第1章《轴对称图形》易错题集0715+等腰三角形的轴对称性.docx
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第1章《轴对称图形》易错题集0715+等腰三角形的轴对称性
第1章《轴对称图形》易错题集（07）：
1.5等腰三角形的轴对称性
填空题
91．两边分别长4cm和10cm的等腰三角形的周长是 _________ cm．
92．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AC，AB上的点，且BC=BD，AD=DE=EB，则∠A= _________ 度．
93．△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD∥BC，BD=BC，∠DBC= _________ ．
94．若等腰△ABC（AB=AC），能用一刀剪成两个等腰三角形，则∠A= _________ ．
95．（2011•鹤岗模拟）等腰三角形一边上的高等于一边的一半，则它的顶角度数为 _________ ．
96．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有 _________ 个．
97．如图所示，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形有 _________ 个．
98．如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且DE∥BC，∠A=36°，则图中等腰三角形共有 _________ 个．
99．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，连接CE，则图中的等腰三角形共有 _________ 个．
100．（2006•枣庄）如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是 _________ ．
101．（2006•福州）如图，点B是线段AC上一点，分别以AB、BC为边作等边△ABE、△BCD，连接DE，已知△BDE的面积是
，AC=4，如果AB＜BC，那么AB的值是 _________ ．
102．如图，BD为等边△ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB=DE，若AB=6cm，则CE= _________ cm．
103．如图，等边△ABC的边长为l，取边AC的中点D，在外部画出一个新的等边三角形△CDE，如此绕点C顺时针继续下去，直到所画等边三角形的一边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的边长为 _________ ．
104．如图，等边△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且AD=CE，BE、CD交于点P，若∠ABE：
∠CBE=1：
2，则∠BDP= _________ 度．
105．一个六边形的六个内角都是120度，连续四边的长为1，3，4，2，则该六边形的周长是 _________ ．
106．（2006•嘉兴）如图，矩形纸片ABCD，AB=2，∠ADB=30°，沿对角线BD折叠（使△ABD和△EBD落在同一平面内），则A、E两点间的距离为 _________ ．
第1章《轴对称图形》易错题集（07）：
1.5等腰三角形的轴对称性
参考答案与试题解析
填空题
91．两边分别长4cm和10cm的等腰三角形的周长是 24 cm．
考点：
等腰三角形的性质；三角形三边关系．菁优网版权所有
专题：
分类讨论．
分析：
题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形．
解答：
解：
当4cm是腰时，4+4＜10cm，不符合三角形三边关系，故舍去；
当10cm是腰时，周长=10+10+4=24cm
故该三角形的周长为24cm
故填24．
点评：
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
92．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AC，AB上的点，且BC=BD，AD=DE=EB，则∠A= 45 度．
考点：
等腰三角形的性质；三角形内角和定理．菁优网版权所有
分析：
根据已知条件结合图形，列出相关角的关系，然后利用三角形的内角和求解．
解答：
解：
∵AB=AC，BC=BD，
∴∠C=∠ABC=∠BDC，
∵AD=DE=EB，
∴∠EBD=∠EDB，∠A=∠AED，
又∠EBD+∠EDB=∠AED，即2∠EDB=∠A，
又∠A+∠AED=∠EDB+∠BDC，即2∠A=∠EDB+∠BDC，
由
⇒∠A=
⇒∠A=
∠C，
又由三角形内角和定理得：
∠A+∠ABC+∠C=180°，
即4∠A=180°，
∴∠A=45°．
故答案为：
45．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；此题需灵活运用等腰三角形的性质，通过寻找相关角之间的关系求解是正确解答本题的关键．
93．△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD∥BC，BD=BC，∠DBC= 30°或150° ．
考点：
等腰三角形的性质．菁优网版权所有
专题：
分类讨论．
分析：
由于D点的位置有两种可能，因此本题要分情况讨论．
解答：
解：
（1）如图①；
过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，则AE=DF；
∵△BAC是等腰直角三角形，
∴AE=
BC；
∵BC=BD，
∴AE=DF=
BD；
∴∠DBC=30°；
（2）如图②；
过A作AE⊥BC于E，过B作BH⊥AD于H，则AE=BH；
同
（1），可得∠D=30°，∠DBH=60°．
∵AD∥BC，BH⊥AD，
∴∠HBC=90°；
∴∠DBC=90°+60°=150°．
因此∠DBC的度数为30°或150°．
点评：
此题主要考查的是等腰直角三角形的性质，要把所有的情况都考虑到，以免漏解，思考全面是正确解答本题的关键．
94．若等腰△ABC（AB=AC），能用一刀剪成两个等腰三角形，则∠A= 36°或90°或108° ．
考点：
等腰三角形的性质；三角形内角和定理．菁优网版权所有
分析：
题中只说是等腰三角形，没有指明该等腰三角形的形状，故应该分三种情况进行分析．
解答：
解：
（1）当顶角为锐角时，
①∵剪后AB=AC，AD=BD=BC，∠C=∠ABC=∠BDC=2∠A．
∴∠A+∠C+∠ABC=5∠A=180°
∴∠A=36°
②当AB=AC，AD=BD，BC=CD时
可求出∠A=
；
（2）当顶角为钝角时，
∵剪后AB=AC，AC=CD，BD=AD，∠C=∠B=∠BAD=
∠ADC=
∠DAC
∴∠B+∠C+∠BAD+∠DAC=5∠C=180°
∴∠C=36°
∴∠BAC=108°
（3）当顶角为直角时，
∵剪后AB=AC，CD=AD=BD，∠B=∠C=∠CAD=∠BAD=45°
∴∠CAB=90°
所以填∠A为36°、
或90°或108°．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；分情况讨论的正确应用时解答本题的关键．
95．（2011•鹤岗模拟）等腰三角形一边上的高等于一边的一半，则它的顶角度数为 30°、90°、120°或150° ．
考点：
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．菁优网版权所有
分析：
认真阅读题目，已知没有明确三角形的类型，没有说明是此边腰还是底边，根据高在三角形内部、三角形外部两种情况；而在内部时又可以是作腰上的高和底边的高两种情况；逐一进行讨论即可求解．
解答：
解：
如图，分四种情况：
1、AB=BC，AD⊥BC，AD在三角形的内部，由题意知，AD=
BC=
AB，
∵sin∠B=
=
，
∴∠B=30°；
2、AC=BC，AD⊥BC，AD在三角形的外部，由题意知，AD=
BC=
AC，
∵sin∠ACD=
=
，
∴∠ACD=30°，
∴∠ACB=180°﹣30°=150°；
3、AB=AC，AD⊥BC，BC边为等腰三角形的底边，
由等腰三角形的底边上的高、底边上中线、顶角的平分线互相重合知，点D为BC的中点，
由题意知，AD=
BC=CD=BD，
∴△ABD，△ADC均为等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠CAD=45°，
∴∠BAC=90°．
4、AC=BC，AD⊥BC，AD在三角形的外部，由题意知，AD=
BA，
∵sin∠B=
=
，
∴∠B=30°，
∴∠ACB=180°﹣30°﹣30°=120°；
故填30°、90°、120°或150°．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理、三角形外角的性质；认真读题，想到各种可能性并进行逐一讨论是正确解答本题的关键．
96．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有 9 个．
考点：
等腰三角形的判定．菁优网版权所有
专题：
分类讨论．
分析：
根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：
①点C以点A为标准，AB为底边；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边．
解答：
解：
①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；
②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．
所以符合条件的点C共有9个．
点评：
此题考查了等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解．注意数形结合的解题思想．
97．如图所示，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形有 3 个．
考点：
等腰三角形的判定．菁优网版权所有
分析：
等腰三角形的判定，及直角三角形的性质得出．
解答：
解：
∵将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上．
∴EF∥DG，∠E=∠D=60°，
∴∠ENM=∠D=60°，∠MGD=∠E=60°，
∴EM=NM=EN，DM=GM=DG，
∴△MEN，△MDG是等边三角形．
∵∠A=∠B=30°，
∴MA=MB，
∴△ABM是等腰三角形．
∴图中等腰三角形有3个．
点评：
此题考查了等腰三角形的判定，等角对等边；还考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余．
98．如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且DE∥BC，∠A=36°，则图中等腰三角形共有 12 个．
考点：
等腰三角形的判定．菁优网版权所有
分析：
由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏．
解答：
解：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB=
=72°，BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC=36°，
∵ED∥BC，
∴∠AED=∠ADE=72°，∠EDB=∠CBC=36°，
∴在△ADE中，∠AED=∠ADE=72°，AD=AE，△ADE为等腰三角形，
在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，AD=BD，△ABD是等腰三角形，
同理△AEC也是等腰三角形，
在△BED中，∠EBD=∠EDB=36°，ED=BE，△BED是等腰三角形，
同理△CED也是等腰三角形，
在△BDC中，∠C=∠BDC=72°，BD=BC，△BDC是等腰三角形，
同理△BEC也是等腰三角形，
∵∠OBC=∠OCB=∠ODE=∠OED=36°，
∴OD=OE，OB=OC，即△ODE，△OBC也为等腰三角形，
∵∠BEO=∠BOE=∠COD=∠ODC=72°，
∴CD=CO，BE=OB，
∴△CDO，△BOE也是等腰三角形，
所以共有12个等腰三角形．
故填12．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．
99．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，连接CE，则图中的等腰三角形共有 4 个．
考点：
等腰三角形的判定．菁优网版权所有
分析：
根据等腰三角形的判定，由已知可证∠BAD=∠CAD=∠B=30°，即证△ADB是等腰三角形；又证CD=DE，AE=AC，即证△CDE，△AEC是等腰三角形；再证ECB=∠B=30°，即证△BEC是等腰三角形．即图中的等腰三角形共有4个．
解答：
解：
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD=∠B=30°，
∴AD=DB，△ADB是等腰三角形，
在Rt△ACD和Rt△AED中有∠ACD=∠AED=90°，∠BAD=∠CAD=30°，AC=AC，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴CD=DE，AE=AC，
∴△CDE，△AEC是等腰三角形，
∵∠BAC=60°，
∴△AEC是等边三角形，
∴∠ACE=60°，
∴∠ECB=∠B=30°，
∴△BEC是等腰三角形．
即图中的等腰三角形共有4个．
故填4．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．
100．（2006•枣庄）如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是 30a ．
考点：
等边三角形的性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
根据等边三角形的性质，如右下角的第二小的三角形，设它的边长为x，则可依次求出等边三角形的边长，进而求出六边形周长为7x+9a，由图知最大的三角形的边长等于第二小的三角形边长的2倍，即x+3a=2x，求出x=3a．即可求六边形周长．
解答：
解：
因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手，
比如右下角的第二小的三角形，设它的边长为x，
则等边三角形的边长依次为x，x+a，x+a，x+2a，x+2a，x+3a，
所以六边形周长是，
2x+2（x+a）+2（x+2a）+（x+3a）=7x+9a，
而最大的三角形的边长等于第二小的三角形边长的2倍，
即x+3a=2x，
故x=3a．
所以周长为7x+9a=30a．
点评：
本题考查了等边三角形的性质，认真观察图形，找出等量关系，解一元一次方程即可．关键是要找出其中的等量关系．
101．（2006•福州）如图，点B是线段AC上一点，分别以AB、BC为边作等边△ABE、△BCD，连接DE，已知△BDE的面积是
，AC=4，如果AB＜BC，那么AB的值是 1 ．
考点：
等边三角形的性质．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
若设AB=x，则BC=4﹣x，根据题意，△BDE的面积列出方程解即可．
解答：
解：
∵△ABE、△BCD为等边三角形
∴∠A=∠EBA=∠DBC=60°
∴AE∥BD
设AB=x，则BD=BC=4﹣x，△ABE的高为
x
∴点E到BD的距离为
x
S△BDE=
（4﹣x）•
x=
，解得x=1或x=3
∵AB＜BC
∴x=1，即AB=1．
点评：
本题考查了等边三角形的性质、三角形的面积公式及解方程；利用方程解决几何问题是一种常用的方法，注意掌握．
102．如图，BD为等边△ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB=DE，若AB=6cm，则CE= 3 cm．
考点：
等边三角形的性质．菁优网版权所有
分析：
求CE的长，题中给出DB=DE，由角相等可求出CD=CE，所以CE为边长AC的一半．
解答：
解：
∵BD为等边△ABC的边AC上的中线，∴BD⊥AC，
∵DB=DE，∴∠DBC=∠E=30°
∵∠ACB=∠E+∠CDE=60°
∴∠CDE=30°
∴∠CDE=∠E，
即CE=CD=
AC=3cm．
故填3．
点评：
本题考查了等边三角形的性质；要熟练掌握等边三角形的性质，得到∠CDE=30°是正确解答本题的关键．
103．如图，等边△ABC的边长为l，取边AC的中点D，在外部画出一个新的等边三角形△CDE，如此绕点C顺时针继续下去，直到所画等边三角形的一边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的边长为
．
考点：
等边三角形的性质．菁优网版权所有
分析：
此题是对等边三角形性质的考查，等边三角形三个角都是60°，与BC重合，也就是再做5个等边三角形，根据相应的规律所以边长即可确定．
解答：
解：
∵要使所画三角形的一边与BC重合，
∴应顺时针方向再作5个三角形，
∴其边长为1×（
）5=
．
∴这个三角形的边长为
．
故填
．
点评：
能够熟练掌握等边三角形的性质及判定，难点是得到应再画几个等边三角形才能与BC边重合．
104．如图，等边△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且AD=CE，BE、CD交于点P，若∠ABE：
∠CBE=1：
2，则∠BDP= 100 度．
考点：
等边三角形的性质．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
根据等边三角形的性质证明△ADC≌△CEB，从而得到∠ACD=∠CBE=40°，然后求∠BDP．
解答：
解：
∵等边△ABC
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC
∵∠ABE：
∠CBE=1：
2
∴∠CBE=
∠ABC=40°
又∵AD=CE
∴△ADC≌△CEB（SAS）
∴∠ACD=∠CBE=40°
∴∠BDP=∠BDC=∠A+∠ACD=60°+40°=100°．
故答案为100°．
点评：
本题利用了：
（1）、等边三角形的性质：
三边相等，三角等于60度，
（2）、全等三角形的判定和性质，（3）、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
105．一个六边形的六个内角都是120度，连续四边的长为1，3，4，2，则该六边形的周长是 17 ．
考点：
等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
先延长其中三边构造等边三角形，利用等边三角形的性质解题即可．
解答：
解：
如图所示，∵六个内角都是120°，
∴三角形的每个内角都是60°，即△CDE，△BFG，△AHI，△ABC都为等边三角形，
∴CE=2，BF=3，
∴BC=2+4+3=9，
∴AH=AB﹣GH﹣BG=9﹣1﹣3=5，
∴DI=AC﹣AI﹣CD=9﹣5﹣2=2，HI=AH=5，
∴该六边形的周长是：
1+3+4+2+2+5=17．
故答案为17．
点评：
主要考查了正多边形的相关性质．边相等，角相等．
106．（2006•嘉兴）如图，矩形纸片ABCD，AB=2，∠ADB=30°，沿对角线BD折叠（使△ABD和△EBD落在同一平面内），则A、E两点间的距离为 2 ．
考点：
翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
解答：
解：
如图，
矩形ABCD的对角线交于点F，连接EF，AE，则有AF=FC=EF=FD=BF．
∵∠ADB=30°，
∴∠CFD=∠EFD=∠AFB=60°，
△AFE，△AFB都是等边三角形，
有AE=AF=AB=2．
点评：
本题利用了：
1、折叠的性质；2、矩形的性质，等边三角形的判定和性质求解．
参与本试卷答题和审题的老师有：
yeyue；xiawei；py168；Linaliu；MMCH；星期八；csiya；mmll852；zhehe；ln_86；心若在；117173；399462；蓝月梦；njw；HJJ；zcx（排名不分先后）
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2014年9月3日
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