西电期末考试信号与系统大总结所有.docx

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西电期末考试信号与系统大总结所有

连续时间信号

时间区间

瞬时功率

能量

平均功率

周期信号

线性

判断方法：

先线性运算，后经系统的结果=先经系统，后线性运算的结

时不变性

若f（t）yf（t），则f（tt0）yf（tt0）若x（n）

系统时不变性：

1电路分析：

元件的参数值是否随时间而变化

2方程分析：

系数是否随时间而变

3输入输出分析：

输入激励信号有时移，输出响应信号也同样有时移。

功率信号：

0P且E

能量信号：

0E且P

备注：

第一章引论

第二、三章.连续时间信号、离散时间信号与系统时域分析

．普通信号

普通信号

f（t）Kest（,

），

s

j

直流信号

实指数信号

虚指数信号

正弦信号

复指数信号

、冲激信号

冲激信号A（t）

一般定

义

A（t）0

A（t）

A（t）dt

t0

t0

A

泛函定义:

A（t）（t）dtA（0）

筛选特性

特别：

f（t）（t）f

（t0）（t

取样特性

特别：

f（t）（t）

tf（

展缩特性

证明：

1.a02.a

0

阶跃信号Au（t）

t0处可以定义为

0,12,1

性质

t

d

1.A

（）d

Au（t）

2.A（）

ddt[Au（t）]

斜坡信号Ar（t）

性质

t

d

1.A

u（t）dt

Ar（t）

2.Au（t）

ddt[Ar（t）]

高阶冲激信号（n）（t）

说明：

1.（t）量纲是s2

冲激偶信号'（t）

3.'（t）是奇函数

筛选特性

证明：

对f（t）（t

t0）f

取样特性

证明：

关键利用筛选特性

展缩特性

特别：

a1,b0时'（

'（t）是奇函数

备注：

1.尺度变换：

（an）（n）

三.卷积

连续时间信号

卷积定义

交换率

分配率

结合率

奇异信号卷积特性

单位元特性

延时特性

积分特性

冲激偶卷积

四.电路元件的运算模型

元件

名称

电路符号

时域

电路符号

频域

电路

u:

i关系

运算模型

运算模型

电

阻

电

容

电

感

五.连续时间系统时域分析

系统建立微分方程建立算子方程：

D（p）y（t）N（p）f（t）系统的特征

六.系统的特征方程

连续时间系统零输入响应

条件yx（t）的表式y0（n）的

n个各不相同的实数

r个重根0，n-1个单根

i个成对的共轭复根

连续时间系统

传输算子H（p）

冲激响应h（t）

八.基本离散信号

七.系统的冲激响应和单位样值响应

单位样值信号（n）

单位阶跃序列u（n）

斜变序列nu（n）

矩形序列Gk（n）

复指数序列

指数序列

虚指数序列

九.离散信号的性质

周期性

2

当0N2k即N2k为整数时，sin0n才是周期序列0

0为数字角频率单位：

弧度

0为模拟角频率单位：

弧度/秒0（,）

序列的累加

序列的差分

一阶前向：

x（n）x（n1）x（n）

一阶后向：

x（n）x（n）x（n1）

序列的移位

单位超前算子：

Ekx（n）x（nk）单位延迟算子：

Ekx（n）x（nk）

十.信号的分解

○1直流分量与交流分量○2奇分量与偶分量

备注：

无

第四章.连续时间信号与系统频域分析

1.周期信号的频谱分析

1.简谐振荡信号是线性时不变系统的本征信号：

傅里叶变换：

H（j）ejh（）d

点测法：

y（t）ejtH（j）

2.傅里叶级数和傅里叶变换

在时域内

周期信号分解傅里叶级数

在频域内

非周期信号分解傅里叶变换

周期信号分解傅里叶变换

3.荻里赫勒（Dirichlet）条件（只要满足这个条件信号就可以用傅里叶级数展开）

t0T

○1f（t）绝对可积，即t0f（t）dt

○2f（t）的极大值和极小值的数目应有限

○3f（t）如有间断点，间断点的数目应有限4.周期信号的傅里叶级数

周期信号的傅里叶级数

三角形式

指数形式

5.波形对称性与谐波特性的关系

对称性傅里叶级数中所含分量余弦分量系数an

只有奇次谐波

半周期重叠（偶谐函数

f（t）f（tT2）

6.周期矩形脉冲信号

内瓣内含2T1条谱线

7.线性时不变系统对周期信号的响应

一般周期信号：

f（t）Fnejnt

n

系统的输出：

y（t）FnH（jnt）ejnt

n

二.非周期信号的傅里叶变换（备注）

备注序号

说明内容

证明：

f1（t）21F1（）ejtd[f2（）ejd]ejtd

11

求sgn（t）解：

由etu（t）1（0）etu（t）etu（t）1jj

证明：

f（t）21F（）ejtd替，换tf（t）21F（）ejd

证明：

f（tt0）f（tt0）ejtdtf（）ej（t0）d（令tt0）

dn

1.ddtnf（t）（j）nF（）

2.证明：

df（t）1dt2

F（）[ddtejt]d

jF（）ejtdjF（）

用法：

信

号可以分解成两个信号，其中之一的频谱是冲激或冲激串使用

1.注意：

要避免出现

1

（）（）及（

j

）等不确定的的乘积关系，如求

u（t）

u（t）tu（t），

再用频域微分特性。

2.证明：

t

f（）d

f（t）u（t）而u（t）

（）j1j

t

则f（）d

f（t）u（t）F（）[

1F（）

（）1]F（）F（0）（）jj

备注

二.非周期信号的傅里叶变换

1.连续傅里叶变换性质

连续傅里叶变换性质及其对偶关系

傅氏变换：

F（）f（t）ejtdt

傅氏反变换：

f（t）21F（）ejtd

连续傅里叶变换对

相对

名称

连续时间函f（t）

傅里叶变换F（）

备注

名称

连续

唯一性

线性

尺度比例变换

对称性

时移

频移

时域微分性质

频域微分性质

时域积分性质

频域积分性质

时域卷积性质

频域卷积性质

对称性

奇偶虚实性质

f（

希尔伯特变换

时域抽样

频域抽样

帕什瓦尔公式

2122

f（t）2dt21F（）dF（）2：

能量谱密度、能量谱

中心纵坐标

F（0）f（t）dt（条件：

limf（t）0）

1

f（0）2F（）d（条件：

limF（）0）

2.常用傅里叶变换对

常用的连续傅里叶变换对及其对偶关系

连续傅里叶变换对

相对偶的连续

重要

连续时间函数f（t）

傅里叶变换F（）

连续时间函数f（t）

傅

√

1

1

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

四.无失真传输

1.输入信号f（t）与输出信号yf（t）的关系

3.信号的滤波：

时域：

yf（t）kf（ttd）

通过系统后○1产生“

频域：

Yf（）kejtdF（）

○2改变

2.无失真传输系统函数H（）

○3全部

无失真传输满足的两个条件：

4.理想低通滤波器不存在

○1幅频特性：

H（）k（k为非零常数）

单位冲击响应信号（t）是

在整个频率范围内为非零常数

的，而输出在t0时刻就

○2相频特性：

（）td（td0）5.连续时间系统实现的准

在整个频率范围内是过坐标原点的一条斜率为负的直时域特性：

线频域特性：

佩利-维纳准则（必要条

5.滤波

滤波器名称

理想频率响应

理想相幅特性

实际电

低通滤波器

高通滤波器

带通滤波器

备注

1低通滤波器的通频带（截至频率）：

H（）2的频频谱范围

2

三.抽样与抽样恢复

抽样名称

信号抽样时频表示

时域抽样定理：

时域：

fs（t）f（t）PT（t）

冲串抽样

1

频域：

Fs（）1FT[f（t）]FT[PT（t）]s2T

域抽样定理

T恢复：

fs（t）h（t）[f（nT）（tnT）]cSa（ct）n

恢复系统单位冲激响应：

系统条件

域抽样定理

频域：

Fs（）F（）（）F（）（n）n

12时域：

fs（t）FT1[Fs（）]h（t）FT1[（n）]1f（tn2）

nn

第五章.离散时间信号与时域分析

.离散傅里叶级数（DFT）

1.信号ej0n基本特征

信号ej

2.信号ej0t与ej0n之间的差别

0

0不同，信号不同

频率相差2，信号相同

对于任何0值，都是周期的

仅当2Nm时，才有周期性（（N0）,m

基波频率：

0

基波信号0

m

00无定义

基波周期：

2

0o

0

00无定义

基波信号：

2

0om（）

0

3.DFS系数与IDFS变换对

4.离散傅里叶级数的性质

线性

若x%3（n）x%1（n）x%2（n），则X°3（k）X°1（k）X°2（k）

移

位

时间移位

若x%（n）垐噲DF垎垐S?

X°（k），则x%（nm）噲垐DF垎

垐S?

WNknX°（k）

频域移位

若x%（n）垐噲DF垎垐S?

X°（k），则WNqnx%（n）噲垐DF垎

垐S?

X°（kq）

周期

卷积

时域移位

N1

若x%3（n）x%1（m）x%2（nm），则°X3（k）°X1（k）X°2（k）

m0

频域移位

1N

若x%3（n）x%1（n）x%2（n），则°X3（k）1

Nl

1

°X1（l）X°2（kl）

0

2.离散时间傅里叶变换DTFT

1.

离散时间傅里叶变换DTFT

1

x（n）212

离散时间傅里叶变换2

X（）N1

Nn

○2周期信号：

2.离散时间傅里叶变换性质

周期性

总是周期的，周期是2。

线性

若x%1（n）°X1（），x%2（n）X°2（）则ax%1（n）bx%2（n）aX°1（）bX°2（）

对称性

移

位

时移

若x（n）?

X（）则x（nn0）?

ej0nX（）

频移

若x（n）?

X（）则ej0nx（n）?

X（0）

差分求和

时间尺度

若x（n）?

X（）则x（n）?

X（）

频域微分

帕塞瓦尔定理

x（n）2212X（）2dX（）2：

能量谱密度

n2

122序列一个周期的能量：

1x（n）ak

NnNnN

卷积性质

若y（n）x（n）h（n）则Y（）X（）H（）

备注

连续信号离散信号

第六章.连续时间信号与时域系统分析

.拉氏变换定义

1.不满足绝对可积信号为什么不能用傅氏变换原因：

信号衰减太慢或不衰减（为了克服这种困难，可以用一个收敛因子与f（t）相乘）

2.拉氏变换的导出

令sj

则：

象函数：

F（s）LT[f（t）]f（t）estdt

1j

原函数：

f（t）LT1[F（s）]1F（s）estds

2jj

3.拉氏变换的收敛域

F（s）存在的条件：

0f（t）estdt

limf（t）et0（充分条件）

信号特点

收敛域特点

有始有终，能量有限

坐标轴落于，全部s平面都属于收敛区

幅度即不增长也不衰减而等于稳定

收敛坐标落于原点，s平面右半平面属于收敛

值，或随时间t,tn成比例增长的信号

按指数规律增长的信号et，

只有当时才收敛，所以收敛坐标为0

右边信号

收敛域在收敛轴以右的s平面，即

左边信号

收敛域在收敛轴以左的s平面，即

双边信号

收敛域为s平面的带状区域，即

.拉氏反变换

部分分式展开法

st1dk1st

2spi是k阶极点Res[F（s）est][k1（spi）F（s）est]

（k1）!

ds

注意：

留数法中的F（s）应是真分式，若不是应用长除法变成真分式后

3.拉氏变换的性质

1.拉氏变换的性质

连续拉普拉斯变换性质及其对偶关系

拉氏变换：

F（s）f（t）etdt

傅氏反变换：

f（t）21jF（s）estds

连续拉普拉斯变换对

相对

名称

连续时间函数f（t）

拉氏变换F（s）

备注

名称

连续

线性

收敛域1,2

收敛域为函数收敛域重叠部分

尺度比例变换

收敛域：

c

收敛域：

ac,a0

c

时移

复频移

收敛域：

c

收敛域：

c

收

时域微分性质

s域微分性质

时域积分性质

其中f

（1）（0

0

）f（t）dt

s域积分性质

时域卷积性质

s域卷积性质

终值定理

初值定理

2.拉氏变换的性质备注

备注序号

备注内容

1sst0

1.既有时移又有尺度变换：

f（att0）u（att0）1F（s）ea,caa

既有时移又有复频移：

es0（tt0）f（tt0）u（tt0）es0tF（ss0）

2.证明：

LT[es0（tt0）f（tt0）u（tt0）]es0（tt0）f（tt0）estdt

t0

令：

xtt0,dxdt则：

LT[es0（tt0）f（tt0）u（tt0）]es0xf（x）esxest0d

注意：

时移特性只适于求f（tt0）u（tt0）的拉式变换

右边信号可写作f（t）f0（tnT）u（tnT），其中f0（t）u（t）u（tt0）

n0

1.（t）nf（t）ddFsn（s）ds

2.证明：

QF（s）f（t）estdtQF（s）f（t）estdtf（t）[dest]dt[tf（

000ds0

t0tt0

证明：

Qf（x）dxf（x）dxf（x）dxLT[f（x）dx]LT[f（x）dx]

t1tt1tn11

注意：

LT[0f（x）dx]1F（s）0010n1f（x）dxdtn1dt11nF（s）

0s000s

1.注意1F（s）必须是真分式，如果不是要利用长除法变成真分式项F0（s），再2初值定理是f（x）在t0时刻的值。

df（t）st0df（t）stdf（t）st

2.证明：

sF（s）f（0）edtedtedt0dt0dt0dt

Q在区间（0,0）,t0,estt01令s，则f（0）lsimsF（s）

s

1.终值定理存在条件：

F（s）的极点全部落在左半s平面或在s0处只有一阶级

2.证明：

sF（s）f（0）df（t）estdt令s0

0dt

则lsim0sF（s）f（0）lsim00dfd（tt）estdtf（）f（0）f（）lsim0sF（s）

3.双边拉氏变换

limf（t）et01

1.收敛条件：

tt则拉氏变换在12区域上存在

limf（t）et02

相同的双边拉式变换式，当取不同的收敛域时，其f（t）是各异的

2.双边拉式变换的求法

对上进行双边拉氏变换

3.

双边拉氏反变换

注意：

F（s）应该是真分数

4.双边拉氏变换对与双边Z变换对

双边拉氏变换对与双边Z变换对的类比关系

双边拉氏变换对

双边Z变换对

连续时间函数f（t）

像函数F（s）和收敛域

离散时间序列f[n]

像函数F（z）和收敛域

1,整个s平面

1，整个Z平面

sk，有限s平面

（1z1）k，z0

1s，Re{s}0

1（1z1），z1

1s2，Re{s}0

1（1z1）2，z1

tu（t），Re{s}0

1（1z），z1

1s2，Re{s}0

1（1z1）2，

z1

1

k,Re{s}0s

1（1z1）k，

z1

1

Re{s}Re（a）sa

1（1az1），z

a

1

12,Re{s}Re（a）（sa）2

1（1az1），za

1

k,Re{s}Re（a）（sa）k

1（1az1）k，

za

1

Re{s}Re（a）sa

1（1az1）,z

a

s

2s2，Re{s}0s0

202，Re{s}0s0

s

22，Re{s}a

（sa）0

202，Re{s}a

（sa）0

eat，Re{a}0

2a

22，Re{a}Re{s}Re{a}

sa

an，a1

11

（a1a）z11，a（1az1）（1a1z1）

z1a

atsgn（t），Re{a}0

2s

22，Re{a}Re{s}Re{a}

sa

ansgn[n]，a1

2

（1az11）（1za1z1），a

（1az1）（1a1z1）

z1a

5.复频域分析

2.对拉氏变换方程进行代数运算，求出相应的象函数

3.

2.电源

对响应的象函数进行拉氏反变换，得到全响应的是与表达式

6.拉氏变换和傅氏变换的关系

7.

2.单边拉氏变换和傅氏变换的关

阶导数项

F（s）在j轴上有单值极点

总结：

任何有傅氏函数变换的有始信号，必然存在拉氏变换

存在拉氏变换的任何有时信号，不一定有傅氏变换

第七章.Z变换

1.拉氏变换与傅氏变换的关系2.Z变换与拉氏变换的关

3.Z平面与s平面的映射关系

0r1

○1s平面的原点0，影射z平面1，即z1的点

不同取值的z:

s平面影射关系

为常数：

从左向右移r为常数：

0

时域序列

z变换收敛

z平面

不包括z

包括z0

不包括z

单位圆内单位圆上单位圆外半径扩大

时域序列和z变换收敛域的对应关系：

○3s平面0，实轴z平面0，正实轴

z:

s影射不是单值的

2

H（z）zejH（ej）其中T2ss

○5傅氏变换、拉氏变换和z变换的关系

.Z反变换

围线积分与极点留数法

1

x（n）1?

X（z）zn1dz围线c是在X（z）的收敛域内环绕z平面原点逆时针旋转的一条2j?

c

z0是一阶极点：

Res[X（z）zn1

][X（z）zn1]（zz0）

zz0

z0是s阶极点：

Res[X（z）zn1]

1d

（s1）!

dzs1

s1

[X（z）zn1（zz1）s]

zz1

n0时，x（n）

21j?

c'X（1p）p

n1

n1dp

四.由零极点图确定傅氏变换的几何求值法

M

（zqr）

X（z）rN1当z

（zzk）

k1

M

（ejqr）

X（ej）rN1=X（ej

（ejzk）

k1

M

Ar

于是X（ej）rN1（）

1时，即zej时

）ej

MN

ejqrArej