）所有的练习题和复习题。

受学校安排功课等影响，不是每个人都能做到，但从实际出发，也没有必要每个人都要掌握，常常我们见到一些老师在固定的年级教得特别好，就不动了，这就在这个位置上把这个老师用死了。

（2）帮助教师们正确理解小学数学知识中容易误解的数学概念与有关知识，使他们的小学数学知识得到横向拓展。

（3）立足于教学的需要，帮助教师们开阔知识视野，使他们的小学数学知识得到一定的纵向延伸。

A、学会质疑：

如按角分三角形的定义。

有三个角是锐角的三角形叫锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。

教学中我们发现应按最大的角来定义就行了。

简单明了抓住本质。

有人说小学数学老师不需要太多的知识，但是……

例如一些数学史知识。

如数学王子高斯巧算1+2+…+100的故事；哥德巴赫猜想；祖冲之与圆周率等等。

特别是，市场经济要求人们掌握更多有用的数学，成本、利润、投入、产出、货款、效益、市场预测、风险评估等一系列经济名词将成为人们社会生活中使用最为频繁的词汇，与这一系列经济活动相关的数学，如估算、比和比例、利息与利率、运筹与优化以及统计与概率等，理应成为数学课程中的组成部分，要求教师要有所掌握。

二、关于小学数学教师的学科专业知识及其拓展的认识

1、小学教师的知识结构：

教育知识、学科知识、学科教学知识三大部分。

教育知识包括教育学、心理学、学生思想工作（班主任）等方面的知识。

它是教师在职前教育学习和平时工作实践学习积累而成的；

学科知识是指本学科专业知识，包括了本学科知识体系及其思想方法，也是教师的学科专业功底涵养所在。

它主要来源于教师的在接受教育期间学习和职前教学学习打下基础，以及平时教学实践学习的充实提高；

学科教学知识体现了教师的专业独特性,是本专业教学实践性的知识。

从数学专业的角度看，数学家不一定具有这种知识；从教学经验来看，高中语文教师也不具有小学数学教学的这种知识。

这是教师将特定的学科知识与学生思维、学习特点等教学法的知识融合起来而形成的教学实践性知识。

2、小学数学教师的学科专业知识

我们在林崇德（北京师范大学教授，博士生导师）和申继亮（申继亮教授现任北师大心理学院党委书记、教育部人文社科重点研究基地发展心理研究所所长，中国心理学会常务理事、中国心理学会教育心理专业委员会主任，博士生导师）关于教师知识结构划分的基础上，结合新课程改革的发展及数学学科的特点，把数学教师的知识结构分为“教什么”的本体性知识，“如何教”的条件性知识和在教育教学实践中大量积累起来的实践性知识三个主要方面：

（1）本体性知识，即学科专业知识。

小学数学教师应具有的学科知识是特定的数学知识，主要包括教学所需要的数学理论知识、数学应用性知识、数学思想方法知识和数学史知识。

（2）条件性知识，指个体在何种条件下，为什么传授数学知识以及如何更好地传授数学知识的一种知识类型，主要包括教育学和心理学的知识，其中教育学知识包括教育理论知识、教育技术知识、数学课程知识、数学教学知识；心理学知识包括教师心理知识和学生心理知识，教师心理知识又分为教学监控知识教学效能感、教学风格知识、教师品德知识；学生心理知识又分为数学认知的知识、数学学习的元认知知识、数学学习的非认知知识、学习风格知识。

（3）实践性知识，指关于数学课堂情景及与之相关的知识，主要包括数学课堂教学管理知识和教材处理知识。

教师要在自己的教学工作中不断增长自己的学科知识，也包括对已有知识的不断改进或必要重组。

从另一角度说，数学学科知识主要包括：

知识的内涵及多重表示、知识的发生和发展过程、知识之间的联系、知识所蕴含的数学思想和思维方式。

小学数学教师要具有丰厚的数学知识、扎实的数学技能和成熟的数学思想。

（小学数学思想方法有哪些？

）

一、什么是小学数学思想方法

所谓的数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中普遍的规律，它直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性认识。

所谓的数学方法，就是解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略。

数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。

而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段。

一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。

但由于小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。

如常用的分类思想和分类方法，集合思想和交集方法，在本质上都是相通的，所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。

二、小学数学思想方法有哪些？

1、对应思想方法

对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。

如直线上的点（数轴）与表示具体的数是一一对应。

高年级中对应更多地用在具体量对应分率。

列正比例路程比时间对应路程比时间等。

2、假设思想方法

假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。

假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。

※这次一年级期考的将1-9这9个数字填在均分为9格的正方形中，使横、竖、斜相加都得15，难倒不少老师。

解决此问题就要用到假设法。

※龟兔同笼间题就是要用到假设的思想。

3、比较思想方法

比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。

在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。

王亚姨买水果，花了36元买了2斤苹果和3斤葡萄，如果买3斤苹果和2斤葡萄只要30元，苹果和葡萄的单价各是多少？

比较：

得出一斤葡萄比一斤苹果多6元。

4、符号化思想方法

用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学内容，这就是符号思想。

如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。

如定律、公式、等。

5、类比思想方法

类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。

如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积、梯形的面积公式都可以四合一：

（a+b）×h÷2，见小学数学课本五年级上册第97页。

类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。

6、转化思想方法

转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。

如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。

一项工程，甲乙两队合做要12天完成，现在甲队独做18天，余下的由乙队接着做8天正好完成，如果全工程由甲队独做，要多少天完成？

把“甲队独做18天，余下的由乙队接着做8天正好完成”转化为“甲乙合作8天，甲队接着做10天就完成了”这一已知条件，就可以解决问题了。

7、分类思想方法

分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。

如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数；按约数的个数分质数和合数。

又如三角形可以按边分，也可以按角分。

不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。

对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。

8、集合思想方法

集合思想就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。

小学采用直观手段，利用图形和实物渗透集合思想。

在讲述公约数和公倍数时采用了交集的思想方法。

9、数形结合思想方法

数和形是数学研究的两个主要对象，数离不开形，形离不开数，一方面抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化。

另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。

在解应用题中常常借助线段图的直观帮助分析数量关系。

甲的3/4和乙的3/5相等，甲（ ）乙，运用数形结合思想方法指导效果会更好。

10、统计思想方法：

小学数学中的统计图表是一些基本的统计方法，求平均数应用题是体现出数据处理的思想方法。

11、极限思想方法：

事物是从量变到质变的，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。

在讲“圆的面积和周长”时，“化圆为方”“化曲为直”的极限分割思路，在观察有限分割的基础上想象它们的极限状态，这样不仅使学生掌握公式还能从曲与直的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想。

12、等量代换思想方法：

他是方程解法的重要原理，解题时可将某个条件用别的条件进行代换。

如学校买了4张桌子和9把椅子，共用去504元，一张桌子和3把椅子的价钱正好相等，桌子和椅子的单价各是多少？

13、可逆思想方法：

它是逻辑思维中的基本思想，当顺向思维难于解答时，可以从条件或问题思维寻求解题思路的方法，有时可以借线段图逆推。

如一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的1/7，第二小时比第一小时多行了16千米，还有94千米，求甲乙之距。

14、化归思维方法：

把有可能解决的或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类以便解决可较易解决的问题，以求得解决，这就是“化归”。

而数学知识联系紧密，新知识往往是旧知识的引申和扩展。

让学生面对新知会用化归思想方法去思考问题，对独立获得新知能力的提高无疑是有很大帮助。

15、变中抓不变的思想方法：

在纷繁复杂的变化中如何把握数量关系，抓不变的量为突破口，往往问题就迎刃而解。

如：

科技书和文艺书共630本，其中科技书20%，后来又买来一些科技书，这时科技书占30%，又买来科技书多少本？

16、数学模型思想方法：

所谓数学模型思想是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析综合概括等所谓过程，得到简化和假设，它是把生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。

培养学生用数学的眼光认识和处理周围事物或数学问题乃数学的最高境界，也是学生高数学素养所追求的目标。

17、整体思想方法：

对数学问题的观察和分析从宏观和大处着手，整体把握化零为整，往往不失为一种更便捷更省时的方法。

三、小学数学教师的学科专业知识及其拓展

（一）小学数学知识体系中“数与代数”的知识及其拓展 

1、小学数学中的“数的认识及其运算”

数的认识

数的运算

数学思考

一上

20以内数的认识

20以内加减法、进位加法

求和应用题

求差应用题

图示加减两步应用题

一下

100以内数的认识

20以内的退位减法

100以内的加法与减法

图文应用题

表格应用题（在练习中）

加减、比多少应用题

二上

100以内的加法和减法

表内乘法

几个几的乘法应用题

求一个数的几倍的

二下

万以内数的认识

表内除法

整百、整千数加减法

万以内数的加法和减法

（一）

解决问题

三上

分数的初步认识

万以内数的加法和减法

（二）

有余数的除法

多位数乘一位数

分数的简单计算

有余数除法的应用题

巩固两步应用题

三下

小数的初步认识

除数是一位数的除法

两位数乘两位数

简单的小数加减法

巩固除法应用题

连乘应用题

解决问题

四上

大数的认识

三位数乘两位数

除数是两位数的除法

速度问题

四下

小数的意义和性质

四则运算

运算定律

小数的加法和减法

相应的两三步应用题

五上

循环小数

小数乘法

小数除法

解决问题

每一种方程对应一种应用题

五下

因数和倍数

分数的意义和性质

分数的加法和减法

 分数两三步应用题

六上

倒数的认识

百分数

分数乘法

分数除法

解决问题

按比例分配

用百分数解决问题

六下

负数

用比例解决问题

关于数的认识的知识要点：

（1）整数

十进制计数法：

一（个）、十、百、千、万……都叫做计数单位。

其中“一”是计数的基本单位。

10个1是10，10个10是100……每相邻两个计数单位之间的进率都是十。

这种计数方法叫做十进制计数法

整数的读法：

从高位一级一级读，读出级名（亿、万），每级末尾0都不读。

其他数位一个或连续几个0都只读一个“零”。

整数的写法：

从高位一级一级写，哪一位一个单位也没有就写0。

四舍五入法：

求近似数，看要求近似到哪一位数，再看其后一位的数是几，比5小就舍去，是5或大于5舍去尾数向前一位进1。

这种求近似数的方法就叫做四舍五入法。

整数大小的比较：

位数多的数较大，数位相同最高位上数大的就大，最高位相同比看第二位较大就大，以此类推。

（2）小数

小数表示：

把整数1平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几……这些分数可以用小数表示。

如1/10记作0.1,6/100记作0.06。

小数计数：

小数点右边第一位叫十分位，计数单位是十分之一（0.1）；第二位叫百分位，计数单位是百分之一（0.01）……小数部分最大的计数单位是十分之一，没有最小的计数单位。

小数部分有几个数位，就叫做几位小数。

如0.56是两位小数，4.067是三位小数。

数位顺序表：

整数部分

小

数

点

小数部分

…

亿级

万级

个级

数位

…

千亿位

百亿位

十亿位

亿

位

千万位

百万位

十万位

万

位

千位

百位

十位

个

位

·

十分位

百分位

千分位

…

计数单位

…

千亿

百亿

十亿

亿

千万

百万

十万

万

千

百

十

一

（个）

十分之一

百分之一

千分之一

…

小数的读法：

整数部分整数读，小数点读点，小数部分顺序读。

小数的写法：

小数点写在个位右下角。

小数的性质：

小数末尾添0去0大小不变。

化简

小数点位置移动引起大小变化：

右移扩大左缩小，1十2百3千倍。

小数大小比较：

整数部分大就大；整数相同看十分位大就大；以此类推。

（3）分数和百分数

①分数和百分数的意义

分数的意义：

把单位“　1”　平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，叫做分数。

在分数里，表示把单位“　1”　平均分成多少份的数，叫做分数的分母；表示取了多少份的数，叫做分数的分子；其中的一份，叫做分数单位。

百分数的意义：

表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。

也叫百分率或百分比。

百分数通常不写成分数的形式，而用特定的“%”来表示。

百分数一般只表示两个数量关系之间的倍数关系，后面不能带单位名称。

百分数表示两个数量之间的倍比关系，它的后面不能写计量单位。

成数：

几成就是十分之几。

②分数的种类

按照分子、分母和整数部分的不同情况，可以分成：

真分数、假分数、带分数

③分数和除法的关系及分数的基本性质

除法是一种运算，有运算符号；分数是一种数。

因此，一般应叙述为被除数相当于分子，而不能说成被除数就是分子。

由于分数和除法有密切的关系，根据除法中“商不变”的性质可得出分数的基本性质。

分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质，它是约分和通分的依据。

④约分和通分

分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。

把一个分数化成同它相等但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。

约分的方法：

用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。

把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。

通分的方法：

先求出原来几个分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。

⑤倒数

乘积是1的两个数互为倒数。

求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置。

1的倒数是1，0没有倒数。

⑥分数的大小比较

分母相同的分数，分子大的那个分数就大。

分子相同的分数，分母小的那个分数就大。

分母和分子都不同的分数，通常是先通分，转化成通分母的分数，再比较大小。

如果被比较的分数是带分数，先要比较它们的整数部分，整数部分大的那个带分数就大；如果整数部分相同，再比较它们的分数部分，分数部分大的那个带分数就大。

⑦百分数与折数、成数的互化：

例如：

三折就是30％，七五折就是75％，成数就是十分之几，如一成就是10%，则六成五就是65%。

⑧纳税和利息：

税率：

应纳税额与各种收入的比率。

利率：

利息与本金的百分率。

由银行规定按年或按月计算。

利息的计算公式：

利息=本金×利率×时间

⑨百分数与分数的区别主要有以下三点：

意义不同。

百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几的数。

”它只能表示两数之间的倍数关系，不能表示某一具体数量。

如：

可以说1米是5米的20％，不可以说“一段绳子长为20％米。

”因此，百分数后面不能带单位名称。

分数是“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样一份或几份的数”。

分数不仅可以表示两数之间的倍数关系，如：

甲数是3，乙数是4，甲数是乙数的?

；还可以表示一定的数量。

应用范围不同。

百分数在生产、工作和生活中，常用于调查、统计、分析与比较。

而分数常常是在测量、计算中，得不到整数结果时使用。

书写形式不同。

百分数通常不写成分数形式，而采用百分号“％”来表示。

如：

百分之四十五，写作：

45％；百分数的分母固定为100，因此，不论百分数的分子、分母之间有多少个公约数，都不约分；百分数的分子可以是自然数，也可以是小数。

而分数的分子只能是自然数，它的表示形式有：

真分数、假分数、带分数，计算结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数，是假分数的要化成带分数。

（4）数的整除

①整除的意义

整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）

除尽的意义甲数除以乙数，所得的商是整数或有限小数而余数也为0时，我们就说甲数能被乙数除尽，（或者说乙数能除尽甲数）这里的甲数、乙数可以是自然数，也可以是小数（乙数不能为0）。

②约数和倍数

如果数a能被数b整除，a就叫b的倍数，b就叫a的约数。

一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的是它本身，它没有最大的倍数。

③奇数和偶数

能被2整除的数叫偶数。

例如：

0、2、4、6、8、10……注：

0也是偶数2、不能被2整除的数叫奇数。

例如：

1、3、5、7、9……

④整除的特征

能被2整除的数的特征：

个位上是0、2、4、6、8。

能被5整除的数的特征：

个位上是0或5。

能被3整除的数的特征：

一个数的各个数位上的数之和能被3整除，这个数就能被3整除。

⑤质数和合数

在正整数集合里分为质数、合数和1。

一个数只有1和它本身两个约数，这个数叫做质数（素数）。

质数有无穷多个。

一个数除了1和它本身外，还有别的约数，这个数叫做合数。

合数有无穷多个。

1既不是质数，也不是合数。

自然数按约数的个数可分为：

质数、合数

自然数按能否被2整除分为：

奇数、偶数

⑥分解质因数

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。

例如：

18=3×3×2，3和2叫做18的质因数。

把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

通常用短除法来分解质因数。

几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。

其中最大的一个叫这几个数的最大公因数。

公因数只有1的两个数，叫做互质数。

几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。

其中最大的一个叫这几个数的最大公倍数。

特殊情况下几个数的最大公约数和最小公倍数。

（1）如果几个数中，较大数是较小数的倍数，较小数是较大数的约数，则较大数是它们的最小公倍数，较小数是它们的最大公约数。

（2）如果几个数两两互质，则它们的最大公约数是1，小公倍数是这几个数连乘的积。

⑦奇数和偶数的运算性质

相邻两个自然数之和是奇数，之积是偶数。

奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数；

奇数-奇数=偶数，奇数-偶数=奇数，偶数-奇数=奇数，偶数-偶数=偶数；

奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数。

关于数的四则运算的知识要点：

（1）四则运算的法则　　

加法：

整数和小数：

相同数位对齐，从低位加起，满十进一。

同分母分数：

分母不变，分子相加；异分母分数：

先通分，再相加　　

减法：

整数和小数：

相同数位对齐，从低位减起，哪一位不够减，退一当十再减。

同分母分数：

分母不变，分子相减；异分母分数：

先通分，再相减　　

乘法：

整数和小数：

用乘数每一位上的数去乘被乘数，用哪一位上的数去乘，得数的末位就和哪一位对起，最后把积相加，因数是小数的，积的小数位数与两位因数的小数位数相同。

分数：

分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。

能约分的先约分，结果要化简　　

除法：

整数和小数：

除数有几位，先看被除数的前几位，（不够就多看一位），除到被除数的哪一位，商就写到哪一位上。

除数是小数是，先化成整数再除，商中的小数点与被除数的小数点对齐b、甲数除以乙数（0除外），等于甲数除以乙数的倒数　　

（2）运算定律

加法交换律a＋b=b＋a　　

   结合律（a＋b）＋c=a＋（b＋c）　　

减法性质a－b－c=a－（b＋c）　　

      a－（b－c）=a－b＋c　　

乘法交换律a×b=b×a　　

   结合律（a×b）×c=a×（b×c）　　

   分配律（a＋b）×c=a×c＋b×c　　

除法性质  a÷（b×c）=a÷b÷c　　

          a÷（b÷c）=a÷b×c  　　

         （a＋b）÷c=a÷c＋b÷c　　

         （a－b）÷c=a÷c－b÷c

   商不变性质m≠0    a÷b=（a×m）÷（b×m）=（a÷m）÷（b÷m）　　

积的变化规律：

在乘法中，一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）若干倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数。

推广：

一个因数扩大A倍，另一个因数扩大B倍，积扩大AB倍。

一个因数缩小A倍，另一个因数缩小B倍，积缩小AB倍。

商不变规律：

在除法中，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。

推广：

被除数扩大（或缩小）A倍，除数不变，商也扩大（或缩小）A倍。

被除数不变，除数扩大（或缩小）A倍，商反而缩小（或扩大）A倍。

利用积的变化规律和商不变规律性质可以使一些计算简便。

但在有余数的除法中要注意余数。

如：

8500÷200= 可以把被除数、除数同时缩小100倍来除，即85÷2=42（余1），商不变，但此时的余数1是被缩小100被后的，所以还原成原来的余数应该是100，即8500÷200=42……100。

关于简易方程的知识要点：

（1）用字母表示数　　

用字母表示数是代数的基本特点。

既简单明了，又能表达数量关系的一般规律。

用字母表示数的注意事项：

①数字与字母、字母和字母相乘时，乘号可以简写成“·“或省略不写