分段函数的几种常见题型和解法.docx

1、分段函数的几种常见题型和解法函数的概念和性质考点分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内 ， 有不同的对应法则的函数它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数 ；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知 识的程度的考察上有较好的作用 ，时常在高考试题中“闪亮”登场，本文就几种具体的题 型做了一些思考，解析如下：1求分段函数的定义域和值域2x 2 x1，0;4xx（0，2）;的定义域、值域3x2，）；例1 求函数f（X）3求分段函数的最值4x 3 (x 0)例3求函数f (x)x 3 (0 x 1)的最大值x 5

2、 (x 1)4求分段函数的解析式例4.在同一平面直角坐标系中，函数y f (x)和y g(x)的图象关于直线 y x对 称，现将y g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位，所得 的图象是由两条线段组成的折线(如图所示) ，则函数f (x)的表达式为()2x2(1x0)A.f(x)2x2(0x2)2x2(1x0)B.f(x)2x2(0x2)2x2(1x2)C.f(x)_x21(2x4)f(x)2x6(1x2)D.x23(2x4)5作分段函数的图像例 5函数 y e|ln x| | x 1|的图像大致是( )6求分段函数得反函数例 6 已知 y f(x) 是f(x) 的反函

3、数为 y g(x) ,义在R上的奇函数，且当x 0时，f(x) 3x求 g(x) 的表达式 .1， 设7判断分段函数的奇偶性例 7判断函数 f(x)2x2(x 1) (x 0) x2(x 1)(x 0)的奇偶性 .8判断分段函数的单调性例 8判断函数 f(x)3x x(x2x (x0) 的单调性 .0)10 解分段函数的不等式2x3, x0,2. ( 2013福建，4分)已知函数f(x) = ntan x, 0 xy,例9写出函数f(x) |1 2x| |2 x|的单调减区间9 解分段函数的方程1则满足方程f (x)的x的值为1. ( 2013新课标全国I,反馈练习2x + 2x, x 0.若

4、 | f (x)| ax，贝U a4A. 75,25C. 60,25装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是( )B. 75,16D. 60,166.(2012江苏，5分)设f (x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1 上, f(x)=2x + a, x v 1,7.( 2011江苏，5分)已知实数 a* 0,函数f(x)= 若f(1 a) = f(1 +x 2a, x 1.a)，贝U a的值为 .函数的概念和性质考点一分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内 ， 有不同的对应法则的函数它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数 ；它的定义域是各段函数定义域的并集

5、，其值域也是各段函数值域的并集.由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知 识的程度的考察上有较好的作用 ，时常在高考试题中“闪亮”登场，本文就几种具体的题型做了一些思考，解析如下:1 求分段函数的定义域和值域【解析】2 求分段函数的函数值【解析】3求分段函数的最值5 4,综上有 fmax(x) 4.4求分段函数的解析式例4.在同一平面直角坐标系中，函数y f (x)和y称,现将y g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位,再沿y轴向上平移1个单位,2x 2 ( 1 x 0) 于 2 (0 x 2)B.f(x)C.f(x)D.f(x)【解析】2x 2 ( 1 x 0)| 2 (0x2)2x 2

6、(1 x 2)今 1 (2 x 4)2x 6 (1 x 2)壬 3 (2 x 4)当x 2,0时，y x 1,将其图象沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移 1个单位， 得解析式为y今(x2)11 -2x1, 所以f(x) 2x 2 (x 1,0),当x 0,1时，y 2x 1,将其图象沿x轴向右平移 2 个单位，再沿y轴向下平移 1个单位，得解析式y 2(x 2) 1 1 2x 4, 所以5作分段函数的图像例5函数y e|M |x 1|的图像大致是()解析：在定义范围讨论，当0x1 时 y1，故选D6 求分段函数得反函数例6已知yf (x)是定匚义在R上的奇函数，且当x0时，f(x) 3x

7、 1,设f(x)的反函数为yg(x),求g(x)的表达式.【解析】设x 0,则x 0,所以 f( x) 3 x 1,又因为f (x)是定匚义在R上的奇函数所以 f( x) f(x),且 f (0) 0,所以 f(x) 1 3 x因此3x 1 (x f(x) 0 (x1 3 x(x0)0), 从而可得g(x)0)log3(x0lOg3(11) (x(xx)(x0)0).0)例7 判断函数f(x)x2(x 1) (x2x (x 1)(xf( x)(【解析】当x 0时，x 0,f(0) f(0) 0,当x0,x 0因此, 对于任意xR都有f( x)f(x)7 判断分段函数的奇偶性所以f (x)为偶函

8、数2x) ( x 1)f( x) ( x)2( x 1)0)的奇偶性0)x2(x 1)x2(x 1) f(x)判断分段函数的单调性例8判断函数f(x)3x2xx(x 0)的单调性(x 0)【解析】显然f (x)连续当Xf(x) 3x2 1 1恒成立,所以f (x)是单调递增函f (x)2x0恒成立,f (x)也是单调递增函数所以f(x)在R上是单调递增函数；或画图易知f (x)在R上是单调递增函数值为例9 写出函数【解析】f (x)f(x) |1 2x| |23x 1 (x 舟)3 x3x 1(x1 x2)9 解分段函数的方程例10.(01年上海)设函数f(x)x|的单调减区间2)，log8i

9、 x画图易知单调减区间为弓X ( 1 ，则满足方程x (1,)1f (x) 的x的4【解析】若2 x；,则 2 x 22,得 x 2 ( ,1,所以 x 2(舍去)，若 log“x ；,1则x 81刁，解得x 3 (1,),所以x 3即为所求.10 解分段函数的不等式例11 .设函数f (x)2 x 1 (x 0)1 ,若f (Xo) 1 ,则Xo得取值范围是(x2 (x 0)A.( 1,1) B.( 1,)C. ( , 2) (0,)D. ( , 1) (1,)【解析1】围是(,1) (1,).【解析2】当 x 1 时,f (x) 1.X 1 3 x 10 ,所以 1 X 10,综【解析】上

10、所述,x 2或Ox 10,故选A项.【点评：】以上分段函数性质的考查中，不难得到一种解题的重要途径 ，若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解 ，方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解 ，使问题得到大大简化，效果明显.反馈练习2x + 2x, xw 0,1. ( 2013新课标全国I, 5分)已知函数f(x)= 若|f(x)| ax，则aIn? x+ 1?, x 0.的取值范围是( )A. ( a, 0 B.( a, 1C. 2,1 D. 2，0解析：本题考查一次函数、二次函数、对数函数、分段函数及由不等式恒成立求参数的取值范

11、围问题，意在考查考生的转化能力和利用数形结合思想解答问题的能力. 当xW0时，2 2 2 2f (x) = x + 2x = (x 1) + 1w0,所以 | f(x)| ax化简为 x 2xax,即 x (a+ 2)x, 因为xw0,所以a + 2 x恒成立，所以 a 2；当x0时，f(x) = In( x+ 1) 0,所以 | f (x)| ax化简为ln( x+ 1) ax恒成立，由函数图象可知 aw0,综上，当一2w a ax恒成立，选择 D.答案：D2x3, x0,n2. ( 2013福建，4分)已知函数f(x) = n 则f f 丁 = .tan x, 0w x 1,3. (201

12、3北京，5分)函数f (x) = 2 的值域为 .2x, x1 时，log 1 xW0,当 x1 时，02x2，故值域为(0,2) U ( a, 0 = ( a, 2).2答案：(一a, 2)由得a= 2,b= 4,从而 a+ 3b= 10.2x + 1, x 1 ,装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是( )答案：D6. (2012江苏，5分)设f (x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1 上, f(x)=3 1解析：因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f(|) = f(-)，且f( 1) = f(1),答案：102x + a, x v 1,7. (2011江苏，5分)已知实数 a*0,函数f(x)= 若f(1 a) = f(1 +x 2a, x 1.a)，贝U a的值为解析：当 1 av 1,即卩 a0 时，此时 a+ 1 1,由 f(1 a) = f(1 + a)，得 2(1 a)3+ a= (1 + a) 2a,计算得a=空(舍去)；当1 a 1,即卩av 0时，此时a+ 1 v 1,由3f (1 a) = f (1 + a)，得 2(1 + a) + a= (1 a) 2a,计算得 a= 4 符合题意，所以综上 所述，a= .42 求分段函数的函数值