分段函数的几种常见题型和解法.docx
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分段函数的几种常见题型和解法
函数的概念和性质
考点分段函数
分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数
它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并
集，其值域也是各段函数值域的并集•由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用，时常在高考试题中“闪亮”登场，本文就几种具体的题型做了一些思考，解析如下：
1•求分段函数的定义域和值域
2x2x
[1，0];
4x
x
（0，2）;的定义域、值域
3
x
[2，）；
例1•求函数f（X）
3
•求分段函数的最值
4x3（x0）
例3•求函数f（x）
x3（0x1）的最大值•
x5（x1）
4•求分段函数的解析式
例4.在同一平面直角坐标系中，函数yf（x）和yg（x）的图象关于直线yx对称，现将yg（x）的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示），则函数f（x）的表达式为（）
2x
2
（1
x
0）
A.
f（x）
2
x
~2
（0
x
2）
2x
2
（1
x
0）
B.
f（x）
2
x
~2
（0
x
2）
2x
2
（1
x
2）
C.
f（x）
_x
~2
1
（2
x
4）
f（x）
2x
6
（1
x
2）
D.
x
2
3
（2
x
4）
5•作分段函数的图像
例5．函数ye|lnx||x1|的图像大致是（）
6．求分段函数得反函数
例6已知yf（x）是
f（x）的反函数为yg（x）,
义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）3x
求g（x）的表达式.
1，设
7．判断分段函数的奇偶性
例7．判断函数f（x）
2
x2（x1）（x0）x2（x1）（x0）
的奇偶性.
8．判断分段函数的单调性
例8．判断函数f（x）
3
xx（x
2
x（x
0）的单调性.
0）
10•解分段函数的不等式
2x3,x<0,
2.（2013福建，4分）已知函数f（x）=n
—tanx,0例9•写出函数f（x）|12x||2x|的单调减区间
9•解分段函数的方程
1
则满足方程f（x）—的x的值为
1.（2013新课标全国I,
反馈练习
2
—x+2x,x<0,
5分）已知函数f（x）=
ln?
x+1?
x>0.
若|f（x）|>ax，贝Ua
4
A.75,25
C.60,25
装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（）
B.75,16
D.60,16
6.（2012江苏，5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[—1,1]上,f（x）=
2x+a,xv1,
7.（2011江苏，5分）已知实数a*0,函数f（x）=若f（1—a）=f（1+
—x—2a,x>1.
a），贝Ua的值为.
函数的概念和性质
考点一分段函数
分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数
它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并
集，其值域也是各段函数值域的并集.由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用，时常在高考试题中“闪亮”登场，本文就几种具体的题
型做了一些思考，解析如下:
1•求分段函数的定义域和值域
【解析】
2•求分段函数的函数值
【解析】
3
•求分段函数的最值
54,综上有fmax（x）4.
4
•求分段函数的解析式
例4.在同一平面直角坐标系中，函数yf（x）和y
称,现将yg（x）的图象沿x轴向左平移2个单位,再沿y轴向上平移1个单位,
2x2（1x0）于2（0x2）
B.f（x）
C.f（x）
D.f（x）
【解析】
2x2（1x0）
|2（0x2）
2x2（1x2）
今1（2x4）
2x6（1x2）
壬3（2x4）
当x[2,0]时，y^x1,将其图象沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下
平移1个单位，得解析式为y今（x2）11-2x1,所以
f（x）2x2（x[1,0]）,当x[0,1]时，y2x1,将其图象沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得解析式y2（x2）112x4,所以
5
•作分段函数的图像
例5•函数ye|M|x1|的图像大致是（）
解析：
在定义范围讨论，当
0x
x1；当
x>1时y
1，故选D
6•求分段函数得反函数
例6已知y
f（x）是定
匚义在R上的奇函数，
且当x
0时，
f（x）3x1,设
f（x）的反函数为y
g（x）,
求g（x）的表达式.
【解析】
设x0,则
x0,
所以f（x）3x1
又因为
f（x）是定
匚义在R上的奇函数
所以f（x）f（x）,且f（0）0,所以f（x）13x
因此
3x1（xf（x）0（x
13x（x
0）
0）,从而可得g（x）
0）
log3（x
0
lOg3（1
1）（x
（x
x）（x
0）
0）.
0）
例7•判断函数f（x）
x2（x1）（x
2
x（x1）（x
f（x）（
【解析】
当x0时，
x0,
f（
0）f（0）0,
当x
0,
x0
因此
对于任意x
R都有
f（x）
f（x）
7•判断分段函数的奇偶性
所以f（x）为偶函数•
2
x）（x1）
f（x）（x）2（x1）
0）的奇偶性•
0）
x2（x1）
x2（x1）f（x）
判断分段函数的单调性
例8•判断函数f（x）
3
x
2
x
x（x0）的单调性•
（x0）
【解析】
显然f（x）连续•当X
f'（x）3x211恒成立,所以
f（x）是单调递增函
f（x）
2x
0恒成立,f（x）也是单调递增函数
所以f（x）在R
上是单调递增函数；
或画图易知f（x）在R上是单调递增函数•
值为
例9•写出函数
【解析】f（x）
f（x）|12x||2
3x1（x舟）
3x
3x1
（
（x
1x
2）
9•解分段函数的方程
例10.（01年上海）设函数
f（x）
x|的单调减区间•
2），
log8ix
画图易知单调减区间为
弓］•
X（1]
''」，则满足方程
x（1,）
1
f（x）的x的
4
【解析】
若2x
；,则2x22,得x2（,1],所以x2（舍去），若log“x；,
1
则x81刁，
解得x3（1,）,所以x3即为所求.
10•解分段函数的不等式
例11.设函数f（x）
2x1（x0）
1,若f（Xo）1,则Xo得取值范围是（
x2（x0）
A.（1,1）B.（1,）
C.（,2）（0,）
D.（,1）（1,）
【解析1】
围是（,1）（1,）.
【解析2】
当x1时,f（x）1
.X13x10,所以1X10,综
【解析】
上所述,x2或Ox10,故选A项.
【点评：
】
以上分段函数性质的考查中，不难得到一种解题的重要途径，若能画出其大致图像,定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解，方程、不等式等可用数形结合
思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解，使问题得到大大简化，效果明显.
反馈练习
2
—x+2x,xw0,
1.（2013新课标全国I,5分）已知函数f（x）=若|f（x）|>ax，则a
In?
x+1?
x>0.
的取值范围是（）
A.（—a,0]B.（—a,1]
C.[—2,1]D.[—2，0]
解析：
本题考查一次函数、二次函数、对数函数、分段函数及由不等式恒成立求参数的
取值范围问题，意在考查考生的转化能力和利用数形结合思想解答问题的能力.当xW0时，
2222
f（x）=—x+2x=—（x—1）+1w0,所以|f（x）|>ax化简为x—2x>ax,即x>（a+2）x,因为xw0,所以a+2>x恒成立，所以a>—2；当x>0时，f（x）=In（x+1）>0,所以|f（x）|>ax化简为ln（x+1）>ax恒成立，由函数图象可知aw0,综上，当一2wa<0时，不等式|f（x）|>ax恒成立，选择D.
答案：
D
2x3,x<0,
n
2.（2013福建，4分）已知函数f（x）=n则ff丁=.
—tanx,0wx<2,4
解析：
本题主要考查分段函数的求值，意在考查考生的应用能力和运算求解能力.•••
nnn3
f4=—tan-=—1,•••ff4=f（—1）=2X（—1）=—2.
答案：
—2
log1x,x>1,
3.（2013北京，5分）函数f（x）=2的值域为.
2x,x<1
解析：
本题主要考查分段函数的概念、性质以及指数函数、对数函数的性质，意在考查
考生对函数定义域、值域掌握的熟练程度.
分段函数是一个函数，其定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并
集.当x>1时，log1xW0,当x<1时，0<2x<2，故值域为（0,2）U（—a,0]=（—a,2）.
2
答案：
（一a,2）
由①②得a=2,
b=—4,从而a+3b=—10.
2
x+1,x<1,
4.（2012江西，5分）若函数f（x）=则f（f（10））=（）
lgx,x>1,
装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（）
答案：
D
6.（2012江苏，5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[—1,1]上,f（x）=
31
解析：
因为f（x）是定义在R上且周期为2的函数，所以f（|）=f（—-），且f（—1）=f
（1）,
答案：
—10
2x+a,xv1,
7.（2011江苏，5分）已知实数a*0,函数f（x）=若f（1—a）=f（1+
—x—2a,x>1.
a），贝Ua的值为
解析：
①当1—av1,即卩a>0时，此时a+1>1,由f（1—a）=f（1+a），得2（1—a）
3
+a=—（1+a）—2a,计算得a=—空（舍去）；②当1—a>1,即卩av0时，此时a+1v1,由
3
f（1—a）=f（1+a），得2（1+a）+a=—（1—a）—2a,计算得a=—4符合题意，所以综上所述，a=—.
4
2•求分段函数的函数值
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