动量定理知识点精解.docx

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动量定理知识点精解

动量定理·知识点精解

1．冲量的概念

（1）冲量是描述力在某段时间累积效应的物理量，是描写过程的物理量。

（2）力的冲量是矢量

对于具有恒定方向的力来说，冲量的方向与力的方向一致；对于作用时间方向变化的力来说，冲量的方向与相应时间物体动量改变量的方向一致。

冲量的运算应使用平行四边形法则。

如果物体所受合外力的冲量都在同一条直线上，那么选定正方向后，冲量的方向可以用正、负号表示，冲量的运算就简化为代数运算了。

（3）冲量的计算

若物体受到大小、方向都不变的恒力作用，力的冲量的数值等于力与作用时间的乘积，冲量的方向与恒力方向一致；若力为同一方向均匀变化的力，该力的冲量可以用平均力计算；若力为一般变力则不能直接计算冲量。

（4）冲量的绝对性

由于力与时间均与参考系无关，所以力的冲量也与参考系的选择无关。

2．冲量的公式

由冲量的定义知，冲量用I表示，力F在时间t的冲量可以表示为：

I＝F·t

3．冲量的单位

（1）冲量单位由力和时间单位决定，在国际单位制中，冲量单位是：

牛顿·秒。

（2）冲量的单位1牛·秒=1秒·千克·米/秒2＝1千克·米/秒，同动量变化量的单位相同，但在使用过程中，两者的单位不能混用，注意区别。

4．动量定理

（1）物体所受合外力的冲量，等于这个物体动量的增加量，这就是动量定理。

设质量为m的物体受恒定合外力F的作用，在Δt时间，速度由v1变为v2，其动量的改变为ΔP＝mv2-mv1，合外力F的冲量为I=FΔt，又因F=ma，a=（v2-v1）/Δt联立得：

FΔt＝ma·Δt＝mv2-mv1＝ΔP。

（2）动量定理的研究对象是单个物体或可视为单个物体的系统。

当研究对象为物体系时，物体系总动量的增量等于相应时间物体系所受的合外力的冲量。

所谓物体系总动量的增量是指系统各物体的动量变化量的矢量和。

所谓物体系所受的合外力的冲量是指系统各物体所受的一切外力的冲量的矢量和，而不包括系统部物体之间的相互作用力（力）的冲量；这是因为力总是成对出现的，而且它们的大小相等、方向相反，其矢量和总等于零。

（3）动量定理公式中的F是研究对象所受的包括重力在的所有外力的合力。

它可以是恒力，也可以是变力。

当合外力为变力时，F应该是合外力对作用时间的平均值。

【说明】　①在打击和碰撞问题中，物体之间的相互作用力的量值很大，变化很快，作用时间短，这种作用力通常叫冲力，冲力的本质是弹力。

②当冲力比其它力大的多时，可以忽略其他力，把冲力作为公式中的F。

但是我们必须清楚这只是一种近似的处理方法。

③从物理意义上讲，公式中的F应该是合力，而不是冲力。

（4）动量定理公式中的FΔt是合外力的冲量，也可以是外力冲量的矢量合，是使研究对象动量发生变化的原因。

在所研究物理过程中，如果作用在研究对象上的各个外力的作用时间相同，求合外力的冲量时，可以先按矢量合成法则求所有外力的合力，然后再乘以力的作用时间；也可以先求每个外力在作用时间的冲量，然后再按矢量合成法则求所有外力冲量的矢量和；如果作用在研究对象上的各个力的作用时间不相同，就只能求每个力在相应时间的冲量，然后再求所有外力冲量的矢量和。

（5）动量定理中mv2-mv1是研究对象的动量增量，是过程终态动量与初态动量的差值（矢量减法）。

式中“-”号是运算符号，与正方向选取无关。

（6）动量定理中的等号（=），表明合外力的冲量与研究对象的动量增量的数值相等，方向一致，单位相同。

但决不能认为合外力的冲量就是动量的增量。

合外力的冲量是引起研究对象的运动状态改变的外来因素，而动量的增量则是研究对象受外力冲量后所导致的必然结果。

（7）FΔt=Δmv是矢量式，在应用动量定理时，应该遵循矢量运算的平行四边形法则。

也可以采用正交分解法，把矢量运算转化为标量运算。

假设用Fx（或Fy）表示合外力在x（或y）轴上的分量，vx0（或vy0）和vx（或vy）表示物体的初速度和末速度在x（或y）轴上的分量。

则

FxΔt=mvx-mvx0

FyΔt=mvy-mvy0

上述两式表明，合外力的冲量在某一坐标轴上的分量等于物体动量的增量在同一坐标轴上的分量。

在写动量定理的分量方程式时，对于已知量，凡是与坐标轴正方向同向者取正值，凡是与坐标轴正方向反向者取负值；对未知量，一般先假设为正方向，若计算结果为正，说明实际方向与坐标轴正方向一致，若计算结果为负，说明实际方向与坐标轴正方向相反。

（8）动量定理不仅适用于宏观物体的低速度运动，对微观现象和高速运动仍然适用。

【例1】　如图5-1所示，两个质量相等的物体在同一高度沿倾角不同的两个光滑斜面由静止自由滑下，到达斜面底端的过程中，两个物本具有相同的物理量是：

A．重力的冲量；

B．弹力的冲量；

C．刚到达底端时的动量；

D．合力的冲量大小；

E．刚到达底端时动量的水平分量。

【分析思路】　冲量、动量都是矢量，若比较矢量既要比较大小，又要比较方向。

对于公式I＝F·t，既适合于计算某个力的冲量，又可以计算合力的冲量，当然合力的冲量也可以由动量定理计算。

本题中重力、弹力的冲量的计算只能用I=F·t计算，只要求出力及时间即可。

计算合力冲量时原则上选两种方法都可以，用I＝FΔt计算应确定合外力及时间Δt；用FΔt=Δp、则应计算物体到达斜面末端的速度。

至于动量，只要求出动量表达式就可以确定。

【解题方法】　对斜面上的物体进行受力分析，由物体在垂直斜面方向的平衡、沿斜面的加速运动求出物体所受弹力、合力。

由牛顿第二定律求出物体加速度。

用运动学公式求物体受力时间及末速度。

应用公式I＝FΔt、P＝mv来确定量的关系。

【解题】　如图5-2所示，物体受重力、支持力（弹力），由物体运动可知：

∴a＝gsinθN＝mgcosθ

由运动学公式可得：

由I=FΔt知：

由上两式可知，冲量大小随角度变化而变，倾角不同，所以冲量不同。

故A、B不正确。

从上式看出合外力的冲量大小是相同的。

但倾角不同，合外力的冲量方向还是不同。

D正确。

由P=mv得：

两种情况动量大小一样、方向不同，C不正确。

案E不对。

【例2】　一质量为100克的小球从0.80米高处自由下落到一厚软垫上，若小球从接触软垫到陷至最低点经历了0.20秒，求这段时间弹力对小球的冲量为多少？

【分析思路】　小球从某高处由静止自由下落，经一段时间到最低点速度又变为零，此过程可以分成两种方式处理：

小球从高处只受重力作用做自由落体，接触软垫后受重力和弹力至速度为零，两过程中冲量大小相等、方向相反；也可从小球开始下落到落至最低点为一个过程，此过程中重力的冲量与弹力冲量大小相等、方向相反。

在解决此类问题时，由于作用时间较长，球与软垫接触过程中重力不能忽略。

【解题方法】　分为两段：

从开始到刚落至软垫，为自由落体运动，求v或t。

落至软垫后，根据物体受力分析，列动量定理。

注意在应用动量定理时，速度与各力的正方向选取要统一。

【解题】　小球自由落体至刚接触软垫时速度

小球在与软垫作用过程中，受力如图5-3所示。

选向上为正方向，由动量定理得：

（N-mg）·Δt=mv0

解得软垫弹力对小球冲量为：

NΔt=mv0+mgΔt=0.4+0.2=0.6（N·S）

【例3】　如图5-4所示，长为2米的不可伸长的轻绳一端系于固定点O，另一端系一质量m＝100克的小球，将小球从O点正下方h＝0.4米处水平向右抛出，经一段时间绳被拉直，拉直绳时绳与竖直方向的夹角α＝53°，以后，小球以O为悬点在竖直平面摆动，试求在绳被拉直的过程中，沿绳方向的合力给小球的冲量。

（cos53°＝0.6，sin53°＝0.8）

【分析思路】　小球被抛出后只受重力作用，做平抛运动。

在水平方向匀速直线运动，在竖直方向自由落体运动。

经过一段时间后绳被拉直，即物体在竖直方向的位移与h之和为Lcosα，在水平方向的位移为Lsinα。

但拉直绳前瞬时速度的方向并不沿绳，沿绳方向的速度由于绳的冲量作用变为零，垂直绳的方向的分量使球以O为悬点摆动。

【解题方法】　由平抛运动的知识，求出小球刚拉直绳时的水平和竖直分速度；由运动的分解求上述速度沿绳方向的分量；列动量定理方程。

【解题】　由于物体抛出后做平抛运动，设抛出到拉直绳时间为t，初速为v0，由平抛规律知：

水平方向：

Lsin53°=v0t　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（1）

由

（1）

（2）得：

＝8（m/s）

由（3）得：

＝2（m/s）

由图5-5知，分解v0、vy由动量定理：

F合t＝mv0sin53°+mvycos53°

＝0.1×（8×0.8+2×0.6）

＝0.76（N·S）

【例4】　在光滑平直的铁轨上，质量为m的机车挂着质量皆为m/2的车厢两节，机车以恒定的牵引力由静止起动，t秒前进了S米，然后将车厢与机车解脱，机车的牵引力不变，试问再过2t秒机车与车厢的距离L等于多少？

【分析思路】　由于阻力不计（光滑轨道）牵引力恒定，所以机车总是以恒定的加速度运动的，机车或机车与车厢所做的运动为匀变速直线运动。

t秒机车与车厢一起加速运动，解脱后，车厢做匀速直线运动，而机车以车厢的速度为初速做匀加速直线运动，相对车厢的运动为初速为零的匀加速直线运动。

该运动在2t秒的位移即为机车与车厢的距离。

从另一角度看，机车的牵引力是不变的，不论车厢解脱与否，相同时间的冲量总相同，固而在3t牵引力的冲量应等于机车和车厢动量的增量之和，这样就把力的问题转化为速度关系，再利用平均速度求位移之差。

解法一：

【解题方法】　由运动学及牛顿第二定律，求出两种情况下的机车加速度，根据相对运动（解脱后的车厢为匀速运动，是惯性系）求2t秒的位移。

【解题】　车厢解脱前，机车与车厢一起运动，由运动学公式及牛顿第二定律：

F=2m·a

∴F＝4ms/t2

解脱后，对机车列牛顿第二定律

F=ma′

∴a′＝4S/t2

解脱时，机车与车厢速度相同，且车厢以后做匀速运动，所以2t秒后机车与车厢距离为：

解法二：

【解题方法】　由运动学知识求t秒末v车，及加速度，再由牛顿第二定律求牵引力；根据动量定理求。

v机（3t秒时），应用平均速度公式求它们之间的距离。

【解题】　在t秒由运动学公式得：

∴v车=2S/t　　　　　　　　　a＝2S/t2

由牛顿第二定律及动量定理得：

F＝2m·a

F·（3t）=mv车+mv机

∴v机=10S/t

【说明】　用动量定理解题时较方便，但学生在此处更多的还是去考虑用运动学与牛顿第二定律求解（解法一），这是学生的一种习惯。

同时也看出，应用动量定理时，有些要求的量并不能明确体现出来，不如运动学思路更明确。

解法二中所应用的动量定理是对整体的整个过程来列的。

当系统中部分物体动量发生变化时，系统所受合外力的冲量应等于系统的动量增量，而系统的动量增量就是动量发生变化的那部分物体的动量的增量；当系统各物体的动量都发生变化且变化不同时，系统受的外力的冲量应等于各物体的动量变化量之和。

【例5】　高压采煤水枪出水口的截面积为s，水的射速为v，射到煤层上后，水速度为零，若水的密度为ρ，求水对煤层的冲力。

【分析思路】　从水枪中射出的水是连续的，这样对解题极为不便，为使连续的水象物体一样，我们可以取一小段时间的水进行研究。

射到煤层上的水，在较短时间速度变为零，煤一定对水（水为研究对象）产生了力的作用，此力为变力，因此可以由动量定理来求出煤对水的平均作用力，即冲力。

由牛顿第三定律就知道水对煤的作用力。

【解题方法】　由水流算出Δt水的质量，对Δt时间的水列动量定理，求煤对水的力，再由牛顿第三定律求水对煤的力。

【解题】　设在Δt时间，从水枪射出的水的质量为Δm，则Δm＝ρs·v·Δt。

以Δm为研究对象，它在Δt时间动量变化为：

ΔP=Δm（0-v）=-ρsv2Δt

设N为水对煤层的冲力，N′为煤层对水的反冲力，以N′的方向为正方向，根据动量定理（忽略水的重力）有：

N′·Δt=ΔP＝-ρv2sΔt

解得：

N′=-ρsv2

根据牛顿第三定律知N=-N′，所以

N=ρSv2

【说明】　这是一类变质量（或连续）问题的处理方法。

在遇到质量变化时，一般要假设一段时间的质量，然后把一段时间的质量作为研究对象处理。

【例6】　一根长度为l，质量为m的均匀的不能伸长的软绳，起初其两端系于彼此靠近的两只钩子上，如图5-6所示，为了使第二只钩于不被拉脱，它所能承受的最大拉力N必须满足什么条件？

【分析思路】　右端的绳子被释放后自由下落，而左边的绳子却静止，当右边绳转化为左边后速度就变为零，就是由于绳子由右端变为左端，就产生了对左悬点附加的拉力，而该附加力（冲力）只是在Δt的小段绳引起的，且随着右端绳下落的距离不同而发生变化，当右绳到达最低点时达最大值。

【解题方法】　研究右端下降任意高度时，Δt时间的质量m，以此为研究对象列动量定理方程，求出悬点给m的冲力的一般表达式，讨论其最大值，再由牛顿第三定律得出结论。

【解题】　释放端的绳子处于自由下落的运动状态，而仍在挂钩一侧的绳子却处于静止状态，因而下方弯曲部分的绳子要发生动量变化，可由动量定理来解决。

设在绳的自由端下落距离为h的瞬时，再过极短时间Δt，继续下落距离Δh，则在Δt时间将有长为Δh/2的一小段绳从右侧转移到左

当h=l时，v2=2gl，T有最大值

T的反作用力为左绳受的冲力T′其最大值亦为mg。

挂钩承受的拉力应为绳的重力mg和T′之和，故要求N≥2mg。