高中数学基础知识点归纳.docx

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高中数学基础知识点归纳

高中数学基础知识点归纳

　　第一部分集合

（1）含n个元素的集合的子集数为2^n||，真子集数为2^n-1||；非空真子集的数为2^n-2||；

（2）注意：

讨论的时候不要遗忘了的情况。

　　（3）

　　第二部分函数与导数

　　1.映射：

注意①第一个集合中的元素必须有象||；②一对一||，或多对一。

　　2.函数值域的求法：

①分析法||；②配方法||；③判别式法||；④利用函数单调性||；

　　⑤换元法||；⑥利用均值不等式||；⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）||；⑧利用函数有界性（、、等）||；⑨导数法

　　3.复合函数的有关问题

（1）复合函数定义域求法：

　　①若f（x）的定义域为〔a||，b〕||，则复合函数f[g（x）]的定义域由不等式a&le||；g（x）&le||；b解出②若f[g（x）]的定义域为[a||，b]||，求f（x）的定义域||，相当于x&isin||；[a||，b]时||，求g（x）的值域。

（2）复合函数单调性的判定：

　　①首先将原函数分解为基本函数：

内函数与外函数||；

　　②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性||；

　　③根据“同性则增||，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。

　　注意：

外函数的定义域是内函数的值域。

　　4.分段函数：

值域（最值）、单调性、图象等问题||，先分段解决||，再下结论。

　　5.函数的奇偶性

　　⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件||；

　　⑵是奇函数||；

　　⑶是偶函数||；

　　⑷奇函数在原点有定义||，则||；

　　⑸在关于原点对称的单调区间内：

奇函数有相同的单调性||，偶函数有相反的单调性||；

　　（6）若所给函数的解析式较为复杂||，应先等价变形||，再判断其奇偶性||；

　　6.函数的单调性

　　⑴单调性的定义：

　　①在区间上是增函数当时有||；

　　②在区间上是减函数当时有||；

　　⑵单调性的判定

　　1定义法：

　　注意：

一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式||，以利于判断符号||；

　　②导数法（见导数部分）||；

　　③复合函数法（见2

（2））||；

　　④图像法。

　　注：

证明单调性主要用定义法和导数法。

　　7.函数的周期性

（1）周期性的定义：

　　对定义域内的任意||，若有（其中为非零常数）||，则称函数为周期函数||，为它的一个周期。

　　所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。

如没有特别说明||，遇到的周期都指最小正周期。

（2）三角函数的周期

　　⑶函数周期的判定

　　①定义法（试值）②图像法③公式法（利用

（2）中结论）

　　⑷与周期有关的结论

　　①或的周期为||；

　　②的图象关于点中心对称周期为2||；

　　③的图象关于直线轴对称周期为2||；

　　④的图象关于点中心对称||，直线轴对称周期为4||；

　　8.基本初等函数的图像与性质

　　⑴幂函数：

（||；⑵指数函数：

||；

　　⑶对数函数:

||；⑷正弦函数:

||；

　　⑸余弦函数：

||；（6）正切函数：

||；⑺一元二次函数：

||；

　　⑻其它常用函数：

　　1正比例函数：

||；②反比例函数：

||；特别的

　　2函数||；

　　9.二次函数：

　　⑴解析式：

　　①一般式：

||；②顶点式：

||，为顶点||；

　　③零点式：

。

　　⑵二次函数问题解决需考虑的因素：

　　①开口方向||；②对称轴||；③端点值||；④与坐标轴交点||；⑤判别式||；⑥两根符号。

　　⑶二次函数问题解决方法：

①数形结合||；②分类讨论。

　　10.函数图象：

　　⑴图象作法：

①描点法（特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法

　　⑵图象变换：

　　1平移变换：

ⅰ||，2———“正左负右”

　　ⅱ———“正上负下”||；

　　3伸缩变换：

　　ⅰ||，（———纵坐标不变||，横坐标伸长为原来的倍||；

　　ⅱ||，（———横坐标不变||，纵坐标伸长为原来的倍||；

　　4对称变换：

ⅰ||；ⅱ||；

　　5翻转变换：

　　ⅰ———右不动||，右向左翻（在左侧图象去掉）||；

　　ⅱ———上不动||，下向上翻（||在下面无图象）||；

　　11.函数图象（曲线）对称性的证明

（1）证明函数图像的对称性||，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上||；

（2）证明函数与图象的对称性||，即证明图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在的图象上||，反之亦然||；

　　注：

　　①曲线C1:

f（x||，y）=0关于点（a||，b）的对称曲线C2方程为：

f（2a-x||，2b-y）=0||；

　　②曲线C1:

f（x||，y）=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为：

f（2a-x||，y）=0||；

　　③曲线C1：

f（x||，y）=0||，关于y=x+a（或y=-x+a）的对称曲线C2的方程为f（y-a||，x+a）=0（或f（-y+a||，-x+a）=0）||；

　　④f（a+x）=f（b-x）（x&isin||；R）y=f（x）图像关于直线x=对称||；

　　特别地：

f（a+x）=f（a-x）（x&isin||；R）y=f（x）图像关于直线x=a对称||；

　　⑤函数y=f（x-a）与y=f（b-x）的图像关于直线x=对称||；

　　12.函数零点的求法：

　　⑴直接法（求的根）||；⑵图象法||；⑶二分法.

　　13.导数

　　⑴导数定义：

f（x）在点x0处的导数记作||；

　　⑵常见函数的导数公式:

①||；②||；③||；

　　⑶导数的四则运算法则：

　　⑷（理科）复合函数的导数：

　　⑸导数的应用：

　　①利用导数求切线：

注意：

ⅰ所给点是切点吗?

ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线?

　　②利用导数判断函数单调性：

　　ⅰ是增函数||；ⅱ为减函数||；

　　ⅲ为常数||；

　　③利用导数求极值：

ⅰ求导数||；ⅱ求方程的根||；ⅲ列表得极值。

　　④利用导数最大值与最小值：

ⅰ求的极值||；ⅱ求区间端点值（如果有）||；ⅲ得最值。

　　14.（理科）定积分

　　⑴定积分的定义：

　　⑵定积分的性质：

①（常数）||；

　　③（其中。

　　⑶微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：

　　⑷定积分的应用：

①求曲边梯形的面积：

||；

　　3求变速直线运动的路程：

||；③求变力做功：

。

　　第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形

　　1.⑴角度制与弧度制的互化：

弧度||，弧度||，弧度

　　⑵弧长公式：

||；扇形面积公式：

。

　　2.三角函数定义：

角中边上任意一点为||，设则：

　　3.三角函数符号规律：

一全正||，二正弦||，三两切||，四余弦||；

　　4.诱导公式记忆规律：

“函数名不（改）变||，符号看象限”||；

　　5.⑴对称轴：

||；对称中心：

||；

　　⑵对称轴：

||；对称中心：

||；

　　6.同角三角函数的基本关系：

||；

　　7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

①

　　8.二倍角公式：

①||；

　　9.正、余弦定理：

　　⑴正弦定理：

（是外接圆直径）

　　注：

①||；②||；③。

　　⑵余弦定理：

等三个||；注：

等三个。

　　10。

几个公式:

　　⑴三角形面积公式：

||；

　　⑵内切圆半径r=||；外接圆直径2R=

　　11.已知时三角形解的个数的判定：

　　第四部分立体几何

　　1.三视图与直观图：

注：

原图形与直观图面积之比为。

　　2.表（侧）面积与体积公式：

　　⑴柱体：

①表面积：

S=S侧+2S底||；②侧面积：

S侧=||；③体积：

V=S底h

　　⑵锥体：

①表面积：

S=S侧+S底||；②侧面积：

S侧=||；③体积：

V=S底h：

　　⑶台体：

①表面积：

S=S侧+S上底S下底||；②侧面积：

S侧=||；③体积：

V=（S+）h||；

　　⑷球体：

①表面积：

S=||；②体积：

V=。

　　3.位置关系的证明（主要方法）：

　　⑴直线与直线平行：

①公理4||；②线面平行的性质定理||；③面面平行的性质定理。

　　⑵直线与平面平行：

①线面平行的判定定理||；②面面平行线面平行。

　　⑶平面与平面平行：

①面面平行的判定定理及推论||；②垂直于同一直线的两平面平行。

　　⑷直线与平面垂直：

①直线与平面垂直的判定定理||；②面面垂直的性质定理。

　　⑸平面与平面垂直：

①定义---两平面所成二面角为直角||；②面面垂直的判定定理。

　　注：

理科还可用向量法。

　　4.求角：

（步骤-------Ⅰ。

找或作角||；Ⅱ。

求角）

　　⑴异面直线所成角的求法：

　　1平移法：

平移直线||，2构造三角形||；

　　3②补形法：

补成正方体、平行六面体、长方体等||，4发现两条异面直线间的关系。

　　注：

理科还可用向量法||，转化为两直线方向向量的夹角。

　　⑵直线与平面所成的角：

　　①直接法（利用线面角定义）||；②先求斜线上的点到平面距离h||，与斜线段长度作比||，得sin。

　　注：

理科还可用向量法||，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。

　　⑶二面角的求法：

　　①定义法：

在二面角的棱上取一点（特殊点）||，作出平面角||，再求解||；

　　②三垂线法：

由一个半面内一点作（或找）到另一个半平面的垂线||，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角||，再求解||；

　　③射影法：

利用面积射影公式：

||，其中为平面角的大小||；

　　注：

对于没有给出棱的二面角||，应先作出棱||，然后再选用上述方法||；

　　理科还可用向量法||，转化为两个班平面法向量的夹角。

　　5.求距离：

（步骤-------Ⅰ。

找或作垂线段||；Ⅱ。

求距离）

　　⑴两异面直线间的距离：

一般先作出公垂线段||，再进行计算||；

　　⑵点到直线的距离：

一般用三垂线定理作出垂线段||，再求解||；

　　⑶点到平面的距离：

　　①垂面法：

借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键）||，再求解||；

　　5等体积法||；

　　理科还可用向量法：

。

　　⑷球面距离：

（步骤）

　　（Ⅰ）求线段AB的长||；（Ⅱ）求球心角&ang||；AOB的弧度数||；（Ⅲ）求劣弧AB的长。

　　6.结论：

　　⑴从一点O出发的三条射线OA、OB、OC||，若&ang||；AOB=&ang||；AOC||，则点A在平面&ang||；BOC上的射影在&ang||；BOC的平分线上||；

　　⑵立平斜公式（最小角定理公式）：

　　⑶正棱锥的各侧面与底面所成的角相等||，记为||，则S侧cos=S底||；

　　⑷长方体的性质

　　①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为则：

cos2+cos2+cos2=1||；sin2+sin2+sin2=2。

　　②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有cos2+cos2+cos2=2||；sin2+sin2+sin2=1。

　　⑸正四面体的性质：

设棱长为||，则正四面体的：

　　1高：

||；②对棱间距离：

||；③相邻两面所成角余弦值：

||；④内切2球半径：

||；外接球半径：

||；

　　第五部分直线与圆

　　1.直线方程

　　⑴点斜式：

||；⑵斜截式：

||；⑶截距式：

||；

　　⑷两点式：

||；⑸一般式：

||，（A||，B不全为0）。

　　（直线的方向向量：

（||，法向量（

　　2.求解线性规划问题的步骤是：

（1）列约束条件||；

（2）作可行域||，写目标函数||；（3）确定目标函数的最优解。

　　3.两条直线的位置关系：

　　4.直线系

　　5.几个公式

　　⑴设A（x1||，y1）、B（x2||，y2）、C（x3||，y3）||，⊿ABC的重心G：

（）||；

　　⑵点P（x0||，y0）到直线Ax+By+C=0的距离：

||；

　　⑶两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是||；

　　6.圆的方程：

　　⑴标准方程：

①||；②。

　　⑵一般方程：

（

　　注：

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2-4AF>0||；

　　7.圆的方程的求法：

⑴待定系数法||；⑵几何法||；⑶圆系法。

　　8.圆系：

　　注：

当时表示两圆交线。

　　9.点、直线与圆的位置关系：

（主要掌握几何法）

　　⑴点与圆的位置关系：

（表示点到圆心的距离）

　　①点在圆上||；②点在圆内||；③点在圆外。

　　⑵直线与圆的位置关系：

（表示圆心到直线的距离）

　　①相切||；②相交||；③相离。

　　⑶圆与圆的位置关系：

（表示圆心距||，表示两圆半径||，且）

　　①相离||；②外切||；③相交||；

　　④内切||；⑤内含。

　　10.与圆有关的结论：

　　⑴过圆x2+y2=r2上的点M（x0||，y0）的切线方程为：

x0x+y0y=r2||；

　　过圆（x-a）2+（y-b）2=r2上的点M（x0||，y0）的切线方程为：

（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2||；

　　⑵以A（x1||，y2）、B（x2||，y2）为直径的圆的方程：

（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0。

　　第六部分圆锥曲线

　　1.定义：

⑴椭圆：

||；

　　⑵双曲线：

||；⑶抛物线：

略

　　2.结论

　　⑴焦半径：

①椭圆：

（e为离心率）||；（左“+”右“-”）||；

　　②抛物线：

　　⑵弦长公式：

　　注：

（Ⅰ）焦点弦长：

①椭圆：

||；②抛物线：

=x1+x2+p=||；（Ⅱ）通径（最短弦）：

①椭圆、双曲线：

||；②抛物线：

2p。

　　⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：

（同时大于0时表示椭圆||，时表示双曲线）||；

　　⑷椭圆中的结论：

　　①内接矩形最大面积：

2ab||；

　　②P||，Q为椭圆上任意两点||，且OP0Q||，则||；

　　③椭圆焦点三角形：

<Ⅰ>.||，（）||；<Ⅱ>.点是内心||，交于点||，则||；

　　④当点与椭圆短轴顶点重合时最大||；

　　⑸双曲线中的结论：

　　①双曲线（a>0||，b>0）的渐近线：

||；

　　②共渐进线的双曲线标准方程为为参数||，≠0）||；

　　③双曲线焦点三角形：

<Ⅰ>.||，（）||；<Ⅱ>.P是双曲线-=1（a>0||，b>0）的左（右）支上一点||，F1、F2分别为左、右焦点||，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为||；

　　④双曲线为等轴双曲线渐近线为渐近线互相垂直||；

　　（6）抛物线中的结论：

　　①抛物线y2=2px（p>0）的焦点弦AB性质：

<Ⅰ>.x1x2=||；y1y2=-p2||；

　　<Ⅱ>.||；<Ⅲ>.以AB为直径的圆与准线相切||；<Ⅳ>.以AF（或BF）为直径的圆与轴相切||；<Ⅴ>.。

　　②抛物线y2=2px（p>0）内结直角三角形OAB的性质：

　　<Ⅰ>.||；<Ⅱ>.恒过定点||；

　　<Ⅲ>.中点轨迹方程：

||；<Ⅳ>.||，则轨迹方程为：

||；<Ⅴ>.。

　　③抛物线y2=2px（p>0）||，对称轴上一定点||，则：

　　<Ⅰ>.当时||，顶点到点A距离最小||，最小值为||；<Ⅱ>.当时||，抛物线上有关于轴对称的两点到点A距离最小||，最小值为。

　　3.直线与圆锥曲线问题解法：

　　⑴直接法（通法）：

联立直线与圆锥曲线方程||，构造一元二次方程求解。

　　注意以下问题：

　　①联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程?

　　②直线斜率不存在时考虑了吗?

　　③判别式验证了吗?

　　⑵设而不求（代点相减法）：

--------处理弦中点问题

　　步骤如下：

①设点A（x1||，y1）、B（x2||，y2）||；②作差得||；③解决问题。

　　4.求轨迹的常用方法：

（1）定义法：

利用圆锥曲线的定义||；

（2）直接法（列等式）||；（3）代入法（相关点法或转移法）||；⑷待定系数法||；（5）参数法||；（6）交轨法。

　　第七部分平面向量

　　⑴设a=（x1||，y1）||，b=（x2||，y2）||，则：

①a‖b（b≠0）a=b（x1y2-x2y1=0||；

　　②a&perp||；b（a、b≠0）a·b=0x1x2+y1y2=0.

　　⑵a·b=|ab|cos=x2+y1y2||；

　　注：

①|a|cos叫做a在b方向上的投影||；|b|cos叫做b在a方向上的投影||；

　　6a·b的几何意义：

a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。

　　⑶cos=||；

　　⑷三点共线的充要条件：

P||，A||，B三点共线||；

　　附：

（理科）P||，A||，B||，C四点共面。

　　第八部分数列

　　1.定义：

　　⑴等差数列||；

　　⑵等比数列

　　2.等差、等比数列性质

　　等差数列等比数列

　　通项公式

　　前n项和

　　性质①an=am+（n-m）d||，①an=amqn-m||；

　　②m+n=p+q时am+an=ap+aq②m+n=p+q时aman=apaq

　　③成AP③成GP

　　④成AP||，④成GP||，

　　等差数列特有性质：

　　1项数为2n时：

S2n=n（an+an+1）=n（a1+a2n）||；||；||；

　　2项数为2n-1时：

S2n-1=（2n-1）||；||；||；

　　3若||；若||；

　　若。

　　3.数列通项的求法：

　　⑴分析法||；⑵定义法（利用AP||，GP的定义）||；⑶公式法：

累加法（||；

　　⑷叠乘法（型）||；⑸构造法（型）||；（6）迭代法||；

　　⑺间接法（例如：

）||；⑻作商法（型）||；⑼待定系数法||；⑽（理科）数学归纳法。

　　注：

当遇到时||，要分奇数项偶数项讨论||，结果是分段形式。

　　4.前项和的求法：

　　⑴拆、并、裂项法||；⑵倒序相加法||；⑶错位相减法。

　　5.等差数列前n项和最值的求法：

　　⑴||；⑵利用二次函数的图象与性质。

　　第九部分不等式

　　1.均值不等式：

　　注意：

①一正二定三相等||；②变形||，。

　　2.绝对值不等式：

　　3.不等式的性质：

　　||；⑸||；（6）

　　4.不等式等证明（主要）方法：

　　⑴比较法：

作差或作比||；⑵综合法||；⑶分析法。

　　第十部分复数

　　1.概念：

　　⑴z=a+bi&isin||；Rb=0（a||，b&isin||；R）z=z2&ge||；0||；

　　⑵z=a+bi是虚数b≠0（a||，b&isin||；R）||；

　　⑶z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0（a||，b&isin||；R）z+=0（z≠0）z2<0||；

　　⑷a+bi=c+dia=c且c=d（a||，b||，c||，d&isin||；R）||；

　　2.复数的代数形式及其运算：

设z1=a+bi||，z2=c+di（a||，b||，c||，d&isin||；R）||，则：

（1）z1±z2=（a+b）±（c+d）i||；⑵z1.z2=（a+bi）·（c+di）=（ac-bd）+（ad+bc）i||；⑶z1÷z2=（z2≠0）||；

　　3.几个重要的结论：

　　⑸性质：

T=4||；||；

　　（6）以3为周期||，且||；=0||；

　　（7）。

　　4.运算律：

（1）

　　5.共轭的性质：

⑴||；⑵||；⑶||；⑷。

　　6.模的性质：

⑴||；⑵||；⑶||；⑷||；

　　第十一部分概率

　　1.事件的关系：

　　⑴事件B包含事件A：

事件A发生||，事件B一定发生||，记作||；

　　⑵事件A与事件B相等：

若||，则事件A与B相等||，记作A=B||；

　　⑶并（和）事件：

某事件发生||，当且仅当事件A发生或B发生||，记作（或）||；

　　⑷并（积）事件：

某事件发生||，当且仅当事件A发生且B发生||，记作（或）||；

　　⑸事件A与事件B互斥：

若为不可能事件（）||，则事件A与互斥||；

　　（6）对立事件：

为不可能事件||，为必然事件||，则A与B互为对立事件。

　　2.概率公式：

　　⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：

P（A+B）=P（A）+P（B）||；

　　⑵古典概型：

||；

　　⑶几何概型：

||；

　　第十二部分统计与统计案例

　　1.抽样方法

　　⑴简单随机抽样：

一般地||，设一个总体的个数为N||，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本||，且每个个体被抽到的机会相等||，就称这种抽样为简单随机抽样。

　　注：

①每个个体被抽到的概率为||；

　　②常用的简单随机抽样方法有：

抽签法||；随机数法。

　　⑵系统抽样：

当总体个数较多时||，可将总体均衡的分成几个部分||，然后按照预先制定的

　　规则||，从每一个部分抽取一个个体||，得到所需样本||，这种抽样方法叫系统抽样。

　　注：

步骤：

①编号||；②分段||；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号||；

　　④按预先制定的规则抽取样本。

　　⑶分层抽样：

当已知总体有差异比较明显的几部分组成时||，为使样本更充分的反映总体的情况||，将总体分成几部分||，然后按照各部分占总体的比例进行抽样||，这种抽样叫分层抽样。

　　注：

每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数

　　2.总体特征数的估计：

　　⑴样本平均数||；

　　⑵样本方差||；

　　⑶样本标准差=||；

　　3.相关系数（判定两个变量线性相关性）：

　　注：

⑴>0时||，变量正相关||；<0时||，变量负相关||；

　　⑵①越接近于1||，两个变量的线性相关性越强||；②接近于0时||，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。

　　4.回归分析中回归效果的判定：

　　⑴总偏差平方和：

⑵残差：

||；⑶残差平方和：

||；⑷回归平方和：

-||；⑸相关指数。

　　注：

①得知越大||，说明残差平方和越小||，则模型拟合效果越好||；

　　②越接近于1||，||，则回归效果越好。

　　5.独立性检验（分类变量关系）：

　　随机变量越大||，说明两个分类变量||，关系越强||，反之||，越弱。

　　第十四部分常用逻辑用语与推理证明

　　1.四种命题：

　　⑴原命题：

若p则q||；⑵逆命题：

若q则p||；

　　⑶否命题：

若p则q||；⑷逆否命题：

若q则p

　　注