最新数据结构实验五矩阵的压缩存储与运算.docx
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最新数据结构实验五矩阵的压缩存储与运算
数据结构实验五矩阵的压缩存储与运算
第五章 矩阵的压缩存储与运算
【实验目的】
1.熟练掌握稀疏矩阵的两种存储结构（三元组表和十字链表）的实现；
2.掌握稀疏矩阵的加法、转置、乘法等基本运算；
3.加深对线性表的顺序存储和链式结构的理解。
第一节 知识准备
矩阵是由两个关系（行关系和列关系）组成的二维数组，因此对每一个关系上都可以用线性表进行处理；考虑到两个关系的先后，在存储上就有按行优先和按列优先两种存储方式，所谓按行优先，是指将矩阵的每一行看成一个元素进行存储；所谓按列优先，是指将矩阵的每一列看成一个元素进行存储；这是矩阵在计算机中用一个连续存储区域存放的一般情形，对特殊矩阵还有特殊的存储方式。
一、特殊矩阵的压缩存储
1.对称矩阵和上、下三角阵
若n阶矩阵A中的元素满足 = （0≤i，j≤n-1 ）则称为n阶对称矩阵。
对n阶对称矩阵，我们只需要存储下三角元素就可以了。
事实上对上三角矩阵（下三角部分为零）和下三角矩阵（上三角部分为零），都可以用一维数组ma[0.. ]来存储A的下三角元素（对上三角矩阵做转置存储），称ma为矩阵A的压缩存储结构，现在我们来分析以下，A和ma之间的元素对应放置关系。
问题已经转化为：
已知二维矩阵A[i，j]，如图5-1，
我们将A用一个一维数组ma[k]来存储，它们之间存在着如图5-2所示的一一对应关系。
任意一组下标（i,j）都可在ma中的位置k中找到元素m[k]= ；这里：
k=i（i+1）/2+j （i≥j）
图5-1 下三角矩阵
a00a10a11a20…an-1,0…an-1,n-1
k= 0 1 2 3 … n（n-1）/2 … n（n+1）/2-1
图5-2下三角矩阵的压缩存储
反之，对所有的k=0,1，2,…,n（n+1）/2-1，都能确定ma[k]中的元素在矩阵A中的位置（i,j）。
这里，i=d-1，（d是使sum= > k的最小整数），j= 。
2.三对角矩阵
在三对角矩阵中，所有的非零元素集中在以主对角线为中心的带内状区域中，除了主对角线上和直接在对角线上、下方对角线上的元素之外，所有其它的元素皆为零，见图5-3。
图5-3 三对角矩阵A
与下三角矩阵的存储一样，我们也可以用一个一维数组ma[0..3n-2]来存放三对角矩阵A，其对应关系见图5-4。
a00a01a10a11a12…an-1,n-2an-1,n-1
k= 0 1 2 3 4 … 3n-3 3n-2
图5-4下三角矩阵的压缩存储
A中的一对下标（i,j）与ma中的下标k之间有如下的关系：
公式中采用了C语言的符号，int（）表示取整，‘%’表示求余。
二、稀疏矩阵
在m×n 的矩阵中，有t个非零元。
令δ= ,称δ矩阵的稀疏因子，常认为δ≤0.05时称为稀疏矩阵。
稀疏矩阵在工程中有着大量的应用，不少工程问题都可以转化为对稀疏矩阵的计算问题。
如何进行稀疏矩阵的压缩存储呢？
为节省存储空间，应只存储非零元素。
除了存储非零元的值之外，还必须记下所在行和列的位置（i,j），即一个三元组（i,j, ）唯一确定了矩阵A的一个非零元素。
1.三元组顺序表
以顺序存储结构来表示三元组表，则可称稀疏矩阵的一种压缩存储方式。
//稀疏矩阵的三元组顺序表存储表示。
#define MaxSize 10 //用户自定义
typedef int Datatype; //用户自定义
typedef struct{ //定义三元组
int i；//非零元的行下标
int j; //非零元的列下标
Datatype v; //非零元的数据值
}TriTupleNode;
typedef struct{
TriTupleNode data[MaxSize];//非零元的三元组表
int m,n,t;//矩阵行，列及三元组表长度
}TriTupleTable;
2.十字链表
当矩阵的非零元个数和位置在操作过程中变化较大时，就不宜采用顺序存储结构来表示三元组的线性表，采用纵横交叉的十字链表就比较好。
在十字链表中，每个非零元可用一个含五个域的结点表示，其中i, j和e三个域分别表示该非零元所在的行、列和非零元的值，向右域right用以链接同一行中下一个非零元。
向下域down用以链接同一列中下一个非零元。
同一行中的非零元通过right域链接成一个线性链表，每个非零元既是某个行链表中的一个结点，又是某个列链表中的一个结点，整个矩阵构成了一个十字交叉的链表，故称这样的存储结构为十字链表，如图5-5所示。
图5-5 稀疏矩阵M的十字链表
typedef int Datatype; //用户自定义
typedef struct OLNode{
int i,j; //该非零元的行和列下标
Datatype v;
Struct OLNode *right,*down //该非零元所在行表和列表的后继链域
}OLNode;*OLink;
typedef struct {
OLink *rhead,*chead
int mu,nu,tu;
}CrossList;
第二节用三元组表实现稀疏矩阵的基本操作
【问题描述】用三元组表实现稀疏矩阵的按列转置。
【数据描述】
typedef int Datatype; //用户自定义
typedef struct
{//定义三元组
int i,j; // 非零元素的行下标和列下标
Datatype v;
}TriTupleNode;
typedef struct{//定义三元组表
TriTupleNode data[MaxSize];
int m,n,t;//矩阵行，列及三元组表长度
}TriTupleTable;
【算法描述】
按照列序来进行转置。
为了找到每一列中所有的非零元素，需要对其三元组表从第一行起整个扫描一遍。
Status TransposeSMatrix（TriTupleTable a, TriTupleTable &b）{
b.m=a.n;b.n=a.m;b.t=a.t;
if（b.t）{
q=0;
for（col=1;col<=a.n;++col）
for（p=0;p<=a..t;++p）
if（a.data[p].j==col）{
b.data[q].i=a.data[p].j;b.data[q].j=a.data[p].i;
b.data[q].v=a.data[p].v;++q;}
}
return OK;
}
【C源程序】
#include
#include
#define Ok 1
#define Maxsize 10 //用户自定义三元组最大长度
typedef struct{ /*定义三元组表*/
int i，j;
int v;
}TriTupleNode;
typedef struct{ /*定义三元组表*/
TriTupleNode data[Maxsize];
int m;
int n;
int t; /*矩阵行，列及三元组表长度*/
}TriTupleTable;
void InitTriTupleNode （TriTupleTable *a）{ /*输入三元组表*/
int i,j,k,val,maxrow,maxcol;
char contiue;
maxrow=0;
maxcol=0;
i=j=0;
k=0;
while（i!
=-1&&j!
=-1）{ /*rol=-1&&col=-1结束输入*/
printf（"input row \n"）;
scanf（"%d",&i）;
printf（"input col \n"）;
scanf（"%d",&j）;
printf（"input value\n"）;
scanf（"%d",&val）;
a->data[k].i=i;
a->data[k].j=j;
a->data[k].v=val;
if （maxrow if （maxcol k++;
}
a->m=maxrow;a->n=maxcol;a->t=k-1;
}
void showMatrix（TriTupleTable *a）{ /*输出稀疏矩阵*/
int p,q;
int t=0;
for（p=1;p<=a->m;p++）
{for（q=1;q<=a->n;q++）
{ if （a->data[t].i==p&&a->data[t].j==q）
{printf（"%d ",a->data[t].v）;
t++;
}
else printf（"0 "）;
}
printf（"\n" ）;
}
}
TransposeSMatrix（TriTupleTable *a,TriTupleTable *b）
{int q,col,p;
b->m=a->n;b->n=a->m;b->t=a->t;
if（b->t）
{q=0;
for（col=1;col<=a->n;++col）
for（p=0;pt;++p）
if（a->data[p].j==col）
{ b->data[q].i=a->data[p].j;
b->data[q].j=a->data[p].i;
b->data[q].v=a->data[p].v;++q;
}
}
}
void main（ void）
{TriTupleTable *a,*b;
InitTriTupleNode（a）;
showMatrix（a）; /*转置前*/
TransposeSMatrix（a,b）;
showMatrix（b）; /*转置后*/
}
【测试数据】
输入：
输出：
1 2 0 0 1 4 0
4 3 0 7 2 3 0
0 0 0 8 0 0 0
0 7 8
【说明】
分析算法,主要的工作是在p和col的两重循环中完成，算法的时间复杂度为O（n*t）。
如果非零元素个数t和m*n同数量级时，算法的时间复杂度变为O（m*n2）。
【实验题】
1.稀疏矩阵按行序进行转置。
2.两个稀疏矩阵的相加运算。
第三节 十字链表表示稀疏矩阵的基本操作
【问题描述】两个相同行数和列数的稀疏矩阵用十字链表实现加法运算
【数据描述】
typedef struct ele {/* 十字链表结点类型*/
int row, col;
double val;
struct ele *rig
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