华东师大版八上数学勾股定理练习题.docx
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华东师大版八上数学勾股定理练习题
华东师大版八上数学
1.在△ABC中，∠B=90°，∠A、∠B、∠C对边分别为a、b、c，则a、b、c的关系是（）
A．c2=a2+b2B．a2=（b+c）（b-c）C．a2=c2-b2D．b=a+c
知识点：
勾股定理
知识点的描述：
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，要正确的理解勾股定理的条件和结论，要明确斜边和直角边在定理中的区别。
答案：
B
详细解答：
在△ABC中，∠B=90°，∠B的对边b是斜边，所以b2=a2+c2。
a2=（b+c）（b-c）可变形为b2=a2+c2，所以选B
1.下列说法正确的是（ ）
A.若a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；
B.若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；
C.若a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2；
D.若a、b、c是Rt△ABC的三边，，则c2-b2＝a2。
答案：
D
详细解答：
A是错的，缺少直角条件；
B也是错的，不明确哪一边是斜边，无法判断哪两边的平方和等于哪一边的平方；
C也是错的，既然，那么a边才是斜边，应该是a2＝c2＋b2
D才是正确的，，那么c2＝a2+b2，即c2-b2＝a2.
2.小明量得家里新购置的彩电屏幕的长为58cm,宽为46cm,则这台电视机的尺寸（即电视机屏幕的对角线长）是（）
A.9英寸（23cm）B.21英寸（54cm）C.29英寸（74cm）D.34英寸（87cm）
知识点：
勾股定理的应用
知识点的描述：
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
求某一条线段的长度的一般方法是：
把这条线段放在一个直角三角形中，作为三角形的边来求。
答案：
C
详细解答：
如答图，四边形ABCD表示彩电屏幕，其长为58cm，即BC=58cm；宽为46cm，即AB=46cm。
在直角三角形ABC中，BC=58cm,AB=46cm,那么AC2=BC2+AB2=572+462=5365，所以AC=74cm，选C。
2.两只小鼹鼠在地下挖洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（）
A.50cmB.80cmC.100cmD.140cm
答案：
C
详细解答：
如答图，一只小鼹鼠从B挖到C，BC=8cm×10=80cm，
另一只小鼹鼠从B挖到A，BA=6cm×10=60cm，
由题意可知两个方向互相垂直，
所以AC2=AB2+BC2=602+802=10000，所以AC=100cm
3.已知一个三角形三个内角的比是1:
2:
1,则它的三条边的比是（）
A.1:
1:
B.1:
1:
2C.1:
:
D.1:
4:
1
知识点：
等腰直角三角形、含30°角的直角三角形
知识点的描述：
要求知道等腰直角三角形、含30°角的直角三角形的三边的比的来历，最好能记住三边之比。
答案：
A
详细解答：
三角形三个内角的比是1:
2:
1，可以知道三个角分别为45°、90°、45°，如答图，假设AB=1，那么BC=1，AC2=AB2+BC2=1+1=2，所以AC=，三条边的比是1:
1:
。
3．已知△ABC中，∠A=∠C=∠B，则它的三条边之比为（）．
A．1：
1：
B．1：
：
2C．1：
：
D．1：
4：
1
答案：
B
详细解答：
△ABC中，∠A=∠C=∠B，可求出∠A=30°，∠C=60°，∠B=90°，画出答图。
假设BC=1，那么AC=2，根据勾股定理得AB2=AC2-BC2=4-1=3，所以AB=，因此三边的比为1：
：
2。
4．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，这个三角形的最小锐角为（）
（A）15°（B）30°（C）45°（D）不能确定
知识点：
勾股定理在数学中的应用
知识点的描述：
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
答案：
C
详细解答：
由勾股定理得AC2=BC2+AB2，又已知斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，即AC2=2AB×BC，所以BC2+AB2=2AB×BC，得（BC-AB）2=0，所以BC=AB，所以三角形ABC是等腰直角三角形，最小锐角为45°。
4.如图所示,Rt△ABC中,BC是斜边,将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合,如果AP=3,那么PP′长为（）
（A）4（B）5（C）6（D）
答案：
D
详细解答：
由题意“将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合”知，△ABP≌△ACP′，
所以∠CAP′=∠BAP，AP′=AP，又因为∠BAC=90°，所以∠PAP′=90°，AP′=AP=3，
在直角三角形APP′中，PP′2=AP′2+AP2=32+32=18，所以PP′=
5．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x的值为（）
A．B．-C．2D．-2
知识点：
认识长度为无理数的线段
知识点的描述：
在直角三角形中利用勾股定理，可以作出长度为无理数的线段
答案：
B
详细解答：
在Rt△BCD中，CB=BD=1，那么CD2=CB2+BD2=2，所以CD=，CA=CD=，因此点A所表示的数为-
5.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）
A.0B.1C.2D.3
答案：
C
详细解答：
在Rt△ABD中，AD=5，BD=1，那么AB2=AD2+BD2=26，AB=
在Rt△BCE中，BE=3，CE=2，那么BC2=BE2+CE2=13，BC=
在Rt△ACF中，AF=4，CF=3，那么AC2=AF2+CF2=25，AC=5
所以边长为无理数的边是：
AB和BC
B
6．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）
A．5B．25C．D．5或
知识点：
两解问题
知识点的描述：
在直角三角形中应用勾股定理要注意哪一边是斜边。
答案：
D
详细解答：
如果两直角边长分别为3和4，那么第三边就是斜边，其长度为5；如果4是斜边，3是直角边，那么另一条直角边为。
6.△ABC中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是（）
A.42B.32C.42或32D.37或33
答案：
C
详细解答：
若高AD在△ABC内部，如图，
在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，那么BD2=AB2-AD2=81，BD=9
在Rt△ACD中，AC=13，AD=12，那么CD2=AC2-AD2=25，CD=5
所以BC=BD+CD=9+5=14，这时周长为15+13+14=42
若高AD在△ABC外部，如图，
在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，那么BD2=AB2-AD2=81，BD=9
在Rt△ACD中，AC=13，AD=12，那么CD2=AC2-AD2=25，CD=5
所以BC=BD-CD=9-5=4，这时周长为15+13+4=32
所以选C.
7．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（）
（A）6m（B）8m（C）10m（D）18m
知识点：
构建直角三角形、勾股定理、实际问题
知识点的描述：
在解决实际问题时，常常要构建直角三角形，构成勾股定理的模型，应用勾股定理解决实际问题
答案：
C
详细解答：
把实际问题转化为数学问题，如图,AB表示高8m的树，CD表示高2m的树，小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的最短路径为AD，过D点作AB的垂线，构成直角三角形AED。
在直角三角形AED中，DE=BC=8m，AE=AB-EB=AB-CD=6m，从而AD2=AE2+DE2=62+82=100，所以AB=10m。
7.一根高9米的旗杆在离地4米高处折断，折断处仍相连，此时在3.9米远处玩耍的身高为1米的小明是否有危险（）
A．没有危险B．有危险C．可能有危险D．无法判断
答案：
B
详细解答：
把实际问题转化为数学问题，如答图，
AB代表原旗杆的位置，AF表示折段的旗杆，CD表示小明，如果AD小于等于AF，就有危险，反之就没有危险。
过D点作AB的垂线，构成直角三角形AED。
在直角三角形AED中，DE=BC=3.9，AE=AB-EB=AB-CD=3，从而AD2=AE2+DE2=32+3.92=24.21。
由题意知AF=5，所以AF2=25，显然AD小于AF，有危险。
8．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB（）.
A．10mB．11mC．12mD．15m
知识点：
方程的思想、勾股定理的实际应用问题
知识点的描述：
在解决几何中的有关计算问题时，经常要用到代数中的方程，要形成用方程解决几何问题的思想意识。
答案：
C
详细解答：
设AD=x米，则AB为（10+x）米，AC为（15-x）米，BC为5米，
∴（x+10）2+52=（15-x）2，解得x=2，∴10+x=12（米）
所以树高12m。
8.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,如果竿顶和岸边的水平面刚好相齐,那么河水的深度为（）.
A.2mB.2.5mC.2.25mD.3m
答案：
A
详细解答：
画出如图所示的示意图，AB是竖直的竹竿，CB是拉向岸边的竹竿，CD是水面，
由题意知：
CD=1.5m，AD=0.5m,假设河水的深度BD为xm，那么竹竿的高就是（x+0.5）m，所以CB=（x+0.5）m，直角三角形BDC中应用勾股定理得（x+0.5）2=x2+1.52，解得x=2，所以河水的深度为2m
9.已知：
如图，△ABC中，BC=4，∠A=45°，∠B=60°，那么AC=（）
（A）（B）4（C）6（D）
知识点：
转化的数学思想、勾股定理
知识点的描述：
在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。
答案：
A（2也行）
分析：
由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°，添置AB边上的高这条辅助线，就可以得到直角三角形，在直角三角形中就可以求得一些线段的长度
详细解答：
作AB边的高CD,如图，
在Rt△BDC中，∠B=60°，那么∠BCD=90°-60°=30°，BC=4，
那么BD=2,利用勾股定理可求出CD=；
在Rt△ADC中，∠A=45°，那么∠ACD=90°-45°=45°，所以AD=CD=，
那么利用勾股定理得AC2=AD2+CD2=24,所以AC=；
小结：
可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。
请你思考本题还可以作其它辅助线吗？
为什么？
（注意利用特殊角）
9.已知：
如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
四边形ABCD的面积为（）。
（A）20（B）
（C）（D）16
答案：
C（目前初二的学生还没学到二次根式的化简，做到2-就可以了）
分析：
如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
不妨几种方法都尝试一下，你会有很多收获的。
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