鸡兔同笼问题.docx

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鸡兔同笼问题

鸡兔同笼问题

总述

鸡兔同笼，这个问题，是我国古代著名趣题之一。

大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。

书中是这样叙述的：

“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

”这四句话的意思是：

有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。

求笼中各有几只鸡和兔？

　　假设法：

解：

假设全是鸡：

2×35＝70（只）

比总脚数少的：

94－70＝24（只）　　它们腿的差：

4—2=2（条）　　24÷2＝12（只）------兔　　35－12＝23（只）------鸡　　方程：

　　解：

设兔有x只，则鸡有35-x只。

　　4x+2（35-x）=94　　4x+70-2x=94　　2x=24　　x=12　　35-x=35-12=23　　答：

兔有12只，鸡有23只。

　　我国古代《孙子算经》共三卷，成书大约在公元5世纪。

这本书浅显易懂，有许多有趣的算术题，比如“鸡兔同笼”问题：

　　今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

　　题目中给出了鸡兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了2只脚，即把兔子都先当作两只脚的鸡。

鸡兔总的脚数是35×2=70（只），比题中所说的94只要少94-70=24（只）。

　　现在，松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，即70+2=72（只），再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，2，2……，一直继续下去，直至增加24，因此兔子数：

24÷2=12（只），从而鸡有35-12=23（只）。

　　我们来总结一下这道题的解题思路：

先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。

概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：

兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡脚数）。

类似地，也可以假设全是兔子。

　　我们也可以采用列方程的办法：

设兔子的数量为X，鸡的数量为Y　　那么：

X+Y=35那么4X+2Y=94这个算方程解出后得：

兔子有12只，鸡有23只。

鸡兔同笼公式

　　解法1：

（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）

　　=鸡的只数

　　总只数－鸡的只数=兔的只数

　　解法2：

（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）

　　=兔的只数

　　总只数－兔的只数=鸡的只数

　　解法3：

总脚数÷2—总头数=兔的只数

　　总只数—兔的只数=鸡的只数

　　解法4：

兔的只数=总脚数÷2—总头数

　　总只数—兔的只数=鸡的只数

　　解法5（方程）：

X=（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）（X=兔的只数）

　　总只数—兔的只数=鸡的只数

　　解法6（方程）：

X=：

（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）（X=鸡的只数）

　　总只数－鸡的只数=兔的只数

　　解法7鸡的只数=（4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数）÷2兔的只数=鸡兔总只数-鸡的只数

　　解法8兔总只数=（鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数）÷2鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数

　　解法9总腿数/2-总头数=兔只数总只数-兔只数=鸡的只数

例题

　　1.班主任张老师带五年级（7）班50名同学栽树，张老师栽5棵，男生每人栽3棵，女生每人栽2棵，总共栽树120棵，问几名男生，几名女生？

　　解：

设男生有X人女生有（50-X人）。

　　3x=（50-x）

　　3x=115-2乘50+2x

　　3x=115-100+2x

　　3x=15+2x

　　x=15

　　50-15=35（人）答：

男生有15人，女生有35人。

　　2.大油瓶一瓶装4千克，小油瓶2瓶装1千克，现有100千克油装了共60个瓶子。

问大小油瓶各多少个？

　　1/2=0.5（千克）4×60=240（千克）240-100=140（千克）140/（4-0.5）=40（个）60-40=20（个）

　　答：

大瓶20个，小瓶40个。

　　3.小毛参加数学竞赛，共做20道题，得67分，已知做对一道得5分，不做得0分，错一题扣1分，又知道他做错的题和没做的同样多。

问小毛做对几道题？

　　这道题可以设小毛做对X道，那么做错（20-X）÷2，没做（20-X）÷2，然后用做对的乘5减去做错的乘1，等于67。

　　方程：

　　5X-（20-X）÷2×1=67X=14小毛做对14道

　　4.有蜘蛛，蜻蜓，蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，2对翅膀；蝉6条腿，1对翅膀），三种动物各几只？

　　解：

方程假设蜘蛛为x，蜻蜓为y，蝉为Z

　　那么x+y+z=18

　　8x+6y+6z=118

　　2y+z=20

　　由此算出x=5y=7z=6所以蜘蛛是5只蜻蜓是7只蝉是6只

例2红铅笔每支0.19元,蓝铅笔每支0.11元,两种铅笔共买了16支,花了2.80元.问红,蓝铅笔各买几支？

　　解:

以"分"作为钱的单位.我们设想,一种"鸡"有11只脚,一种"兔子"有19只脚,它们共有16个头,280只脚.

　　现在已经把买铅笔问题,转化成"鸡兔同笼"问题了.利用上面算兔数公式,就有

　　蓝笔数=（19×16-280）÷（19-11）

　　=24÷8

　　=3（支）.

　　红笔数=16-3=13（支）.

　　答:

买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.

　　对于这类问题的计算,常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的"脚数"19与11之和是30.我们也可以设想16只中,8只是"兔子",8只是"鸡",根据这一设想,脚数是

　　8×（11+19）=240（支）.

　　比280少40.

　　40÷（19-11）=5（支）.

　　就知道设想中的8只"鸡"应少5只,也就是"鸡"（蓝铅笔）数是3.

　　30×8比19×16或11×16要容易计算些.利用已知数的特殊性,靠心算来完成计算.

　　实际上,可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如,设想16只中,"兔数"为10,"鸡数"为6,就有脚数

　　19×10+11×6=256.

　　比280少24.

　　24÷（19-11）=3,

　　就知道设想6只"鸡",要少3只.

要使设想的数,能给计算带来方便,常常取决于你的心算本领.

下面再举四个稍有难度的例子.

　　例3一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时？

　　解:

我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数）,甲每小时打30÷6=5（份）,乙每小时打30÷10=3（份）.

　　现在把甲打字的时间看成"兔"头数,乙打字的时间看成"鸡"头数,总头数是7."兔"的脚数是5,"鸡"的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成"鸡兔同笼"问题了.

　　根据前面的公式

　　"兔"数=（30-3×7）÷（5-3）=4.5,

　　"鸡"数=7-4.5=2.5,

　　也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时.

　　答:

甲打字用了4小时30分.

　　例4今年是1998年,父母年龄（整数）和是78岁,兄弟的年龄和是17岁.四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍,母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时,是公元哪一年？

　　解:

4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作"鸡"头数,弟的年龄看作"兔"头数.25是"总头数".86是"总脚数".根据公式,兄的年龄是

　　（25×4-86）÷（4-3）=14（岁）.

　　1998年,兄年龄是14-4=10（岁）.

　　父年龄是（25-14）×4-4=40（岁）.

　　因此,当父的年龄是兄的年龄的3倍时,兄的年龄是　（40-10）÷（3-1）=15（岁）.

　　这是2003年.

　　答:

公元2003年时,父年龄是兄年龄的3倍.

例5蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫共18只,有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？

　　解:

因为蜻蜓和蝉都有6条腿,所以从腿的数目来考虑,可以把小虫分成"8条腿"与"6条腿"两种.利用公式就可以算出8条腿的

　　蜘蛛数=（118-6×18）÷（8-6）=5（只）.

　　因此就知道6条腿的小虫共18-5=13（只）.

　　也就是蜻蜓和蝉共有13只,它们共有20对翅膀.再利用一次公式

　　蝉数=（13×2-20）÷（2-1）=6（只）.

　　因此蜻蜓数是13-6=7（只）.

　　答:

有5只蜘蛛,7只蜻蜓,6只蝉.

　　例6某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,做对1道的有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多少人？

　　解:

对2道,3道,4道题的人共有=39（人）.

　　他们共做对181-1×7-5×6=144（道）.

　　由于对2道和3道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（（2+3）÷2=2.5）.这样

　　兔脚数=4,鸡脚数=2.5,

　　总脚数=144,总头数=39.

　　对4道题的有（144-2.5×39）÷（4-2.5）=31（人）.

　　答:

做对4道题的有31人.

二,"两数之差"的问题

　　鸡兔同笼中的总头数是"两数之和",如果把条件换成"两数之差",又应该怎样去解呢

　　例7买一些4分和8分的邮票,共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张,那么两种邮票各买了多少张？

　　解一:

如果拿出40张8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.

　　（680-8×40）÷（8+4）=30（张）,

　　这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张.

　　因此8分邮票有40+30=70（张）.

　　答:

买了8分的邮票70张,4分的邮票30张.

　　也可以用任意假设一个数的办法.

　　解二:

譬如,假设有20张4分,根据条件"8分比4分多40张",那么应有60张8分.以"分"作为计算单位,此时邮票总值是4×20+8×60=560.

　　比680少,因此还要增加邮票.为了保持"差"是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每种要增加的张数是（680-4×20-8×60）÷（4+8）=10（张）.

　　因此4分有20+10=30（张）,8分有60+10=70（张）.

例8一项工程,如果全是晴天,15天可以完成.倘若下雨,雨天一天？

　　工程要多少天才能完成

　　解:

类似于例3,我们设工程的全部工作量是150份,晴天每天完成10份,雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法,晴天有

　　（150-8×3）÷（10+8）=7（天）.

　　雨天是7+3=10天,总共

　　7+10=17（天）.

　　答:

这项工程17天完成.

　　请注意,如果把"雨天比晴天多3天"去掉,而换成已知工程是17天完成,由此又回到上一节的问题.差是3,与和是17,知道其一,就能推算出另一个.这说明了例7,例8与上一节基本问题之间的关系.

　　总脚数是"两数之和",如果把条件换成"两数之差",又应该怎样去解呢

例9鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？

　　解一:

假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡28÷2=14（只）,鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚4÷2=2（倍）,于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是（100+28÷2）÷（2+1）=38（只）.

　　鸡是100-38=62（只）.

　　答:

鸡62只,兔38只.

　　当然也可以去掉兔28÷4=7（只）.兔的只数是

　　（100-28÷4）÷（2+1）+7=38（只）.

　　也可以用任意假设一个数的办法.

　　解二:

假设有50只鸡,就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是4×50-2×50=100,

　　比28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）.为了保持总数是100,一只兔换成一只鸡,少了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只（千万注意,不是2）.因此要减少的兔数是

　　（100-28）÷（4+2）=12（只）.

　　兔只数是50-12=38（只）.

另外,还存在下面这样的问题:

总头数换成"两数之差",总脚数也换成"两数之差".

例10古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四句诗,每句都是七个字.有一诗选集,其中五言绝句比七言绝句多13首,总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首？

解一:

如果去掉13首五言绝句,两种诗首数就相等,此时字数相差13×5×4+20=280（字）.　每首字数相差7×4-5×4=8（字）.

　　因此,七言绝句有280÷（28-20）=35（首）.

　　五言绝句有35+13=48（首）.

　　答:

五言绝句48首,七言绝句35首.

解二:

假设五言绝句是23首,那么根据相差13首,七言绝句是10首.字数分别是20×23=460（字）,28×10=280（字）,五言绝句的字数,反而多了　460-280=180（字）.

　　与题目中"少20字"相差　180+20=200（字）.

　　说明假设诗的首数少了.为了保持相差13首,增加一首五言绝句,也要增一首七言绝句,而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加　200÷8=25（首）.

　　五言绝句有23+25=48（首）.

　　七言绝句有　10+25=35（首）.

　　在写出"鸡兔同笼"公式的时候,我们假设都是兔,或者都是鸡,对于例7,例9和例10三个问题,当然也可以这样假设.现在来具体做一下,把列出的计算式子与"鸡兔同笼"公式对照一下,就会发现非常有趣的事.

　例12有两次自然测验,第一次24道题,答对1题得5分,答错（包含不答）1题倒扣1分;第二次15道题,答对1题8分,答错或不答1题倒扣2分,小明两次测验共答对30道题,但第一次测验得分比第二次测验得分多10分,问小明两次测验各得多少分？

　　解一:

如果小明第一次测验24题全对,得5×24=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）得分是　8×6-2×（15-6）=30（分）.

　　两次相差120-30=90（分）.

　　比题目中条件相差10分,多了80分.说明假设的第一次答对题数多了,要减少.第一次答对减少一题,少得5+1=6（分）,而第二次答对增加一题不但不倒扣2分,还可得8分,因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少6+10=16（分）.

　　（90-10）÷（6+10）=5（题）.

　　因此,第一次答对题数要比假设（全对）减少5题,也就是第一次答对19题,第二次答对30-19=11（题）.

　　第一次得分5×19-1×（24-9）=90.

　　第二次得分8×11-2×（15-11）=80.

　　答:

第一次得90分,第二次得80分.

　　解二:

答对30题,也就是两次共答错24+15-30=9（题）.

　　第一次答错一题,要从满分中扣去5+1=6（分）,第二次答错一题,要从满分中扣去8+2=10（分）.答错题互换一下,两次得分要相差6+10=16（分）.

　　如果答错9题都是第一次,要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120分.比题目中条件"第一次得分多10分",要少了6×9+10.因此,第二次答错题数是

　　（6×9+10）÷（6+10）=4（题）·

　　第一次答错9-4=5（题）.

　　第一次得分5×（24-5）-1×5=90（分）.

　　第二次得分8×（15-4）-2×4=80（分）.

三,从"三"到"二"

　　"鸡"和"兔"是两种东西,实际上还有三种或者更多种东西的类似问题.在第一节例5和例6就都有三种东西.从这两个例子的解法,也可以看出,要把"三种"转化成"二种"来考虑.这一节要通过一些例题,告诉大家两类转化的方法.

　　例13学校组织新年游艺晚会,用于奖品的铅笔,圆珠笔和钢笔共232支,共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元,圆珠笔每支2.7元,钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支

　　解:

从条件"铅笔数量是圆珠笔的4倍",这两种笔可并成一种笔,四支铅笔和一支圆珠笔成一组,这一组的笔,每支价格算作（0.60×4+2.7）÷5=1.02（元）.

　　现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用"鸡兔同笼"公式可算出,钢笔支数是（300-1.02×232）÷（6.3-1.02）=12（支）.

　　铅笔和圆珠笔共232-12=220（支）.

　　其中圆珠笔220÷（4+1）=44（支）.

　　铅笔220-44=176（支）.

　　答:

其中钢笔12支,圆珠笔44支,铅笔176支.

　　例14商店出售大,中,小气球,大球每个3元,中球每个1.5元,小球每个1元.张老师用120元共买了55个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个

　　解:

因为总钱数是整数,大,小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是整数,而且还是3的整数倍.我们设想买中球,小球钱中各出3元.就可买2个中球,3个小球.因此,可以把这两种球看作一种,每个价钱是

　　（1.5×2+1×3）÷（2+3）=1.2（元）.

　　从公式可算出,大球个数是（120-1.2×55）÷（3-1.2）=30（个）.

　　买中,小球钱数各是（120-30×3）÷2=15（元）.

　　可买10个中球,15个小球.

　　答:

买大球30个,中球10个,小球15个.

鸡兔同笼题库

（1）

  1.龟鹤共有100个头,350只脚.龟,鹤各多少只？

　　2.学校有象棋,跳棋共26副,恰好可供120个学生同时进行活动.象棋2人下一副棋,跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副？

　　3.一些2分和5分的硬币,共值2.99元,其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍,问5分硬币有多少个？

　　4.某人领得工资240元,有2元,5元,10元三种人民币,共50张,其中2元与5元的张数一样多.那么2元,5元,10元各有多少张？

　　5.一件工程,甲单独做12天完成,乙单独做18天完成,现在甲做了若干天后,再由乙接着单独做完余下的部分,这样前后共用了16天.甲先做了多少天？

　　6.摩托车赛全程长281千米,全程被划分成若干个阶段,每一阶段中,有的是由一段上坡路（3千米）,一段平路（4千米）,一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的;有的是由一段上坡路（3千米）,一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的.已知摩托车跑完全程后,共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段？

　　7.用1元钱买4分,8分,1角的邮票共15张,问最多可以买1角的邮票多少张？