五年级奥数培训教材上.docx
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五年级奥数培训教材上
辅导讲义
课题
平均数问题
授课时间：
授课教师：
知识点梳理
把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使他们完全相等，求得的相等数就是平均数，通常把这样的问题叫做平均数问题。
解答平均数问题的关键在于确定“总数量”以及与总数量相对应的“总份数”。
灵活运用有关数量关系式来解题：
总数量÷总份数=平均数
平均数×总份数=总数量
总数量÷平均数=总份数
教学内容
例1五（4）班有学生41人，在一次英语测试中有3名同学因病缺考，平均成绩是80分。
后来这三位同学补考，成绩分别为100分，96分，85分。
这时全班的平均成绩是多少？
分析解答本题必须抓住：
1、要求全班的平均成绩，就要知道全班的总分和总人数；2、全班的总分由两部分组成：
一部分是先考的41－3=38（人），总分为80×38=3040分，另一部分是补考的3人，总分为100＋96＋85=281分，再把两部分的总分合起来才是全班的总分；3、用全班总分÷总人数=全班平均分。
小结解答本题的关键在于全班的总分分成了先考的和补考的两个部分，要求求出全班的总分，才能求出全班的平均分。
例2甲乙两城相距120千米。
一辆汽车从甲城去乙城时每小时行驶60千米，返回时平均速度是每小时40千米。
求这辆汽车往返的平均速度。
分析按照求平均数问题的数量关系，求“往”“返”的平均速度，应该用“往”与“返”的总路程除以“往”与“返”的总时间。
例3把五个数按照从小到大的顺序排列，其平均数是30，前三个数的平均数是28，后三个数的平均数是35，中间的那个数是多少？
分析根据题中已知五个数的平均数，可以求出五个数的总和：
30×5=150；已知前三个数的平均数，可以求出前三个数的总和：
28×3=84；已知后三个数的平均数，可以求出后三个数的总和：
35×3=105；前三个数的总和加上后三个数的总和，中间的那个数算了两次，这样就比五个数的总和多，多出的部分就是所求的中间的那个数。
例4小明前5次数学测试的平均分是92分，第六次数学测试的成绩比六次测试的平均分高5分，他第六次测试的成绩是多少？
分析他第六次数学测试的成绩比六次测试的平均分高5分，把这5分平均分给前5次，就可先求出六次测试的平均成绩：
92＋5÷5=93分，再用六次测试的平均分加上第六次测试多出的5分，就可得出第六次的测试成绩。
例5一次考试中，小花语文得了86分，英语得了90分，现在还要考数学，他想争取三科平均成绩至少为90分，那么他的数学至少要得多少分？
练习：
1、五
（1）班有学生40人，期中数学测试，有2名同学因病缺考，这时班级平均成绩是89分。
缺考的同学补考各得99分，这个班期中测试平均分是多少？
2、在一次登山活动中，山路长120米，张三上山时每分钟走40米，下山时按原路返回，每分钟走60米，求张三上山和下山平均每分钟走多少米？
3、甲、乙、丙三人的平均年龄为22岁，如果甲、乙的平均年龄是18岁，乙、丙的平均年龄是25岁，那么乙的年龄是多少岁？
4、某小组加工一批零件，7天中平均每天加工32个。
已知他们前4天平均每天加工34个，后4天平均每天加工31个。
求：
第4天加工零件多少个？
5、十名参赛者的平均得分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分，那么第5人和第6人的平均分是多少分？
6、一个技术工带5个普通工人完成了一项任务，每个普通工人各得120元，这位技工的收入比他们6人的平均收入还多20元，问这位技术工得多少元？
莱特1+1思维教育辅导讲义
课题
加法乘法原理
授课时间：
授课教师：
知识点梳理
我们已经学会了用列举法解答一些简单的计数问题。
但是如果需要列举的对象较多时，就必须先进行分析，然后找出一定的规律，采用计算的方法解决问题。
加法原理和乘法原理就是列举时采用的两个基本计数原理。
掌握这两个原理，可以解决许多计数问题，而且为学习排列组合做好准备。
这节我们从基本例子入手，说明加法原理和乘法原理的实际运用。
解题方法：
分步用乘法；分类用加法。
教学内容
例1书架上有15本故事书，20本科普读物书。
（1）、小明任意从书架上取一本书，有多少种不同的取法？
（2）、如果从书架上取一本故事书和一本科普书，共有多少种不同的取法?
分析：
（1）小明从书架上取一本故事书或一本科普书都是一种不同的取法。
因此取故事书有15中取法，取科普书有20种取法。
所以一共有15+20=35（种）不同的取法。
（2）如果把取故事书当作第一步骤，取科普书为第二步骤。
小明取了第一本故事书后，再取科普书，可以取20本中的任意一本，所以有20种不同的取法。
取出故事书15本中的任意一本，都可以取20本中的任意一本组成一种不同的取法，因此，一共有15×20=300（种）不同的取法。
例2用数字0、3、2、6、8、9可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？
分析：
组成一个三位数要分成三个步骤：
第一步确定百位上的数字，除0以外有5种选法；第二步确定十位数上的数字，因为数字可以重复，有6种选法；第三步确定个位上的数字，也有6种选法，再根据乘法原理计算。
例3从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有4条路，从甲地到丁地有3条路，从丁地到丙地也有3条路。
问：
从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
例4有A、B、C三个方格（如图）。
现在有红、蓝、黄、绿四种颜料给图中方格染色，使相邻方格颜色不同，问有多少种不同的染色方法？
A
B
C
分析：
首先将染色的过程分为依次给A、B、C染色三步。
先给A染色，因为有四种颜色，故有四种不同的染色方法；第2步给B染色，因不能与A同色，还剩下3种颜色可选择，故有三种不同的染色方法；第3步给C染色，因为不能与A、B同色，故有2种不同的染色方法。
根据乘法原理计算。
练习：
1、商店里有6件不同的上衣，5件不同的裙子。
（1）妈妈为女儿买上衣一件或裙子一条，有多少种不同的选法？
（2）妈妈为女儿买上衣一件和裙子一条，有多少种不同的选法？
2、第一小队有9位女同学和8位男同学。
（1）老师在第一小队里选一位同学担任旗手，有多少种不同的选法？
（2）老师在第一小队里选一位男同学和一位女同学担任旗手，有多少种不同的选法？
3、有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子。
从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。
问：
有多少种不同装束？
4、“TMO”是国际数学奥林匹克缩写，把这3个字母写成三种不同颜色。
现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”？
5、用数字5、6、7、9可以排成多少个没有重复数字的
（1）两位数？
（2）三位数？
（3）四位数？
6、用2、4、5、8、0五个数字，组成没有重复数字的四位数，共可以组成多少个？
7、从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路，从丁地到丙地有2条路，从丙地到甲地有1条路.问：
从甲地到丁地有多少种不同的走法？
8、如图：
A、B、C、D、E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？
莱特1+1思维教育辅导讲义
课题
还原问题
授课时间：
授课教师：
知识点梳理
还原问题：
一个数量经过若干次变化成了另一个结果从结果出发根据每一次变化情况，一步步地倒着想，把结果还原成开始状态的问题
对于简单的还原问题：
可直接列式一步步倒着推算
对于变化复杂的问题：
可借助列表和画图来帮忙解决问题
教学内容
例题1.小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁，小刚的奶奶今年多少岁？
分析：
这属于简单的还原问题，所以可以直接列式一步步倒着推算。
例题2.某商场出售洗衣机，上午出售总数的一半多10台，下午出售剩下的一半多20台，还剩95台，这个商场原来有洗衣机多少台？
例题3、小明.小强和小勇三个人共有故事书60本。
如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等。
这三个人原来各有故事书多少本？
分析：
无论三个人怎么借，书的总数是不变的，这样就可以开始倒推运算了。
例题4、甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克，问两桶油原来各有多少千克？
分析：
从后往前倒推，即：
如果后来乙桶不倒出和甲桶一样的油放入甲桶，可得出甲桶内应有油多少克。
例题5、两只猴子拿了26个桃子，甲猴眼疾手快，抢先得到，乙猴看到甲猴拿到太多，就去抢一半，甲猴不服，又从乙猴那儿抢走了一半，乙猴不肯，甲猴就还给乙猴5个，这时乙猴比甲猴多2个，问甲猴最初准备拿几个？
分析：
要根据已知条件先求出两只猴子现在各拿了多少个桃，问题就会迎刃而解。
练习：
1、在□里填上适当的数
20×□÷8＋16＝26
2、一个数的3倍加上6，再减去9，最后乘以2，结果是60，就这个数。
3、小红问王老师今年多大年纪，王老师说：
“把我的年纪加上9，除以4，减去2，再乘上3，恰好是30岁，”问王老师今年多少岁？
4、粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨，问粮库原来有大米多少吨？
5、甲乙丙三个小朋友共有贺年卡90张，如果甲给乙3张后，乙又送给丙5张，那么三个人的贺年卡张数刚好相同。
问甲乙丙三个小朋友原来各有贺年卡多少张？
6、王亮和李强各有画片若干张，如果王亮拿出和李强同样多的画片给李强，李强再拿出同样多的画片给王良，这是两个人都有24张，问王亮和李强原来各有画片多少张？
7、有甲.乙.丙三个数，从甲数中拿出15加到乙数，再从乙数中拿出18加到丙数。
最后从丙数拿出12加到甲数，这是三个数都是180.问甲乙丙三个数原来各是多少？
莱特1+1思维教育辅导讲义
课题
分类数图形
授课时间：
授课教师：
知识点梳理
1.做该类型题时，遵循不重复.不遗漏的原则，就能使数出的结果准确
2.2.分类数图形的方法能够帮助我们找到数图形的规则，从而有秩序.有条理并且正确地数出图形的个数
教学内容
例1下面图形中有多少个正方形？
分析：
图中的正方形的个数可以分类数
例2下图中共有多少个三角？
分析：
为了保证不漏数而又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形的个数相加
例3数出下图中所有三角的个数
分析：
同位置的三角形一起数，例如：
AFG.BGM.CIM.DIJ.JEF是同类
例4如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个？
分析：
把相邻的两点连接起来，即可得到图形
例5数一数，下图中共有多少个三角形
分析：
分类数三角法
？
练习：
1.下图共有多少个正方形
2.下图中共有多少个正方形，多少个三角形？
3.下面图中共有多少个三角
4.数一数，图中共有多少个三角
5、数出下面图中分别有多少个三角
6.图中共有（）个三角
7.图中共有（）个三角形
莱特1+1思维教育辅导讲义
课题
长方形、正方形的周长
授课时间：
授课教师：
知识点梳理
公式：
长方形的周长=（长+宽）×2
正方形的周长=边长×4
教学内容
例题1.一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米，截掉的总面积为192平方厘米。
现在这块木板的周长是多少厘米？
例题2.求下图的周长（单位：
厘米）
分析：
可将图补充完整，再计算
例题3、如图的正方形分成甲.乙两部分，下面哪几句话正确的？
A甲的周长比乙大
B甲乙周长相等
C甲的面积比乙大
D甲乙面积相等
分析：
可以从图中直接得出甲乙两图的大小关系
例题4、如下图，阴影部分是正方形，DF=6厘米，AB=9厘米。
求最大的长方形的周长
分析：
根据题意，可分析出最大长方形的宽就是正方形的边长
练习：
1、有一个长方形，如果长减少4米，宽减少2米，面积就比原来减少44平方米，且剩下部分正好是一个正方形，求这个正方形的周长
2、有两个相同的长方形（图1），长是8厘米，宽是3厘米，如果按下图叠放在一起，这个图形的周长是多少？
（图1）
（图2）
（图3）
3、求下列图形的周长（图2）（单位：
厘米）
4、一个长12厘米，宽2厘米的长方形和两个正方形正好拼成下图长方形（图3），求所拼长方形的周长。
5、有一张长40厘米，宽30厘米的硬纸板，在四个角上各剪去一个同样大小的正方形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板的周长
6、下图是边长为4厘米的正方形（图4），求正方形种阴影部分的周长
（图4）
（图5）
7、在一个长方形硬纸板的一角任意剪去一个正方形，剩下的图形的周长发生了怎样的变化？
8、有2个相同的长方体（图5），长7厘米，宽3厘米，如下图重叠着，求重叠图形的周长
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课题
等差数列
（一）
授课时间：
授课教师：
知识点梳理
若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中的个数称为项数。
从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
通项公式：
第n项=首项+（项数﹣1）×公差；
项数公式：
项数=（末项﹣首项）÷公差＋1；
求和公式：
总和=（首项＋末项）×项数÷2
教学内容
例1等差数列13、15、17、……中，第100项是多少？
第145项呢？
分析：
此题中已知等差数列中的首项是13，公差是2，求第100项、第145项，直接代入通项公式就可求得。
小结：
在已知首项和公差的情况下，根据通项公式可以求出这一数列中的任一项。
例2、等差数列3、5、7、9、……中，301是第几项？
分析：
在此题中已知等差数列首项是3，公差是2，第n项是301，我们只要把这些条件代入通项公式第n项等于第n-1项乘于公差再加上第一项，就可以求出301是第150项了。
例3、在10与60之间插入4个数，使这样6个数成等差数列。
这四个数是多少？
分析：
要使这6个数成等差数列，插入的4个数必须与10、60形成的数列有一个公差，所以解这题的关键是找出这个公差，再根据公差写出每个数。
这样这个等差数列的第一项是10，第六项是60。
因此，根据求项数公式就可以找出公差。
小结：
解这类题时，关键是根据第一项和最后一项，用求项数公式找出公差，再写出要插入的数。
例4、已知等差数列的首项是12，第六项是27，求公差？
例5、消防梯的最高一级宽是32厘米，最低一级宽是110厘米，中间还有9级，各级的宽度成等差数列。
请计算出中间一级的宽？
分析：
从题意中，我们可以发现要求出当中一级的宽，就必须根据通项公式求出这个等差数列的公差：
110等于11减去1乘于公差，再加上第一项32，求出公差是7.8厘米；再根据公差求出第6项（当中一级）的宽：
第6项等于6减去1乘于公差，再加上第一项32，得出第6项等于71厘米。
练习：
1、求等差数列3、7、11、15、……的第6、9、34项各是多少？
2、求等差数列2、9、16、……的第20项是多少？
3、等差数列中，第一项是3，公差是4，那么259是它的第几项？
4、等差数列5、9、13、17、……中，501是第几项？
5、在543、723中间插入一个数，使三个数成等差数列，求这个数？
6、在8和40之间插入7个数，使它们同这两个数成等差数列，这个等差数列的公差是多少？
7、在19与91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列，写出这5个数分别是多少？
安装的五个轮滑的直径成等差数列，已知最小的和最大的轮滑直径分别是120毫米和216毫米，求中间的三个滑轮的直径。
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课题
巧妙求和
（二）
授课时间：
授课教师：
知识点梳理
某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。
如果是等差数列求和，才可以用等差数列求和公式计算。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可以考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
项数公式：
项数=（末项﹣首项）÷公差＋1
求和公式：
总和=（首项＋末项）×项数÷2（注意：
求和之前要先求出项数）
教学内容
例1求等差数列2、4、6……48、50的和。
例2小林读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起他每天读的页数都比前一天多3页，第11天读了60页，正好读完，这本书共有多少页？
分析根据“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天的读的页数是按照一定的规律排列的数，即30、33、36……57、60。
要求这本书共有多少页就是求出这列数的和。
这列数是一个等差数列，首项是30，末项是60，项数是11，因此可以根据等差数列的公式求解总和。
例3一些同样粗细的圆木，像如图所示均匀的堆放在一起，已知最下面一层有70根，那么一共有多少根圆木？
分析根据图可以发现这是一个公差是1的等差数列，首项是1，末项是70，要求一共有多少根圆木，其实就是求这个等差数列的和。
可以根据通项公式求解计算。
例430把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？
分析开第一把锁时如果不凑巧，试了29把钥匙都还不行，那么剩下的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要29次，同样的，开第二把锁至多需要试28次，开第三把锁至多需要试27次……等打开第29把锁时，剩下的一把就不用试了，一定能打开。
所以，至多需要29＋28＋27＋……＋1次，从而将实际问题转化成了等差数列的求和问题。
例5某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手，那么共握了多少次手？
分析假设51个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了50次，第二个人依次和剩下的人握手，共握了49次，第三个人握了48次，依此类推，第50个人和剩下的人握了一次手，这样他们握手的次数如下：
50、49、48、……、2、1。
例6求1～99个连续自然数的所有数字之和。
分析注意首先要求的是99个连续自然数的数字之和，而不是求着99个数的和。
为了能方便求解，我们不妨把0算进来（它不影响我们求数字之和），计算0～99这100个数字之和，这100个数头尾两两配对后每两个数字之和都相等，都是9＋9=18，一共有100÷2=50对，所以1～99个连续自然数的所有数字之和是18×50=900。
练习：
1、求和：
（1）6＋7＋8＋9＋……＋75；
（2）17＋19＋21＋…＋39；
（3）求等差数列：
9、11、13、、、、、、205、207的和。
2、刘师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完，这批零件共有多少个？
3、莉莉学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学了1个，最后一天学会了16个，莉莉在这些天中学会了多少个单词？
4、用相同的小立方体摆成如右图所示的图形，那么第10层有多少个小立方体？
5、有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？
6、
有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次就能使每把锁有配上自己的钥匙，问一共有几把锁的钥匙搞乱了？
7、学校进行乒乓球比赛，每个参赛选手都要和其他所有的参赛选手个赛一场，如果有21人参加比赛，问一共要进行多少场比赛？
8、一次同学聚会中，参加的有43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握手一次手。
那么一共握了多少次？
9、求1～199的199个连续自然数的所有数字之和。
10、求1～999的999个连续自然数的所有数字之和。
莱特1+1思维教育辅导讲义
课题
行程问题
授课时间：
授课教师：
知识点梳理
基本概念：
把研究路程.速度.时间这三者之间关系的问题成为行程问题
基本思路：
路程=速度*时间
关键问题：
要理清楚路程.时间和速度之间的关系
注意事项：
1、紧扣基本数量关系
2、对具体问题要做仔细的分析，弄清楚出发点.时间和运动结果
教学内容
例1甲乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。
两人几小时后相遇？
分析：
出发时甲乙两人相距20千米，以后两人的距离在每小时缩短，这也是两人的速度和。
例2王欣和陆亮两人同时从相距的2000米的两地相向而行，王欣每分钟行110米，陆亮每分钟行90米，如果一只狗与王欣同时同向而行，每分钟行500米，遇到陆亮后，立即会偷向王欣跑去，遇到王欣再向陆亮跑去。
这样不断的来回，直到王欣和陆亮相遇为止，狗共行了多少米？
分析：
求狗行的路程，已知狗的速度，关键算出狗行的时间
例3甲乙两人在环形跑道上以各自的不变速度跑步，如果两人同时从同地向背而行，乙跑4分钟后两人第一次相遇，甲跑一周要6分钟，乙跑一周要多少分钟？
分析：
解题关键要思考甲乙两人时间关系
例4甲.乙两人骑车同时从东西两地相向而行，8小时相遇。
如果甲每小时少行1千米，乙每小时多行3千米，这样过了7小时就可以相遇。
东.西两地相距多少米？
分析：
从已知条件中发掘甲.乙现在的速度和原来速度的关系
例5甲.乙两车同时从A.B两地相向而行，在距A地60千米处第一次相遇。
各自到达对方出发地后立即返回，途中又在距A地40千米处相遇。
A.B两地相距多少千米？
分析：
首先计算甲所走的路程，即可得全程
练习：
1.甲乙两艘轮船分别从A.B两港同时出发相向而行，甲船每小时行驶18千米，乙船每小时行驶15千米，经过6小时两艘轮船途中相遇。
两地间的水路长多少千米？
2.甲乙辆车分别从相距480千米的A.B两城同时出发，相向而行，已知甲车从A城到B城需6小时，乙车从B城到A城需12消失，辆车出发后多少小时相遇？
3.甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发，相向而行。
一个同学骑自行车以每小时15千米的速度在两队不停地往返联络。
甲队每小时行5千米，乙队每小时行4千米，两队相遇时，骑自行车的同学共行了多少千米？
4.A.B两地相距400千米，甲乙两车同时从两地出发相对开出，甲车每小时行38千米，乙车每小时行42千米，一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发，向乙车飞去，遇到乙车后折回向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车飞去。
这样一直飞下去，燕子飞了多少千米，两车才能相遇?
5.小冬和小刚两人在环形跑道上以各自不同的不变的速度跑步，如果两人同时从同地向背而行，小刚跑6分钟后两人第一次相遇，小冬跑一周要8分钟，小刚跑一周要几分钟？
6.甲乙辆车同时从A.B两地相对开出，6小时相遇。
甲车从A地到B地要9消失，乙车从A地到B地要几小时？
7.小明和小军分别从甲.乙两地同时出发，相向而行。
如果按原速度前进，则4小时相遇，如两人各自比原定速度每小时多走1千米，则3小时相遇。
甲乙两地相距多少千米？
8.客车从甲地开往乙地，货车从乙地开往甲地，同时开出，到达对方出发地后立即返回。
第一次相遇距乙地80千米，第二次相遇距甲地50千米。
甲乙两地相距多少千米？
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