届二轮文科数学向量运算与复数运算算法推理与证明专题卷全国通用.docx

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届二轮文科数学向量运算与复数运算算法推理与证明专题卷全国通用

第一部分专题一第二讲向量运算与复数运算、算法、推理与证明

A组

1．（2017·全国卷Ⅱ，1）＝（D）

A．1＋2i　　B．1－2i　　　

C．2＋i　　D．2－i

[解析]　＝＝＝2－i.

故选D．

2．（文）已知i为虚数单位，则复数＝（C）

A．2＋iB．2－i

C．－1－2iD．－1＋2i

[解析]　＝＝－1－2i，故选C．

（理）若（1＋2ai）i＝1－bi，其中a、b∈R，则|a＋bi|＝（C）

A．＋iB．

C．D．

[解析]　∵（1＋2ai）i＝－2a＋i＝1－bi，

∴a＝－，b＝－1，

∴|a＋bi|＝|－－i|＝＝.

3．（2018·济南二模）已知数列{an}，观察如图所示的程序框图，若输入a1＝1，d＝2，k＝7，则输出的结果为（C）

A．B．

C．D．

[解析]　由题中程序框图知，输出S＝＋＋＋…＋＝×（1－＋－＋…＋－）＝.

4．设向量a，b满足|a＋b|＝，a·b＝4，则|a－b|＝（C）

A．B．2

C．2D．

[解析]　向量的数量积．∵|a＋b|＝，a·b＝4，

∴|a＋b|2－|a－b|2＝4a·b＝16，∴|a－b|＝2，故选C．

5．设x∈R，向量a＝（x,1），b＝（1，－2），且a⊥b，则|a＋b|＝（B）

A．B．

C．2D．10

[解析]　∵a⊥b，∴a·b＝0，∴x－2＝0，∴x＝2，

∴a＋b＝（3，－1），|a＋b|＝.

6．（2018·大连一模）某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为（D）

A．21B．34

C．52D．55

[解析]　由题意可得，这种树从第一年的分枝数分别是1,1,2,3,5，…则2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3，即从第三项起，每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数是21＋34＝55.故选D．

7．下面框图所给的程序运行结果为S＝28，那么判断框中应填入的关于k的条件是（D）

A．k＝8?

B．k≤7?

C．k<7?

D．k>7?

[解析]　开始→k＝10，S＝1，满足条件→S＝1＋10＝11，k＝10－1＝9，满足条件→S＝11＋9＝20，k＝9－1＝8，满足条件→S＝20＋8＝28，k＝8－1＝7.由于输出S的值为28，故k＝7不再满足条件，故选D．

8．设D，E，F分别为△ABC的三边BC、CA、AB的中点，则＋＝（A）

A．B．C．D．

[解析]　如图，

＋

＝－（＋）－（＋）

＝－（＋）＝（＋）＝.

选A．

9．对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是（B）

A．|a·b|≤|a||b|

B．|a－b|≤||a|－|b||

C．（a＋b）2＝|a＋b|2

D．（a＋b）·（a－b）＝a2－b2

[解析]　由|a·b|＝||a|·|b|·cosθ|，

因为－1≤cosθ≤1，所以|a·b|≤|a||b|恒成立；

由向量减法的几何意义结合三角形的三边关系可得|a－b|≥||a|－|b||，故B选项不成立；

根据向量数量积的运算律C，D选项恒成立．

10．36的所有正约数之和可按如下方法得到：

因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为（1＋3＋32）＋（2＋2×3＋2×32）＋（22＋22×3＋22×32）＝（1＋2＋22）（1＋3＋32）＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为（C）

A．201B．411C．465D．565

[解析]　200的所有正约数之和可按如下方法得到：

因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为（1＋2＋22＋23）·（1＋5＋52）＝465，所以200的所有正约数之和为465.

11．设a∈R，若复数（1＋i）（a＋i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝－1.

[解析]　（1＋i）（a＋i）＝（a－1）＋（a＋1）i，所以a＋1＝0，a＝－1.

12．已知a＝（1,2），b＝（－2，m），若a∥b，则|2a＋3b|等于4.

[解析]　由a∥b⇒m＋4＝0，解得m＝－4，故2a＋3b＝2（1,2）＋3（－2，－4）＝（－4，－8），因此|2a＋3b|＝＝4.

13．已知△ABC的面积为2，且B＝，则·＝4.

[解析]　设△ABC的三角A，B，C的对边分别为a，b，c，

则S＝acsinB＝ac＝2，即ac＝8，

·＝||||·cos（π－B）＝cacos＝8×＝4.

14．执行下边的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值为13.

[解析]　第一次执行程序，满足条件x＜2，x＝1＋1＝2；第二次执行程序，不满足条件x＜2，y＝3×22＋1＝13，输出y＝13，结束．答案为13.

15．（2018·聊城一模）观察等式：

f（）＋f（）＝1；f（）＋f（）＋f（）＝；f（）＋f（）＋f（）＋f（）＝2；f（）＋f（）＋f（）＋f（）＋f（）＝；

…

由以上几个等式的规律可猜想f（）＋f（）＋f（）＋…＋f（）＝1_009.

[解析]　从所给四个等式看：

等式右边依次为1，，2，，将其变为，，，，可以得到右边是一个分数，分母为2，分子与左边最后一项中自变量的分子相同，所以f（）＋f（）＋f（）＋…＋f（）＝＝1009.

B组

1．设复数z1＝1＋i，z2＝2＋bi，若为实数，则实数b等于（D）

A．－2B．－1C．1D．2

[解析]　＝＝

＝，

若其为实数，则有＝0，解得b＝2.

2．（文）（2018·石景山检测）已知复数z＝（a2－1）＋（a＋1）i，若z是纯虚数，则实数a等于（B）

A．2B．1

C．0D．－1

[解析]　∵z为纯虚数，∴∴a＝1.

（理）已知复数z1＝1＋i，z2＝a＋i，若z1·z2为纯虚数，则实数a的值为（B）

A．－1B．1

C．－2D．2

[解析]　∵z1·z2＝（a－1）＋（a＋1）i为纯虚数，

∴，∴a＝1.

3．（2017·全国卷Ⅱ，4）设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则（A）

A．a⊥bB．|a|＝|b|

C．a∥bD．|a|>|b|

[解析]　方法一：

∵|a＋b|＝|a－b|，

∴|a＋b|2＝|a－b|2.

∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.

∴a·b＝0.

∴a⊥b.

故选A．

方法二：

利用向量加法的平行四边形法则．

在▱ABCD中，设＝a，＝b，

由|a＋b|＝|a－b|知||＝||，∴|AC|＝|DB|

从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.

故选A．

4．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（B）

A．1B．2

C．3D．4

[解析]　输入a＝1，则b＝1，第一次循环，a＝＝－，k＝1；第二次循环，a＝＝－2，k＝2；第三次循环，a＝＝1，此时a＝b，结束循环，输出k＝2.故选B．

5．（2018·潍坊一模）若复数z＝m（m－1）＋（m－1）（m－2）i是纯虚数，其中m是实数，i2＝－1，则等于（D）

A．B．－

C．D．－

[解析]　因为复数z＝m（m－1）＋（m－1）·（m－2）i是纯虚数，所以m（m－1）＝0且（m－1）（m－2）≠0，所以m＝0，则＝＝－.

6．设向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则|a－tb|（t∈R）的最小值为（A）

A．B．

C．1D．2

[解析]　由于|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，于是|a＋b|2＝1，即a2＋2a·b＋b2＝1，

即a·b＝－.

|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝（1＋t2）－2ta·b＝t2＋t＋1≥，故|a－tb|的最小值为.

7．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n（n>1，n∈N）个点，相应的图案中总的点数记为an，则＋＋＋…＋＝（C）

A．B．

C．D．

[解析]　每条边有n个点，所以三条边有3n个点，三角形的3个顶点都被重复计算了一次，所以减3个顶点，即an＝3n－3，那么＝＝＝－，

则＋＋＋…＋＝（－）＋（－）＋（－）＋…（－）＝1－＝.故选C．

8．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝（C）

A．7B．12

C．17D．34

[解析]　由程序框图知，

第一次循环：

x＝2，n＝2，a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；

第二次循环：

a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2；

第三次循环：

a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3.结束循环，输出s的值为17，故选C．

9．设复数z的共轭复数为，若z＝1－i（i为虚数单位），则＋z2的虚部为－1.

[解析]　∵z＝1－i（i为虚数单位），

∴＋z2＝＋（1－i）2＝－2i＝－2i＝－i，故其虚部为－1.

10．（文）（2018·厦门联考）刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：

甲说：

“我们四人都没考好．”

乙说：

“我们四人中有人考得好．”

丙说：

“乙和丁至少有一人没考好．”

丁说：

“我没考好．”

结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的乙，丙两人说对了．

[解析]　甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙．

（理）（2018·湖北七市联考）观察下列等式：

1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）；

1＋3＋6＋…＋n（n＋1）＝n（n＋1）（n＋2）；

1＋4＋10＋…＋n（n＋1）（n＋2）＝n（n＋1）（n＋2）·（n＋3）；

……

可以推测，1＋5＋15＋…＋n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝n（n＋1）（n＋2）（n＋3）（n＋4）（n∈N*）.

[解析]　根据式子中的规律可知，等式右侧为n（n＋1）（n＋2）（n＋3）（n＋4）

＝n（n＋1）（n＋2）（n＋3）（n＋4）（n∈N*）

11．（2017·江苏卷，4）如图是一个算法流程图，若输入x的值为，则输出y的值是－2.

[解析]　输入x＝<1，执行y＝2＋log2＝2－4＝－2，故输出y的值为－2.

12．如图所示，A、B、C是圆O上的三点，线段CO的延长线

与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是（－1,0）.

[解析]　根据题意知，线段CO的延长线与线段BA的延长线的交点为D，则＝t.

∵D在圆外，∴t<－1，

又D、A、B共线，∴存在λ、μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1，又由已知，＝m＋n，

∴tm＋tn＝λ＋μ，

∴m＋n＝，故m＋n∈（－1,0）．