初中竞赛数学16不等式组的应用含答案.docx

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初中竞赛数学16不等式组的应用含答案

16.不等式（组）的应用

知识纵横

在客观世界中，相等的关系是相对的、局部的，不等的关系是绝对的、普遍的，因此，我们常常需要比较一些量的大小或者对某个量进行估计，列出不等式（组），运用不等式（组）的相关知识予以求解。

不等式（组）的应用主要表现在：

作差或作商比较数的大小；求代数式的取值范围；求代数式的最值，列不等式（组）解应用题。

列不等式（组）解应用题与列方程解应用题的步骤相仿，一般步骤是：

1.弄清题意和题中的数量关系，用字母表示未知数；

2.找出能够表示题目全部含义的一个或几个不等关系；

3.列出不等式（组）；

4.解这个不等式（组），求出解集并作答。

例题求解

【例1】（“希望杯”邀请赛试题）给出四个自然数a、b、c、d，其中每三个数之和分别是180、197、208、222,则a、b、c、d中最大的数是______.

思路点拨较繁的一般解法是解关于a、b、c、d的四元一次方程组，由题意知a、b、c、d互不相等,不妨设a

解:

89提示:

整体叠加,先求出（a+b+c+d）的值.

【例2】（2000年山东省竞赛题）甲从一个鱼摊上买了三条鱼,平均每条a元,又从另一个鱼摊上买了两条鱼,平均每条b元,后来他又以每条

元的价格把鱼全部卖给了乙,结果发现赔了钱,原因是（）.

A.a>bB.a

思路点拨把买卖的钱数作差比较,推导出a与b的关系.

解:

选A提示:

-（3a+2b）=

<0,得a>b.

【例3】已知a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7是彼此互不相等的正整数,它们的和等于159,求其中最小数a1的最大值.（2003年北京市竞赛题）

思路点拨设a1

设a、b为整数,若a

解:

设a1

故a1的最大值为19.

【例4】（2003年广州市中考题）现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地,已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节,使用A型车厢每节费用为6000元,使用B型车厢每节费用为8000元.

（1）设运送这批货物的总费用为y万元,这列货车挂A型车厢x节,试写出y与x之间的关系式;

（2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨,每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨,装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数,那么共有哪几种安排车厢的方案?

（3）在上述方案中,哪个方案运费最省?

最少运费为多少元?

思路点拨

（2）解关于x的不等式组,由正整数x的值确定安排车厢的不同方案.

解:

（1）y=0.6x+0.8（40-x）=-0.2x+32

（2）由

得24≤x≤26

因为x取整数,故A型车厢可用24节或25节或26节,相应的装车方案是:

①24节A型和16节B型车厢;②25节A型和15节B型车厢;③26节A型和14节B型车厢.

（3）当x=26时,y最小=26.8（万元）

【例5】某钱币收藏爱好者想把3.50元纸币兑换成1分、2分、5分的硬币,他要求硬币总数为150枚,且每种硬币不少于20枚,5分的硬币要多于2分的硬币,请你据此设计兑换方案.（2003年河北省竞赛题）

思路点拨引入字母,列出含等式、不等式的混合组,把解方程组、解不等式组结合起来.

解:

设兑换成的1分、2分、5分硬币分别为x枚、y枚、z枚,则

由①,②得

将x,y代入③,④得

解得40

故z=41,42,43,44,45.

由此得出x、y的对应值，于是得到5种方案：

（x,y,z）=（73,36,41）;（x,y,z）=（76,32,42）;（x,y,z）=（79,28,43）;（x,y,z）=（82,24,44）;（x,y,z）=（85,20,45）.

学力训练

一、基础夯实

1.若方程

│x│-x-1997=0只有负数根,则a的取值范围是________.

2.若方程组

的解x、y都是正数,则m的取值范围是________.

（2002年河南省中考题）

3.某化工厂2001年12月在制定2002年某种化肥的生产计划时,收集了如下信息:

（1）生产该种化肥的工人数不能超过200人;

（2）每个工人全年工作时数不得多于2100人;

（3）预计2002年该化肥至少可售销80000袋;

（4）每生产一袋该化肥需要工时4个;

（5）每袋该化肥需要原料20千克;

（6）现库存原料800吨,本月还需用200吨,2002年可以补充1200吨.

根据上述数据,确定2002年该种化肥的生产袋数的范围是________.

（2001年江苏徐州中考题）

4.设P=

Q=

则P、Q的大小关系是（）.

A.P>QB.P

5.某种出租车的收费标准是:

起步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费）,超过3千米以后,每增加1千米,加收2.4元（不足1千米按1千米计）,某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元,设此人从甲地到乙地经过的路程是x千米,那么x的最大值是（）.

A.11B.8C.7D.5（2002年南京市中考题）

6.韩日“世界杯”期间,重庆球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油,现有A、B两个出租车队,A队比B队少3辆车,若全部安排乘A队的车,每辆坐5人,车不够,每辆坐6人,有的车未坐满;若全部安排乘B队的车,每辆车坐4人,车不够,每辆车坐5人,有的车未坐满,则A队有出租车（）.

A.11辆B.10辆C.9辆D.8辆（2002年重庆市中考题）

7.（2002年宁波市中考题）为了能有效地使用电力资源,宁波市电业局从2002年1月起进行居民峰谷用电试点,每天8:

00至22:

00用电每千瓦时0.56元（“峰电”价）,22:

00至次日8:

00每千瓦时0.28元（“谷电”价）,而目前不使用“峰谷”电的居民用电每千瓦时0.53元.

（1）一居民家庭在某月使用“峰谷”电后，付电费95.2元，经测算比不使用“峰谷”电节约10.8元，问该家庭当月使用“峰电”和“谷电”各多少千瓦时？

（2）当“峰电”用量不超过每月总用电量的百分之几时，使用“谷电”合算？

（精确到1%）。

8.（2003年黑龙江省中考题）为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备,现有A、B两种型号的设备,其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表:

A型

B型

价格（万元/台）

12

10

处理污水量（吨/月）

240

200

年消耗费（万元/台）

1

1

经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元.

（1）请你设计该企业有几种购买方案;

（2）若企业每月产生的污水量为2040吨,为了节约资金,应选择哪种购买方案;

（3）在第

（2）问的条件下,若每台设备的使用年限为10年,污水厂处理污水费为每吨10元,请你计算,该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较,10年节约资金多少万元?

（注:

企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）

二、能力拓展

9.大、中、小三个正整数,大数与中数之和等于2003,中数减小数之差等于1000,那么这三个正整数的和为_________.（2003年北京市竞赛题）

10.已知a+b+c=0,a>b>c,则

的取值范围是________.（第17届江苏省竞赛题）

11.适合方程

的正整数x的值是_________.

12.设x1,x2,……,x7为自然数,且x1

13.正五边形广场ABCDE的周长为2000m,甲、乙两人分别从A、C两点同时出发绕广场沿A→B→C→D→E→A的方向行走,甲的速度为50m/min,乙的速度为46m/min,则出发后经过_______min,甲、乙第一次行走在同一条边上.（2003年河北省竞赛题）

14.如果│x│+││x│-1│=1,那么（）

A.（x+1）（x-1）>0B.（x+1）（x-1）<0

C.（x+1）（x-1）≥0D.（x+1）（x-1）≤0（1999年山东省竞赛题）

15.小林拟将1,2,……,n这n个数输入电脑,求平均数.当他认为输入完毕时,电脑显示只输入了（n-1）个数,平均数为35

假设这（n-1）个数输入无误,则漏输入的一个数为（）.

A.10B.53C.56D.67（第14届江苏省竞赛题）

16.（2002年重庆市竞赛题）已知0≤a-b≤1且1≤a+b≤4,则a的取值范围是（）.

A.1≤a≤2B.2≤a≤3C.

≤a≤

D.

≤a≤

17.某果品公司急需将一批不易存放的水果从A市运往B市销售,现有三家运输公司可供选择,这三家运输公司提供的信息如下:

运输单位

运输速度

（千米/时）

运输费用

（元/千米）

包装与装卸时间（时）

包装与装卸费用（元）

甲公司

60

6

4

1500

乙公司

50

8

2

1000

丙公司

100

10

3

700

解答下列问题:

（1）若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲公司的2倍,求A、B两市的距离（精确到个位）;

（2）如果A、B两市的距离为S千米,且这批水果在包装与装卸及运输过程上损耗为300元/时,那么要使果品公司支付的总费用（包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和）最小,应选择哪家公司?

（2003年南通市中考题）

18.（北京市竞赛题）今有浓度为5%、8%、9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克,现要配制浓度为7%的盐水100克,问甲种盐水最多可用多少克?

最少可用多少克?

三、综合创新

19.某企业有员工300人生产A种产品,平均每人每年可创造利润m万元（m为大于零的常数）.为减员增效,决定从中调配x人去生产新开发的B种产品.根据评估,调配后继续生产A种产品的员工平均每人每年创造的利润可增加20%,生产B种产品的员工平均每人每年可创造利润1.54m万元.

（1）调配后企业生产A种产品的年利润为_______万元,生产B种产品的年利润为______万元（用含m的代数式表示）,若设调配后企业全年的总利润为y万元,则y关于x的关系式为__________.

（2）若要求调配后企业生产A种产品的年利润不少于调配前企业年利润的五分之四,生产B种产品的年利润大于调配前企业年利润的一半,应有哪几种调配方案?

请设计出来,并指出其中哪种方案全年总利润最大（必要时运算过程可保留3个有效数字）.

（3）企业决定将

（2）中的年最大总利润（m=2）继续投资开发新产品,现有六种产品可供选择（不得重复投资同一种产品）,各产品所需资金以及所获利润如下表:

产品

C

D

E

F

G

H

所需资金（万元）

200

348

240

288

240

500

年利润（万元）

50

80

20

60

40

85

如果你是企业决策者,为使此项投资所获年利润不少于145万元,你可以投资开发哪些产品?

请你写出两种投资方案.（2002年江苏镇江市中考题）

20.一玩具厂用于生产的全部劳力为450个工时,原料为400个单位,生产一个小熊要使用15个工时、20个单位的原料,售价为80元;生产一个小猫要使用10个工时、5个单位的原料,售价为45元.在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊、小猫的个数,可以使小熊和小猫总售价尽可能高.请你用你所学过的数学知识分析,总售价是否可能达到2200元?

（第12届“希望杯”邀请赛试题）

答案

1.-1997≤a≤1997提示:

若x>0,则x=

得a>1997,

若x<0,则x=

得a>-1997.2.

3.8万到9万袋之间提示:

设2002年生产该化肥x袋,从工时上、从原料上、从销售量上考虑有

4.A提示:

设21999=x,则P=

Q=

作商比较.5.B

6.B提示:

设A队有出租车x辆,则B队有出租车（x+3）辆,

则（Ⅰ）

（Ⅱ）

解（Ⅰ）9

得

解（Ⅱ）得8

其公共部分为9

7.

（1）“峰电”140千瓦时，“谷电”60千瓦时；

（2）设当“峰电”用电占每月总电量的百分率为z时，使用“谷电”合算，月用电总量为a，由0.56az+0.28a（1-z）<0.53a,得z<89%.

8.

（1）设购买污水处理设备A型x台,则B型（10-x）台,由12x+10（10-x）≤105,得x≤2.5,

x可取0,1,2,由此可得三种购买方案.

（2）由240x+200（10-x）≥2040,得x≥1,

故x=1或2.

当x=1时,购买资金为:

12×1+10×9=102（万元）;

当x=2时,购买资金为:

12×2+10×8=104（万元）,

所以,为了节约资金,应选购A型1台,B型9台.

（3）能节约资金为:

2040×12×10×10（元）-（102+10×10）（万元）

=244.8（万元）-202（万元）=42.8（万元）

9.2004

10.b=-a-c,-a-c-c,

>-2,

又把b=-a-c代入b>c,得-a-c>c,

<-

故-2<

<-

11.x=1提示:

由x+1

则

12.61提示;159=x1+x2+…x7≥x1+（x1+1）+（x1+2）+…+（x1+6）,

解得x1≤19

即x1的最大值为19,

同理x2、x3的最大值分别为20、22.

13.设甲走完x条边时,两人走在同一条边上,

此时甲走了400xm,乙走了46×

=368xm,

甲、乙两人的距离不大于正五边形的边长400m,

所以（368x+800）-400x≤400,解得x≥12.5,

而x为整数,取x=13,

所以,甲、乙走了

=104min后走到一条边上.

14.D提示:

令│x│=a≥0,即a+│a-1│=1,所以-1≤x≤1,于是（x+1）（x-1）≤0.

15.C提示:

设漏输入的一个数是k,则

解得69

≤n≤71

又7│n-1,则n=71,于是

解得k=56.

16.C

17.

（1）217千米;

（2）设选择三家运输公司所需的总费用分别为y、y、y,

由于三家运输公司包装与装卸及运输所需的时间分别为:

甲公司（

+4）小时,乙公司（

+2）小时,丙公司（

+3）小时,所以

y=6S+1500+（

+4）×300=11S+2700.

y=8S+1000+（

+2）×300=14S+1600.

y=10S+700+（

+3）×300=13S+1600.

∵S>0,∴y2>y3恒成立,所以只要比较y1与y3的大小.

∵y1-y3=-2S+1100,

∴①当S<550（千米）时,y1>y3,又y2>y3,故此时选择丙公司较好;

②当S=550（千米）时,y2>y1=y3,此时选择甲公司或丙公司;

③当S>550（千米）时,y2>y3>y1,此时选择甲公司较好.

18.提示:

设甲、乙、丙三种盐水应分别取x克、y克、z克,则

解得

从而

解得35≤x≤49.

19.

（1）（300-x）（1+20%）m,1.54mx.y=（300-x）（1+20%）m+1.54mx.

（2）由题意,得

解之,得97

因为x为正整数,所以x只能取98,99,100.

故共有三种调配方案:

①202人继续生产A种产品,调98人生产B种产品;②、③类似.

又y=0.34mx+360m,而0.34m>0,

故y随x增大而增大,从而知当x=100时,即200人继续生产A种产品,调配100人去生产B种产品,获得的总利润最大.

（3）当m=2时,最大利润为788万元,故可投资额最大为788万元,要使获取年利润不少于145万元,可投资开发产品F、H,或C、D、E,或C、D、G或C、F、G.

20.提示:

设小熊和小猫的个数分别为x、y,总售价为z,则

当总售价为z=2200小时,即为

也即

解得14≤x≤14,此时y=24,当x=14,y=24时,z=80×14+45×24=2200（元）

故安排生产小熊14个、小猫24个可达到总售价2200元.