2．近心运动：
当Fn>mω2r时，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动。
板块二 考点细研·悟法培优
考点1圆周运动的运动学分析[基础强化]
1．圆周运动各物理量间的关系
2．对公式v＝ωr的理解
当r一定时，v与ω成正比；当ω一定时，v与r成正比；当v一定时，ω与r成反比。
3．对a＝
＝ω2r的理解
当v一定时，a与r成反比；当ω一定时，a与r成正比。
4．常见的三种传动方式及特点
（1）皮带传动：
如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
（2）摩擦传动：
如图丙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
（3）同轴传动：
如图丁所示，两轮固定在一起绕同一转轴转动，两轮转动的角速度大小相等，即ωA＝ωB。
例1 如图所示的皮带传动装置中，右边两轮连在一起同轴转动。
图中三轮半径的关系为：
r1＝2r2，r3＝1.5r1，A、B、C三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑，则A、B、C三点的线速度之比为______；角速度之比为________；周期之比为______。
（1）A、B两点位于两轮边缘靠皮带传动，那么vA与vB有什么关系？
ωA与ωB有什么关系？
提示：
vA＝vB，
＝
。
（2）B、C为同轴转动的两点，vB与vC，ωB与ωC的关系是什么？
提示：
ωB＝ωC，
＝
。
尝试解答 1∶1∶3__1∶2∶2__2∶1∶1。
因为A、B两轮由不打滑的皮带相连，所以相等时间内A、B两点转过的弧长相等，即vA＝vB，则v＝ωr知
＝
＝
，又B、C是同轴转动，相等时间内转过的角度相等，即ωB＝ωC，由v＝ωr知
＝
＝
＝
所以vA∶vB∶vC＝1∶1∶3
ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶2
再由T＝
可得
TA∶TB∶TC＝1∶
∶
＝2∶1∶1。
总结升华
传动装置类问题的关键
（1）确定属于哪类传动方式，抓住传动装置的特点。
①同轴传动：
固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同；②皮带传动、齿轮传动和摩擦传动：
皮带（或齿轮）传动和不打滑的摩擦传动的两轮边缘上各点线速度大小相等。
如例题，右边两轮为同轴传动；左轮与右边小轮为皮带传动。
（2）结合公式v＝ωr，v一定时ω与r成反比，ω一定时v与r成正比，判定各点v、ω的比例关系，若判定向心加速度a的比例，巧用a＝ωv这一规律。
[2017·桂林模拟]如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来。
a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的（ ）
A．线速度大小之比为3∶2∶2
B．角速度之比为3∶3∶2
C．转速之比为2∶3∶2
D．向心加速度大小之比为9∶6∶4
答案 D
解析 A、B轮摩擦传动，故va＝vb，ωaRA＝ωbRB，ωa∶ωb＝3∶2；B、C同轴，故ωb＝ωc，
＝
，vb∶vc＝3∶2，因此va∶vb∶vc＝3∶3∶2，ωa∶ωb∶ωc＝3∶2∶2，故A、B错误。
转速之比等于角速度之比，故C错误。
由a＝ωv得：
aa∶ab∶ac＝9∶6∶4，D正确。
考点2圆锥摆模型及其临界问[深化理解]
1．圆锥摆模型的受力特点
受两个力，且两个力的合力沿水平方向，物体在水平面内做匀速圆周运动。
2．运动实例：
圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行、半圆形的碗内物体做匀速圆周运动。
3．解题方法：
①对研究对象进行受力分析，确定向心力来源。
②确定圆心和半径。
③应用相关力学规律列方程求解。
4．规律总结
（1）圆锥摆的周期
如图摆长为L，摆线与竖直方向夹角为θ。
受力分析，由牛顿第二定律得：
mgtanθ＝m
r
r＝Lsinθ
解得T＝2π
＝2π
（2）结论
①摆高h＝Lcosθ，周期T越小，圆锥摆转的越快，θ越大。
②绳的拉力F＝
，圆锥摆转的越快，摆线拉力F越大。
③摆球的加速度a＝gtanθ。
例2 （多选）如图所示，物体P用两根长度相等、不可伸长的细线系于竖直杆上，它们随杆转动，若转动角速度为ω，则（ ）
A．ω只有超过某一值时，绳子AP才有拉力
B．绳子BP的拉力随ω的增大而增大
C．绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力
D．当ω增大到一定程度时，绳子AP的张力大于绳子BP的张力
（1）据圆锥摆的结论，ω较小时AP绳一定有力吗？
提示：
不一定，ω越小，BP与杆夹角越小，AP会松。
（2）当ω增大到一定程度时，物体P受几个力，如何处理这几个力？
提示：
三个力，重力、BP拉力、AP拉力，沿水平方向、竖直方向正交分解。
尝试解答 选ABC。
ω较小时，绳子AP处于松弛状态，只有ω超过某一值，才产生拉力，A正确；当AP、BP都产生张力之后，受力如图，
FBPsinα＝mg＋FAPsinα①
FBPcosα＋FAPcosα＝mω2r②
由①②可知FBP>FAP，随ω的增大FBP、FAP都变大，B、C正确，D错误。
总结升华
解决圆锥摆临界问题的技巧
圆锥摆的临界问题，主要就是与弹力有关的临界问题。
（1）绳上拉力的临界条件是
①绳恰好拉直且没有弹力。
②绳上的拉力恰好达最大值。
如例题中，AP绳恰好拉直且没有作用力为临界状态，此时对应的ω0为临界角速度，据ω＞ω0或ω＜ω0来判断小球的受力情况。
（2）压力、支持力的临界条件是物物间的弹力恰好为零。
如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长为L的绳（质量不计），一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的物体（物体可看作质点），物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。
（1）当v＝
时，求绳对物体的拉力；
（2）当v＝
时，求绳对物体的拉力。
答案
（1）1.03mg
（2）2mg
解析 物体的受力分析如图所示，当v达到一定值v0时，斜面给物体的支持力FN＝0，则有：
mgtanθ＝m
解得：
v0＝
（1）v1＝
正交分解列方程：
水平方向：
FTsinθ－FNcosθ＝
竖直方向：
FTcosθ＋FNsinθ＝mg
解得：
FT＝
mg＋
mg≈1.03mg。
（2）当v2＝
>v0时，物体已离开锥面，但仍绕轴线做水平面内的匀速圆周运动，设此时绳与轴线间的夹角为α（α>θ）。
则有FT2sinα＝m
FT2cosα＝mg
联立得，cosα＝
，所以α＝60°
FT2＝
mg＋
mg＝2mg。
考点3水平转盘上运动物体的临界问题[解题技巧]
水平转盘上运动物体的临界问题，主要涉及到与摩擦力和弹力有关的临界极值问题。
1．如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力Fm＝
，方向指向圆心。
2．如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其临界情况要根据题设条件进行判断。
3．注意审题，关注题目中的关键词，从而确定临界条件，然后通过受力分析，对于不同运动过程或现象，选择相应的物理规律，列关系式求解。
例3 [2014·全国卷Ⅰ]（多选）如图，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。
若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（ ）
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝
是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝
时，a所受摩擦力的大小为kmg
（1）木块和水平圆盘何时发生相对滑动？
提示：
它们之间的摩擦力达到最大值时。
（2）如何分析a、b谁先滑动？
提示：
谁的临界角速度小谁先滑动。
尝试解答 选AC。
因圆盘从静止开始绕转轴缓慢加速转动，在某一时刻可认为，木块随圆盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，两木块转动过程中角速度相等，则根据牛顿第二定律可得f＝mω2R，由于小木块b的轨道半径大于小木块a的轨道半径，故小木块b做圆周运动需要的向心力较大，因为两小木块的最大静摩擦力相等，故b一定比a先开始滑动，B错误，A正确；当b开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg＝mω
·2l，可得ωb＝
，C正确；当a开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg＝mω
l，可得ωa＝
，而转盘的角速度
<
，小木块a未发生滑动，其所需的向心力由静摩擦力来提供，由牛顿第二定律可得f＝mω2l＝
kmg，D错误。
总结升华
解临界问题的注意事项
（1）先确定研究对象受力情况，看哪些力充当向心力，哪些力可能突变引起临界问题。
（2）注意分析物体所受静摩擦力大小和方向随圆盘转速的变化而发生变化。
（3）关注临界状态，即静摩擦力达最大值时。
例题中，随圆盘转动、静摩擦力提供向心力，随转速的增大，静摩擦力增大，当达到最大静摩擦力时开始滑动，出现临界情况，此时对应的角速度为临界角速度。
如图所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，物体A到圆心的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连，物体B的质量也为m。
若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ，则转盘转动的角速度ω在什么范围内，物体A才能随盘转动？
答案
≤ω≤
解析 由于A在转盘上随转盘做匀速圆周运动，所以它所受的合力必然指向圆心。
对物体A进行受力分析可知，重力与支持力平衡，绳的拉力指向圆心，因此A所受的摩擦力方向一定沿着半径方向，或指向圆心，或背离圆心。
具体而言，当ω较小时，A有向圆心O运动的趋势，故转盘对A的摩擦力方向背离圆心；当ω较大时，A有远离圆心O运动的趋势，故转盘对A的摩擦力方向指向圆心。
当A将要沿转盘背离圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向指向圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力，即
F＋Fm＝mrω
，①
由于B静止，则有F＝mg②
又因为Fm＝μFN＝μmg③
由①②③式可得：
ω1＝
。
当A将要沿转盘指向圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向背离圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为F－Fm＝mrω
④
由②③④式可得：
ω2＝
。
故要使A随转盘一起转动，其角速度ω的范围为ω2≤ω≤ω1，即
≤ω≤
。
考点4竖直面内圆周运动——“绳”模型和“杆”模型[拓展提升]
1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：
一是无支撑（如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等），称为“绳（环）约束模型”，二是有支撑（如球与杆连接、在弯管内的运动等），称为“杆（管）约束模型”。
2．绳、杆模型涉及的临界问题
绳模型
杆模型
常见
类型
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
受力
特征
除重力外，物体受到的弹力方向：
向下或等于零
除重力外，物体受到的弹力方向：
向下、等于零或向上
受力
示意图
过最高
点的临
界条件
由mg＝m
得
v临＝
由小球恰能做圆周运动得v临＝0
讨论
分析
（1）过最高点时，v≥
，FN＋mg＝m
，绳、圆轨道对球产生弹力FN
（2）不能过最高点时，v<
，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
（1）当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心
（2）当0时，mg－FN＝m
，FN背离圆心，随v的增大而减小
（3）当v＝
时，FN＝0
（4）当v>
时，FN＋mg＝m
，FN指向圆心并随v的增大而增大
例4 [2017·烟台模拟]一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
（1）杆模型中小球通过最高点的临界速度是多大？
提示：
v＝0。
（2）最高点时杆对球的力一定是拉力吗？
提示：
不一定，还可以是支持力，要据最高点速度大小来判定。
尝试解答 选A。
轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度v＝
时，杆所受的弹力等于零，A正确，B错误；若v<
，则杆在最高点对小球的弹力竖直向上，mg－F＝m
，随v增大，F减小，若v>
，则杆在最高点对小球的弹力竖直向下，mg＋F＝m
，随v增大，F增大，故C、D均错误。
总结升华
竖直面内圆周运动类问题的解题技巧
（1）定模型：
首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同。
（2）确定临界点：
抓住绳模型中最高点v≥
及杆模型中v≥0这两个临界条件。
（3）研究状态：
通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。
（4）受力分析：
对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F合＝F向。
（5）过程分析：
应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。
1.如图所示，小球紧贴在竖直放置的光滑圆形管道内壁做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是（ ）
A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝
B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
答案 C
解析 此题属于杆模型，最高点的最小速度vmin＝0，故A、B错误；当小球在ab以下的管道中运动时，外侧管壁需给小球支持力和重力一起提供向心力，故C正确；当小球在水平线ab以上的管道中运动时，要看速度的大小来决定是外侧管壁对小球有力，还是内侧管壁对小球有力，故D错误。
2.[2018·忻州一中检测]如图所示，两段长均为L的轻质线共同系住一个质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间距也为L，今使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时速度为v，两段线中张力恰好均为零，若小球到达最高点时速率为2v，则此时每段线中张力大小为（ ）
A.
mgB．2mg
C．3mgD．4mg
答案 A
解析 当小球到达最高点时速率为v，两段线中张力恰好均为零，有mg＝m
；当小球到达最高点时速率为2v，设每段线中张力大小为F，应有2Fcos30°＋mg＝m
；解得F＝
mg，选项A正确。
[2013·重庆高考]（16分）如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。
转台以一定角速度ω匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度大小为g。
（1）若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；
（2）ω＝（1±k）ω0，且0试卷抽样
评析指导
1.失分点①：
方程和结果错误，被扣1分。
失分原因：
该同学分析正确但列方程时出现错误，对公式使用上所表述的意义、理解不透彻。
补偿建议：
在对公式的使用上面圆心在哪半径是指哪一段需搞清楚。
规范解答：
列出正确方程mgtanθ＝mω
Rsinθ，ω0＝
2．失分点②：
摩擦力的方向判断错误。
失分原因：
该同学两次分析摩擦力的方向错误而造成丢分。
意义：
应加强对摩擦力方向判断的理解。
补偿建议：
加深对摩擦力概念的理解。
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