菱形复习中难题含答案.docx
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菱形复习中难题含答案
1.菱形的概念:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2.菱形的性质
(1)具有平行四边形的一切性质
(2)菱形的四条边相等
(3)菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
(4)菱形是轴对称图形
3.菱形的判定
(1)定义:
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
(2)定理1:
四边都相等的四边形是菱形
(3)定理2:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4.菱形的面积
S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
(★★)若菱形的一条对角线与边的夹角为25°,则这个菱形各内角的度数为.
【答案】50°、130°、50°、130°.
(★★)1.菱形ABCD的周长为20,两对角线长3:
4,则菱形的面积为.
【答案】244.
(★★)2.如图,E、F分别为菱形ABCD中BC、CD边上的点,△AEF是等边三角形,且AE=AB,求∠B和∠C的度数.
【答案】利用三角形内角和180度和同旁内角互补来解决问题,易得∠B=80°和∠C=100°.
(★★)菱形的两条对角线与各边一起围成三角形中,共有全等的等腰三角形的对数是.
【答案】4.
(★★)用直尺和圆规作一个菱形,如图,能得到四边形ABCD是菱形的依据是( ).
A.一组临边相等的四边形是菱形
B.四边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
【答案】B
(★★★)若菱形一边上的高的垂足是这边的中点,则这个菱形的最大内角是.
答案:
120°.
(★★★)1.菱形的对称轴共有2条.
【答案】224.
2.已知:
如图,菱形ABCD的对角线交于点O,且AO、BO的长分别是方程x2-2mx+4(m-1)=0的两根,菱形ABCD的周长为20,求m的值.
【答案】先解方程求得两根分别为2和(2m-2),再根据周长为20求得m的值为5.
(★★★)3.菱形的周长为20
,一条对角线长为8
,则菱形的面积为.
【答案】2424.
(★★)下列命题错误的有 (填写序号).
①菱形四个角都相等.
②对角线互相垂直且相等的四边形是矩形.
③对角线互相垂直且相等的四边形是菱形.
④对角线互相平分,且每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.
【答案】①②③.
(★★)1.已知四边形ABCD中,过点A、C分别作BD的平行线,过点B、D分别作AC的平行线,如果所作的四条直线围成一个菱形,则四边形ABCD必须是()
A.矩形B.菱形C.AC=BD的任意四边形D.平行四边形
【答案】C
(★★)2.
(1)用两个边长为a的等边三角形拼成的是形.
(2)用两个全等的等腰三角形拼成的是形.
(3)用两个全等的直角三角形拼成的是形.
【答案】
(1)菱形;
(2)菱形和平行四边形;(3)矩形和平行四边形.
(★★)如图,在△ABC中,AB=AC,M点是BC的中点,MG⊥AB于点G,MD⊥AC于点D,GF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E,GF与DE相交于点H,求证:
四边形GMDH是菱形.
【答案】证明:
先证明四边形GMDH是平行四边形,利用等腰三角形底边中点到两腰的距离相等得出四边形GMDH是菱形.
(★★)在菱形ABCD中,∠A=60°,E、F分别是AD、DC边上的点,∠EBF=60°.
(1)判定△BEF的形状;
(2)证明你的结论.
【答案】联结BD,易证
,故
是等边三角形.
(★★★)在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,从
(1)AB=CD;
(2)AB∥CD;(3)OA=OC;(4)OB=OD;(5)AC⊥BD;(6)AC平分∠BAD
这六个条件中,选取三个推出四边形ABCD是菱形。
如
(1)
(2)(5)
ABCD是菱形,再写出符合要求的两个:
________
ABCD是菱形;________
ABCD是菱形。
【答案】
(1)
(2)(6)或(3)(4)(5)或(3)(4)(6)
(★★★)□ABCD的对角线相交于点O,分别添加下列条件:
①AC⊥BD;②AB=BC;③AC平分∠BAD④AO=DO,
使得□ABCD是菱形的条件有()
个个个个
【答案】C.
(★★★)下列图形中,不一定为菱形的是( ).
A.两条对角线互相垂直平分的四边形
B.四条边都相等的四边形
C.有一条对角线平分一个内角的平行四边形
D.用两个边长相等的等边三角形拼成的图形
【答案】D.
(★★★)1.如图,在
中,点
分别在边
,
,
上,
且
,
.下列四个判断中,不正确的是( )
A.四边形
是平行四边形
B.如果
,那么四边形
是矩形
C.如果
平分
,那么四边形
是菱形
D.如果
且
,那么四边形
是矩形
【答案】D.
(★★★)2.如图,矩形ABCD中,O是AC与BD的交点,过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F.
(1)求证:
△DOE≌△BOF;
(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是菱形,并证明你的结论.
【答案】
(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴OD=OB,AB∥CD,
∴∠E=∠F,
∵∠DOE=∠BOF
∴△DOE≌△BOF.
(2)当EF⊥AC时,四边形AECF是菱形,
利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定定理即可证明.
1.熟练掌握菱形的概念、性质和判定是解题的关键,也是区别矩形、正方形的基础.
2.几何证明需要读题仔细,挖掘隐含的结论从而推导结论.
3.要想真正学好四边形,需要一定的练习量才能产生质变.
1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是().
A.AC⊥BD,AC与BD互相平分B.AB=BC=CD=DA
C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BDD.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD
2.已知点A、B、C、D在同一平面内,下面列有6个条件:
①AB∥CD,②AB=CD,③BC∥CD,④BC=AD,⑤AC⊥BD,⑥AC平分∠DAB与∠DCB.从这6个条件中选出(直接填写序号)___________3个,能使四边形ABCD是菱形.
3.已知:
如图,在
ABCD中,O为AC的中点,过点O作AC的垂线,与AD、BC相交于点E、F,求证:
四边形AFCE是菱形.
4.已知:
如图,在
ABCD中,AE平分∠BAD,与BC相交于点E,EF∥AB,与AD相交于点F,求证:
四边形ABEF是菱形.
5.如图,将一张矩形纸片ABCD先折出一条对角线AC,再将点A与点C重合折出折痕EF,最后分别沿AE、CF折叠.得到的四边形AECF是什么样的四边形?
试证明你的猜想.与第3题对照,你有什么发现?
6.结合所给的图形,编一道几何证明题,证明四边形AEDF是菱形.并利用所给的条件,写出“已知”“求证”和“证明”的过程.
7.已知:
如图,四边形ABCD是菱形,∠ABC=30°,求证:
.
8.已知,如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC交AD于点M,AN平分∠DAC,交BC于点N.求证:
四边形AMNE是菱形.
答案:
1.C2.(答案不惟一,只要正确即可)①②⑤或③④⑤等.
3.可证出△AEO≌△CFO,得AE=CF.再由AC是EF的垂直平分线,得EC=EA,AF=CF.
由此得EC=AF=CF,所以四边形AFCE是菱形.
4.先证四边形ABEF是平行四边形,再由AE平分∠BAF,得∠FAE=∠BAE.
又由∠FAE=∠AEB,得∠BAE=∠BEA,所以AB=BE,所以
ABEF是菱形.
5.四边形AECF是菱形,无论原图形是什么图形,只要能得到平行四边形,
在此基础上满足“对角线相互垂直”,该平行四边形就一定是菱形.
6.(答案不惟一,只要合理,符合题意即可)略.
7.过点C作CE⊥BA,垂足为E.在Rt△BEC中,∠ABC=30°,
∴
,∵四边形ABCD为菱形,
∴
.
.
又∵
,∴
.
8.证明:
∵AD⊥BC,∴∠BDA=90°,∵∠BAC=90°,
∴∠ABC+∠C=90°,∠ABC+∠BAD=90°,∴∠BAD=∠C,
∵AN平分∠DAC,∴∠CAN=∠DAN,
∵∠BAN=∠BAD+∠DAN,∠BNA=∠C+∠CAN,∴∠BAN=∠BNA,
∵BE平分∠ABC,∴BE⊥AN,OA=ON,同理:
OM=OE,
∴四边形AMNE是平行四边形,∴四边形AMNE是菱形。
知识结构
菱形的定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的性质:
1、菱形具有平行四边形的所有性质:
2、菱形的性质定理1菱形的四条边都相等.
菱形的性质定理2菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
菱形的对称性菱形既是中心对称图形,也是轴对称图形.
菱形的面积等与对角线乘积的一半
菱形的判定定理:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
(定义作为第一判定)
四条边相等的四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
一、菱形的性质
菱形的周长是它的高的8倍,则菱形较小的一个角为( )(★★)
A.
60°
B.
45°
C.
30°
D.
15°
解答方法:
菱形的周长为边长的4倍,
又∵菱形周长为高的8倍,
∴AB=2AE,
∵△ABE为直角三角形,
∴∠ABC=30°.
故选C.
答案:
本题考查了菱形各边长相等的性质,考查了直角三角形中的特殊角,本题中根据特殊角求得∠ABC=30°是解题的关键.
菱形的一条对角线与边长相等,则菱形中较小的内角是( )(★★)
A.
60°
B.
15°
C.
30°
D.
90°
解答方法:
因为菱形的一条对角线与边长相等,所以该对角线和菱形的两边组成的是等边三角形,
可得该菱形较小内角的度数是60°.
解答:
如果菱形的周长等于一条对角线长的4倍,那么这个菱形较小的一个内角等于 度.(★★)
解答方法:
∵菱形的周长等于一条对角线长的4倍,
∴AB=BD=AD,
∴△ABD是等边三角形,
∴∠A=60°.
即这个菱形较小的一个内角等于60°.
解答:
60
已知:
如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于E.求证:
∠AFD=∠CBE.(★★)
答案:
证明:
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴
.
∴
∴△BCE≌△COB(SAS).
∴ ∠CBE=∠CDE.
∵ 在菱形ABCD中,AB∥CD,∴∠AFD=∠FDC
∴ ∠AFD=∠CBE.
通过菱形的基本性质可以得到三角形全等,进而推出对应角相等,然后利用平行内错角相等进行转化即可得到要证明的结论。
1、如图,在菱形ABCD中,E为AD中点,EF⊥AC交CB的延长线于F.
求证:
AB与EF互相平分.(★★)
解题分析:
连接BD,AF,BE,
在菱形ABCD中,AC⊥BD
∵EF⊥AC,
∴EF∥BD,又ED∥FB,
∴四边形EDBF是平行四边形,DE=BF,
∵E为AD的中点,
∴AE=ED,∴AE=BF,
又AE∥BF,
∴四边形AEBF为平行四边形,
即AB与EF互相平分.
2、已知:
如图,菱形ABCD中,过AD的中点E作AC的垂线EF,交AB于点M,交CB的延长线于点F.如果FB的长是2,求菱形ABCD的周长.(★★)
解答方法:
连接BD.∵在菱形ABCD中,
∴AD∥BC,AC⊥BD.
又∵EF⊥AC,
∴BD∥EF.
∴四边形EFBD为平行四边形.
∴FB=ED=2.
∵E是AD的中点.
∴AD=2ED=4.
∴菱形ABCD的周长为4×4=16.
如图,菱形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠B=∠EAF=60°,∠BAE=18°,
则∠CEF= _________ .(★★★)
解题分析:
连接AC,
∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,
∵∠B=∠EAF=60°,∴△ABC是等边三角形,∠BCD=120°,
∴AB=AC,∠B=∠ACF=60°,
∵∠BAE+∠EAC=∠FAC+∠EAC,∴∠BAE=∠FAC,
∴
∴△ABE≌△ACF,(ASA)∴AE=AF,
又∵∠EAF=∠D=60°,∴△AEF是等边三角形,
∴∠AFE=60°,又∠AEC=∠B+∠BAE=78°,
则∠CEF=78°﹣60°=18°.
故答案为:
18°.
答案:
18°
答案:
18°
菱形的性质定理1菱形的四条边都相等.
菱形的性质定理2菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
如图,在菱形ABCD中,∠B=∠EAF=60°,∠BAE=20°,则∠CEF的大小为_________.(★★★)
解答方法:
连接AC,
在菱形ABCD中,AB=CB,∵∠B=60°,
∴∠BAC=60°,△ABC是等边三角形,
∵∠EAF=60°,∴∠BAC﹣∠EAC=∠EAF﹣∠EAC,即:
∠BAE=∠CAF,
在△ABE和△ACF中,,
∴△ABE≌△ACF(ASA),∴AE=AF,
又∠EAF=∠D=60°,则△AEF是等边三角形,
∴∠AFE=60°,又∠AEC=∠B+∠BAE=80°,
则∠CEF=80°﹣60°=20°.
故答案为20°.
如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE∥AC,DF∥AB.求证:
四边形AEDF是菱形.(★★)
解答分析:
∵AD是△ABC的角平分线,∴∠EAD=∠FAD,
∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形,∠EAD=∠ADF,
∴∠FAD=∠FDA
∴AF=DF,
∴四边形AEDF是菱形.
菱形的判定定理:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
(定义作为第一判定)
四条边相等的四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
如图,已知四边形ABCD是平行四边形,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是为E、F,并且DE=DF.求证:
四边形ABCD是菱形.(★★)
解题分析:
在△ADE和△CDF中,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,
∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠AED=∠CFD=90°.
又∵DE=DF,
∴△ADE≌△CDF(AAS)∴DA=DC,
∴平行四边形ABCD是菱形.
(2014秋•胶南市校级期末)如图:
在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,CE平分∠ACB,交AD于G,交AB于E,EF⊥BC于F.
求证:
四边形AEFG是菱形.
考点:
菱形的判定;全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;勾股定理;平行四边形的判定与性质.菁优网版权所有
专题:
证明题.
分析:
根据三角形内角和定理求出∠B=∠CAD,根据角平分线性质求出AE=EF,由勾股定理求出AC=CF,证△ACG≌△FCG,推出∠CAD=∠CFG,得出∠B=∠CFG,推出GF∥AB,AD∥EF,得出平行四边形,根据菱形的判定判断即可.
解答:
证明:
证法一:
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠B+∠BAD=90°,∠BAD+∠CAD=90°,
∴∠B=∠CAD,
∵CE平分∠ACB,EF⊥BC,∠BAC=90°(EA⊥CA),
∴AE=EF(角平分线上的点到角两边的距离相等),
∵CE=CE,
∴由勾股定理得:
AC=CF,
∵△ACG和△FCG中
,
∴△ACG≌△FCG,
∴∠CAD=∠CFG,
∵∠B=∠CAD,
∴∠B=∠CFG,
∴GF∥AB,
∵AD⊥BC,EF⊥BC,
∴AD∥EF,
即AG∥EF,AE∥GF,
∴四边形AEFG是平行四边形,
∵AE=EF,
∴平行四边形AEFG是菱形.
证法二:
∵AD⊥BC,∠CAB=90°,EF⊥BC,CE平分∠ACB,
∴AD∥EF,∠4=∠5,AE=EF,
∵∠1=180°﹣90°﹣∠4,∠2=180°﹣90°﹣∠5,
∴∠1=∠2,
∵AD∥EF,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∴AG=AE,
∵AE=EF,
∴AG=EF,
∵AG∥EF,
∴四边形AGFE是平行四边形,
∵AE=EF,
∴平行四边形AGFE是菱形.
点评:
本题考查了平行四边形的性质和判定,菱形的判定,勾股定理,全等三角形的性质和判定的应用,通过做此题培养了学生的推理能力,题目比较好,综合性也比较强.
菱形的判定定理:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
(定义作为第一判定)
四条边相等的四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
如图,△ABC中,∠BAC=90°,BG平分∠ABC,GF⊥BC于点F,AD⊥BC于点D,交BG于点E,连接EF.求证:
①AE=AG;②四边形AEFG为菱形.(★★)
解答方法:
①∵BG平分∠ABC,
∴∠ABE=∠DBE,
∵∠ABE+∠AGE=90°,∠EBD+∠DEB=90°,∠GEA=∠BED,
∴∠AEG=∠EGA,
即AG=AE.
②∵GF⊥BC于点F,AD⊥BC于点D,BG平分∠ABC,
∴AD∥GF,AG=GF,
又∵AG=AE,∴AE=GF,
∴四边形AEFG是平行四边形,
又∵AG=AE,
∴四边形AEFG为菱形
1.(2015•甘南州)如图1,在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=CD;∠ACB=∠DCE=90°,AB与CE交于F,ED与AB,BC,分别交于M,H.
(1)求证:
CF=CH;
(2)如图2,△ABC不动,将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时,试判断四边形ACDM是什么四边形?
并证明你的结论.
考点:
菱形的判定;全等三角形的判定与性质.菁优网版权所有
专题:
几何综合题.
分析:
(1)要证明CF=CH,可先证明△BCF≌△ECH,由∠ABC=∠DCE=90°,AC=CE=CB=CD,可得∠B=∠E=45°,得出CF=CH;
(2)根据△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°,推出四边形ACDM是平行四边形,由AC=CD判断出四边形ACDM是菱形.
解答:
(1)证明:
∵AC=CE=CB=CD,∠ACB=∠ECD=90°,
∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°.
在△BCF和△ECH中,,
∴△BCF≌△ECH(ASA),
∴CF=CH(全等三角形的对应边相等);
(2)解:
四边形ACDM是菱形.
证明:
∵∠ACB=∠DCE=90°,∠BCE=45°,
∴∠1=∠2=45°.
∵∠E=45°,
∴∠1=∠E,
∴AC∥DE,
∴∠AMH=180°﹣∠A=135°=∠ACD,
又∵∠A=∠D=45°,
∴四边形ACDM是平行四边形(两组对角相等的四边形是平行四边形),
∵AC=CD,
∴四边形ACDM是菱形.
点评:
菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据,常用三种方法:
①定义;
②四边相等;
③对角线互相垂直平分.具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定.
2.(2015•黄冈模拟)已知:
如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连接CF.
求证:
四边形BCFE是菱形.
考点:
菱形的判定.菁优网版权所有
专题:
证明题.
分析:
由题意易得,EF与BC平行且相等,∴四边形BCFE是平行四边形.又EF=BE,∴四边形BCFE是菱形.
解答:
解:
∵BE=2DE,EF=BE,
∴EF=2DE.
∵D、E分别是AB、AC的中点,
∴BC=2DE且DE∥BC.
∴EF=BC.
又EF∥BC,
∴四边形BCFE是平行四边形.
又EF=BE,
∴四边形BCFE是菱形.
点评:
此题主要考查菱形的判定,综合利用了平行四边形的性质和判定.
3(2014•缙云县模拟)如图,四边形ABCD是菱形,CE⊥AB交AB延长线于E,CF⊥AD交AD延长线于F,
求证:
CE=CF.
考点:
菱形的性质;角平分线的性质.菁优网版权所有
专题:
证明题.
分析:
连接AC,根据菱形的性质可得AC平分∠DAE,再根据角平分线的性质可得CE=FC.
解答:
证明:
连接AC,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC平分∠DAE,
∵CE⊥AB,CF⊥AD,
∴CE=FC.
点评:
此题主要考查了菱形的性质,以及角平分线的性质,关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;角平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
1、能力检测
(2014•漳州质检)如图,在边长为10的菱形ABCD中,对角线BD=16,点O是直线BD上的动点,OE⊥AB于E,OF⊥AD于F.
(1)对角线AC的长是 12 ,菱形ABCD的面积是 96 ;
(2)如图1,当点O在对角线BD上运动时,OE+OF的值是否会发生变化?
请说明理由;
(3)如图2,当点O在对角线BD的延长线上时,OE+OF的值是否会发生变化?
若不变,请说明理由;若变化,请探究OE、OF之间的数量关系,并说明理由.
考点:
菱形的性质.菁优网版权所有
分析:
(1)连接AC与BD相交于点G,根据菱形的对角线互相垂直平分求出BG,再利用勾股定理列式求出AG,然后根据AC=2AG计算即可得解;再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解;
(2)连接AO,根据S△ABD=S△ABO+S△ADO列式计算即可得解;
(3)连接AO,根据S△ABD=S△ABO﹣S△ADO列式整理即可得解.
解答:
解:
(1)如图,连接AC与BD相交于点G,
在菱形ABCD中,AC⊥BD,BG=BD=×16=8,
由勾股定理得,AG===6,
∴AC=2AG=2×6=12,
菱形ABCD的面积=AC•BD=×12×16=96;
故答案为:
12;96;
(2)如图1,连接AO,则S△ABD=S△ABO+S△ADO,
所以,BD•AG=AB•OE+AD•OF,
即×16×6=×10•OE+×10•OF,
解得OE+OF=是定值,不变;
(3)如图2,连接AO,则S△ABD=S△ABO﹣S△ADO,
所以,BD•AG=AB•OE﹣AD•OF,
即×16×6=×10•OE﹣×10•OF,
解得OE﹣OF=,是定值,不变,
所以,OE+OF的值变化,OE、OF之间的数量关系为:
OE﹣OF=.
点评:
本题考查了菱形的性质,三角形的面积,主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质,
(2)(3)作辅助线构造出两个三角形是解题的关键.
二、典型例题
(2015•乐陵市模拟)已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H.
(1)如图①,当∠MAN点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:
AH=AB ;
(2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,
(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?
如果不成立请写出理由,如果成立请证明;
(3)如图③,已知∠MAN=45°,AH⊥MN