数值分析上机题matlab版东南大学.docx
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数值分析上机题matlab版东南大学
数值分析上机报告
第一章
一、题目
精确值为
。
1)编制按从大到小的顺序
,计算SN的通用程序。
2)编制按从小到大的顺序
,计算SN的通用程序。
3)按两种顺序分别计算
并指出有效位数。
(编制程序时用单精度)
4)通过本次上机题,你明白了什么?
二、通用程序
clear
N=input('PleaseInputanN(N>1):
');
AccurateValue=single((0-1/(N+1)-1/N+3/2)/2);
Sn1=single(0);
fora=2:
N;
Sn1=Sn1+1/(a^2-1);
end
Sn2=single(0);
fora=2:
N;
Sn2=Sn2+1/((N-a+2)^2-1);
end
fprintf('ThevalueofSnusingdifferentalgorithms(N=%d)\n',N);
disp('____________________________________________________')
fprintf('AccurateCalculation%f\n',AccurateValue);
fprintf('Caculatefromlargetosmall%f\n',Sn1);
fprintf('Caculatefromsmalltolarge%f\n',Sn2);
disp('____________________________________________________')
三、求解结果
PleaseInputanN(N>1):
10^2
ThevalueofSnusingdifferentalgorithms(N=100)
____________________________________________________
AccurateCalculation
Caculatefromlargetosmall
Caculatefromsmalltolarge
____________________________________________________
PleaseInputanN(N>1):
10^4
ThevalueofSnusingdifferentalgorithms(N=10000)
____________________________________________________
AccurateCalculation
Caculatefromlargetosmall
Caculatefromsmalltolarge
____________________________________________________
PleaseInputanN(N>1):
10^6
ThevalueofSnusingdifferentalgorithms(N=1000000)
____________________________________________________
AccurateCalculation
Caculatefromlargetosmall
Caculatefromsmalltolarge
____________________________________________________
四、结果分析
有效位数
n
顺序
100
10000
1000000
从大到小
6
3
3
从小到大
5
6
6
可以得出,算法对误差的传播又一定的影响,在计算时选一种好的算法可以使结果更为精确。
从以上的结果可以看到从大到小的顺序导致大数吃小数的现象,容易产生较大的误差,求和运算从小数到大数算所得到的结果才比较准确。
第二章
一、题目
(1)给定初值
及容许误差
,编制牛顿法解方程f(x)=0的通用程序。
(2)给定方程
易知其有三个根
a)由牛顿方法的局部收敛性可知存在
当
时,Newton迭代序列收敛于根x2*。
试确定尽可能大的
。
b)试取若干初始值,观察当
时Newton序列的收敛性以及收敛于哪一个根。
(3)通过本上机题,你明白了什么?
文件
%%定义函数f(x)
functionFx=fx(x)
Fx=x^3/3-x;
文件
%%定义导函数df(x)
functionFx=dfx(x)
Fx=x^2-1;
文件
%%Newton法求方程的根%%
clear
%%
ef=10^-6;%给定容许误差10^-6
k=0;
x0=input('PleaseinputinitialvalueXo:
');
disp('kXk');
fprintf('0%f\n',x0);
flag=1;
whileflag==1&&k<=10^3
x1=x0-fx(x0)/dfx(x0);
ifabs(x1-x0)flag=0;
end
k=k+1;
x0=x1;
fprintf('%d%f\n',k,x0);
end
文件
%%寻找最大的delta值%%
clear
%%
flag=1;
k=1;
x0=0;
whileflag==1
delta=k*10^-6;
x0=delta;
k=k+1;
m=0;
flag1=1;
whileflag1==1&&m<=10^3
x1=x0-fx(x0)/dfx(x0);
ifabs(x1-x0)<10^-6flag1=0;
end
m=m+1;
x0=x1;
end
ifflag1==1||abs(x0)>=10^-6flag=0;
end
end
fprintf('Themaximundeltais%f\n',delta);
二、通用程序
三、求解结果
1.运行文件
结果为:
Themaximumdeltais
即得最大的δ为,Newton迭代序列收敛于根
=0的最大区间为(,)。
2.运行文件
在区间
上各输入若干个数,计算结果如下:
区间
上取-1000,-100,-50,-30,-10,-8,-7,-5,-3,
PleaseinputinitialvalueXo:
-10000
kXk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
PleaseinputinitialvalueXo:
-100
kXk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
PleaseinputinitialvalueXo:
-50
kXk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
PleaseinputinitialvalueXo:
-30
kXk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
PleaseinputinitialvalueXo:
-10
kXk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
PleaseinputinitialvalueXo:
-8
kXk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
PleaseinputinitialvalueXo:
-7
kXk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
PleaseinputinitialvalueXo:
-5
kXk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
PleaseinputinitialvalueXo:
-3
kXk
0
1
2
3
4
5
6
PleaseinputinitialvalueXo:
kXk
0
1
2
3
4
5
结果显示,以上初值迭代序列均收敛于,即根
。
在区间
即区间(-1,)上取,,,,,计算结果如下:
PleaseinputinitialvalueXo:
kXk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
PleaseinputinitialvalueXo:
kXk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
PleaseinputinitialvalueXo:
kXk
0
1
2
3
4
5
6
PleaseinputinitialvalueXo:
kXk
0
1
2
3
4
5
6
7
PleaseinputinitialvalueXo:
kXk
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
计算结果显示,迭代序列局部收敛于,即根
,局部收敛于,即根
。
在区间
即区间(,)上,由的运行过程表明,在整个区间上均收敛于0,即根
。
在区间
即区间(,1)上取,,,,,计算结果如下:
计算结果显示,迭代序列局部收敛于,即根
,局部收敛于,即根
。
区间
上取100,60,20,10,7,6,4,3,,计算结果如下:
]
结果显示,以上初值迭代序列均收敛于,即根
。
综上所述:
(-∞,-1)区间收敛于,(-1,δ)区间局部收敛于,局部收敛于,(-δ,δ)区间收敛于0,(δ,1)区间类似于(-1,δ)区间,(1,∞)收敛于。
通过本上机题,明白了对于多根方程,Newton法求方程根时,迭代序列收敛于某一个根有一定的区间限制,在一个区间上,可能会局部收敛于不同的根。
第三章
一、题目
列主元Gauss消去法对于某电路的分析,归结为求解线性方程组
。
其中
(1)编制解n阶线性方程组
的列主元高斯消去法的通用程序;
(2)用所编程序线性方程组
,并打印出解向量,保留5位有效数;
二、通用程序
%%列主元Gauss消去法求解线性方程组%%
%%参数输入
n=input('PleaseinputtheorderofmatrixA:
n=');%输入线性方程组阶数n
b=zeros(1,n);
A=input('InputmatrixA(suchasa2ordermatrix:
[12;3,4]):
');
b(1,:
)=input('Inputthecolumnvectorb:
');%输入行向量b
b=b';C=[A,b];%得到增广矩阵
%%列主元消去得上三角矩阵
fori=1:
n-1[maximum,index]=max(abs(C(i:
n,i)));
index=index+i-1;
T=C(index,:
);
C(index,:
)=C(i,:
);
C(i,:
)=T;
fork=i+1:
n%%列主元消去
ifC(k,i)~=0
C(k,:
)=C(k,:
)-C(k,i)/C(i,i)*C(i,:
);
end
end
end
%%回代求解%%
x=zeros(n,1);
x(n)=C(n,n+1)/C(n,n);
fori=n-1:
-1:
1
x(i)=(C(i,n+1)-C(i,i+1:
n)*x(i+1:
n,1))/C(i,i);
end
A=C(1:
n,1:
n);%消元后得到的上三角矩阵
disp('Theupperteianguularmatrixis:
')
fork=1:
n
fprintf('%f',A(k,:
));
fprintf('\n');
end
disp('Solutionoftheequations:
');
fprintf('%.5g\n',x);%以5位有效数字输出结果
PleaseinputtheorderofmatrixA:
n=4
InputmatrixA(suchasa2ordermatrix:
[12;3,4])[121-2
253-2
-2-235
1323]
Inputthecolumnvectorb:
[47-10]
Solutionoftheequations:
2
-1
2
-1
以教材第123页习题16验证通用程序的正确性。
执行程序,输入系数矩阵A和列向量b,结果如下:
结果与精确解完全一致。
三、求解结果
执行程序,输入矩阵A(即题中的矩阵R)和列向量b(即题中的V),得如下结果:
PleaseinputtheorderofmatrixA:
n=9
InputmatrixA(suchasa2ordermatrix:
[12;3,4]):
[31-13000-10000
-1335-90-110000
0-931-1000000
00-1079-30000-9
000-3057-70-50
0000-747-3000
00000-304100
0000-50027-2
000-9000-229]
Inputthecolumnvectorb:
[-1527-230-2012-7710]
Solutionoftheequations:
由上述结果得:
第四章
一、题目
二、通用程序
三、求解结果
1、数据输入
Inputn:
n=10
Inputx:
[012345678910]
Inputy:
[]
Inputthederivativeofy(0):
Inputthederivativeofy(n):
2、计算结果
第五章
一、题目
二、通用程序
三、运行结果
第六章
一、题目
二、通用程序
1、RK4方法的通用程序
2、AB4方法的通用程序
3、AB4-AB4预测校正方法的通用程序
4、带改进的AB4-AB4预测校正方法的通用程序
三、结果比较
四、结论