高中数学高一下学期期末考试试卷(含答案).docx

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高一期末测试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合A={x|x<1}，B={x|3x<1}，则（    ）

A. B.A∪B=R

C. D.A∩B=⌀

2.在下列区间中，函数f（x）=ex+4x-3的零点所在的区间为（  ）

A.（-2,-1） B.（-1,0） C.（0,12） D.（12,1）

3.已知向量a与b的夹角为30°，且|a|=3，|b|=2，则|a-b|等于（    ）

A.1 B.13 C.13 D.7-23

4.设x∈R，向量a=（3,x），b=（-1,1），若a⊥b，则|a|=（    ）

A.6 B.4 C.32 D.3

5.若sinα=-513，α为第四象限角，则tanα的值等于（    ）

A.125 B.-125 C.512 D.-512

6.在△ABC中，a=23，c=22，A=60°，则C=（    ）

A.30° B.45° C.45°或135° D.60°

7.已知数列{an}中，a1=1，且an+1=2an+1，则a4=（    ）

A.7 B.9 C.15 D.17

8.等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3+a9=16，则S11=（    ）

A.88 B.48 C.96 D.176

9.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为60o，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（    ）

A.303

B.30（3-1）

C.403

D.40（3-1）

10.若函数y=x2+（2a-1）x+1在区间（-∞,2]上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）

A.[-32,+∞） B.（-∞,-32] C.[32,+∞） D.（-∞,32]

11.已知f（x）是定义在上的偶函数，且在区间（-∞,0）上单调递增，若实数a满足f（2|a-1|）>f（-2），则a的取值范围是（    ）

A.（-∞,12） B.（-∞,12）∪（32,+∞）

C.（12,32） D.（32,+∞）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

12.已知向量a与b的夹角为2π3，|a|=2，则a在b方向上的投影为______．

13.如图，在△OAB中，C是AB上一点，且AC=2CB，设 OA=a,OB=b，则OC=______.（用a,b表示）

14.已知锐角α，β满足sinα=55,sin（α-β）=-1010，则β等于______．

15.数列{an}前n项和为Sn=n2+3n，则{an}的通项等于______．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

16.某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？

最大月收益是多少？

17.已知向量a,b满足：

|a|=2,|b|=4，且（a-b）⋅b=-20．

（1）求证：

（a+b）⊥a；

（2）求向量a与b的夹角．

18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且acosC+ccosA=2bcosA.

（1）求角A的值；

（2）若b+c=10,a=2,求△ABC的面积S．

19.已知，，f（x）=a⋅b．

（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；

（2）求函数f（x）在区间[0,π2]上的最大值和最小值．

20.已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，满足b1=a2=2，a5+a9=14，b4=a15+1．

（1）求数列{an}，{bn}通项公式；

（2）令cn=an⋅bn，求数列{cn}的前n项和Tn．

21.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2（n∈N*）.

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{Sn}的前n项和Tn．

答案和解析

1.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查交集和并集的求法，考查指数不等式的解法，属于基础题．

先求出集合B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．

【解答】

解：

∵集合A={x|x<1}，

B={x|3x<1}={x|x<0}，

∴A∩B={x|x<0}，所以A正确，D错误，

A∪B={x|x<1}，所以B和C都错误，

故选A．

2.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查函数零点存在性定理，属于基础题．

由函数解析式可知f（0）·f（12）<0，进而根据函数零点存在性定理可知函数f（x）=ex+4x-3的零点所在的区间．

【解答】

解：

∵函数f（x）=ex+4x-3在上连续，且易知f（x）在上是增函数，

∴f（x）至多只有一个零点，

∵f（0）=e0-3=-2<0，

f（12）=e+2-3=e-1=e12-e0>0，

∴f（0）·f（12）<0，

∴由函数零点存在性定理可知函数f（x）=ex+4x-3的零点所在的区间为（0,12）.

故选C．

3.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查了向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．

由向量数量积的定义可得a·b的值，再由向量的模的平方即为向量的平方，计算即可得到所求值．

【解答】

解：

向量a与b的夹角为30°，且|a|=3，|b|=2，

可得a·b=|a|⋅|b|⋅cos30°=3×2×32=3，

则|a-b|=（a-b）2=a2+b2-2a⋅b

=3+4-2×3=1．

故选：

A．

4.【答案】C

【解析】解：

∵x∈R，向量a=（3,x），b=（-1,1），a⊥b，

∴a⋅b=-3+x=0，

解得x=3，∴a=（3,3），

∴|a|=9+9=32．

故选：

C．

由a⊥b，求出x=3，从而a=（3,3），由此能求出|a|.

本题考查向量的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量垂直的性质的合理运用．

5.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．属于基础题．

利用同角三角函数的基本关系式求出cosα，然后求解即可．

【解答】

解：

∵sinα=-513，α为第四象限角，

∴cosα=1-sin2α=1213，

即tanα=sinαcosα=-512．

故选D．

6.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．

由已知即正弦定理可得sinC=csinAa=22，利用大边对大角可得0

【解答】

解：

∵a=23，c=22，A=60°，

∴由正弦定理可得：

sinC=csinAa=22×3223=22，

∵c

0

∴C=45°．

故选B．

7.【答案】C

【解析】解：

∵a1=1，且an+1=2an+1，

变形为an+1+1=2（an+1），

∴数列{an+1}是等比数列，首项与公比都为2．

∴an+1=2n，即an=2n-1，

则a4=24-1=15．

故选：

C．

a1=1，且an+1=2an+1，变形为an+1+1=2（an+1），利用等比数列的通项公式即可得出．

本题考查了等比数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

8.【答案】A

【解析】解：

∵等差数列{an}中，a3+a9=16，

∴S11=a1+···+a11=11a6=112（a3+a9）=88，

故选：

A．

由题意、等差数列的性质、等差数列的前n项和公式，化简并求出S11的值．

本题考查等差数列的性质，等差数列的前n项和公式的灵活应用，考查整体思想，属于基础题．

9.【答案】C

【解析】解：

由题意可知∠C=30°，∠BAC=30°，∠DAB=30°，AD=60m，

∴BC=AB=60cos30∘=403．

故选：

C．

由题意画出图形，利用特殊角的三角函数，可得答案．

本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义，属于中档题．

10.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查函数单调性的性质，其中熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键，属于基础题．

由已知中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可以判断出函数y=x2+（2a-1）x+1图象的形状，分析区间端点与函数图象对称轴的关键，即可得到答案．

【解答】

解：

∵函数y=x2+（2a-1）x+1的图象是开口向上，以直线x=-2a-12为对称轴，

又∵函数在区间（-∞,2]上是减函数，

∴2≤-2a-12，

解得a≤-32．

故选B．

11.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了指数函数的单调性，奇偶性的性质，属于中档题．

根据偶函数的对称性可知f（x）在（0,+∞）递减，故只需令2a-1<2即可．

【解答】

解：

∵f（x）是定义在上的偶函数，且在区间（-∞,0）上单调递增，

∴f（x）在（0,+∞）上单调递减，

∵2a-1>0，f（-2）=f

（2），

∴2a-1<2=212，

∴|a-1|<12，

解得12

故选C．

12.【答案】-22

【解析】解：

根据条件，a在b方向上的投影为：

|a|cos=2cos2π3=-22．

故答案为：

-22．

由条件，可得出a在b方向上的投影为|a|cos2π3，从而求出投影的值．

考查向量夹角的概念，向量投影的概念及计算公式．

13.【答案】13a+23b

【解析】解：

OC=OA+AC=OA+23AB=OA+23（OB-OA）=13OA+23OB

则OC=13a+23b．

故答案为：

13a+23b

利用向量的线性运算即可．

本题考查了向量的线性运算，属于基础题．

14.【答案】π4

【解析】【分析】

本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式，属于基础题．

由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα、cos（α-β）的值，可得tanα，tan（α-β）的值，再利用两角和差的正切公式求得tanβ=tan[（α-（α-β）]的值．

【解答】

解：

∵锐角α，β满足sinα=55,sin（α-β）=-1010，

∴cosα=1-sin2α=255，cos（α-β）=1-sin2（α-β）=31010，

∴tanα=sinαcosα=12，tan（α-β）=sin（α-β）cos（α-β）=-13，

∴tanβ=tan[（α-（α-β）]=tanα-tan（α-β）1+tanα⋅tan（α-β）=12+131-12⋅13=1,

故β=π4，

故答案为：

π4．

15.【答案】an=2n+2

【解析】【分析】

本题考查数列的递推公式，数列的通项公式，考查学生的计算能力，属于基础题．

根据公式an=S1,n=1Sn-Sn-1,n≥2进行计算，解题时要注意公式中对n=1的检验．

【解答】

解：

当n=1时，a1=S1=1+3=4，

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2+3n）-[（n-1）2+3（n-1）]=2n+2，

当n=1时，2×1+2=4=a1，适合上式，

∴an=2n+2．

故答案为an=2n+2．

16.【答案】解：

（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，

未租出的车辆数为3600-300050=12，

所以这时租出了88辆车．

（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，

则租赁公司的月收益为f（x）=（100-x-300050）（x-150）-x-300050×50，

整理得f（x）=-x250+162x-21000=-150（x-4050）2+307050．

所以，当x=4050时，f（x）最大，最大值为f（4050）=307050，

即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．

【解析】（Ⅰ）严格按照题中月租金的变化对能租出车辆数的影响列式解答即可；

（Ⅱ）从月租金与月收益之间的关系列出目标函数，再利用二次函数求最值的知识，要注意函数定义域优先的原则．作为应用题要注意下好结论．

本题以实际背景为出发点，既考查了信息的直接应用，又考查了目标函数法求最值．特别是二次函数的知识得到了充分的考查．在应用问题解答中属于非常常规且非常有代表性的一类问题，非常值得研究．

17.【答案】证明：

（1）∵|b|=4,（a-b）⋅b=-20，∴a⋅b-b2=a⋅b-16=-20，

∴a⋅b=-4，

∵|a|=2，

∴（a+b）⋅a=a2+a⋅b=0，

∴（a+b）⊥a．

（2）设向量a与b的夹角为θ，则cosθ=a,b|a|⋅|b|=-12，

θ=1200.即向量a与b的夹角为120°．

【解析】

（1）先计算a⋅b，再计算（a+b）⋅a=0即可得出结论；

（2）代入夹角公式计算即可．

本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．

18.【答案】解：

（1）在△ABC中，∵acosC+ccosA=2bcosA，

∴sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，

∴sin（A+C）=sinB=2sinBcosA，

∵sinB≠0，

∴cosA=12，

由A∈（0,π），

可得：

A=π3；

（2）∵cosA=12=b2+c2-a22bc，b+c=10 ,  a=2，

∴b2+c2=bc+4，可得：

（b+c）2=3bc+4=10，

可得：

bc=2， 

∴S=12bcsinA=32．

【解析】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，平方和公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

（1）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得sinB=2sinBcosA，结合sinB≠0，可求cosA，进而可求A的值．

（2）由已知及余弦定理，平方和公式可求bc的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

19.【答案】解：

，，

由

，

∴f（x）的最小正周期T=2π2=π，

由，

得：

π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z，

∴f（x）的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ]，k∈Z；

（2）由x∈[0,π2]可得：

2x+π6∈[π6,7π6],

当2x+π6=7π6时，函数f（x）取得最小值为2sin7π6+1=0,

当2x+π6=π2时，函数f（x）取得最大值为2sinπ2+1=3,

故得函数f（x）在区间[0,π2]上的最大值为3，最小值为0．

【解析】本题考查三角函数化简及三角函数的图象与性质，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．

（1）由f（x）=a⋅b，根据向量的数量积的运用可得f（x）的解析式，化简，利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；

（2）在[0,π2]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得出f（x）的最大值和最小值．

20.【答案】解：

（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

∵a2=2，a5+a9=14，

∴a1+d=2，2a1+12d=14，解得a1=d=1．

∴an=1+（n-1）=n．

∴b1=a2=2，b4=a15+1=16=2×q3，

∴q=2．

∴bn=2n．

（2）cn=an⋅bn=n⋅2n．

∴数列{cn}的前n项和Tn=2+2×22+3×23+…+n⋅2n ①，

2Tn=22+2×23+…+（n-1）⋅2n+n⋅2n+1②，

∴①-②⇒-Tn=2+22+…+2n-n⋅2n+1

=21-2n1-22（2n-1）2-1-n⋅2n+1

=（1-n）⋅2n+1-2．

∴Tn=（n-1）⋅2n+1+2．

【解析】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．

（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

21.【答案】解：

（Ⅰ）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2①．

则Sn+1=2an+1-2②，

②-①得an+1=2an，

即an+1an=2，

当n=1时，a1=S1=2a1-2，

解得a1=2，

所以数列的通项公式为an=2⋅2n-1=2n，

（Ⅱ）由于an=2n，

则Sn=21+22+…+2n，

=2（2n-1）2-1，

=2n+1-2．

Tn=2（21+22+…+2n）-2-2-…-2，

=2n+2-4-2n．

【解析】（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．

（Ⅱ）利用数列的通项公式，直接利用等比数列的前n项和公式求出结果．

本题考查的知识要点：

数列的通项公式的求法，等比数列前n项和的公式的应用以及分组求和．

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