考研农学门类联考《数学》考研真题及解析.docx

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考研农学门类联考《数学》考研真题及解析

农学联考《数学》考研真题及解析

考研农学门类联考《数学》真题及详解

一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

）

1设函数

，则（　　）。

A．x＝－1为可去间断点，x＝1为无穷间断点

B．x＝－1为无穷间断点，x＝1为可去间断点

C．x＝－1和x＝1均为可去间断点

D．x＝－1和x＝1均为无穷间断点

【答案】B查看答案

【解析】函数

在点x＝±1没有定义，而

所以x＝－1为无穷间断点；

所以x＝1为可去间断点。

2设函数

可微，则

的微分

＝（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D查看答案

【解析】

。

3设函数

连续，

，则

＝（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】C查看答案

【解析】由于

，则

4设函数

连续，交换二次积分次序得

＝（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】A查看答案

【解析】积分区域D如下图所示。

由于

所以

5设

为3维列向量，矩阵

若行列式|A|＝3，则行列式|B|＝（　　）。

A．6

B．3

C．－3

D．－6

【答案】D查看答案

【解析】根据行列式的性质有

6已知向量组

线性无关，则下列向量组中线性无关的是（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】C查看答案

【解析】ABD三项，由于

根据线性相关的定义可知，这三项是线性相关的。

C项，可以根据定义证明它是线性无关的。

设

整理得

由于向量组

线性无关，所以

此线性方程组的系数矩阵

由于

所以方程组

只有零解，即

由线性无关的定义可知，向量组

线性无关。

7设

为3个随机事件，下列结论中正确的是（　　）。

A．若

相互独立，则

两两独立

B．若

两两独立，则

相互独立

C．若

，则

相互独立

D．若

与

独立，

与

独立，则

与

独立

【答案】A查看答案

【解析】若

相互独立，由相互独立的性质可知

由此可得

两两独立。

8设随机变量X服从参数为n，p的二项分布，则（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D查看答案

【解析】X服从参数为n，p的二项分布，因此

由期望和方差的性质可得

二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分。

）

9函数

的极小值为______。

【答案】－2查看答案

【解析】令

可得x＝1，

，根据极值的第二充分条件可得x＝1为函数

的极小值点，极小值为

。

10

＝______。

【答案】

【解析】

11曲线sin（xy）＋ln（y－x）＝x在点（0，1）处的切线方程是______。

【答案】y＝x＋1查看答案

【解析】方程sin（xy）＋ln（y－x）＝x两边对x求导得

将x＝0，y＝1代入上式，得

，即切线的斜率为1，所以切线方程为

。

12设

，则

＝______.

【答案】

【解析】作极坐标变换

，则

13设3阶矩阵A的特征值1，2，3，则行列式

＝______。

【答案】

【解析】由于A的特征值为1，2，3，所以

，

14设

为来自正态总体N（2，4）的简单随机样本，

为其样本均值，则

____。

【答案】5查看答案

【解析】由于

为来自正态总体N（2，4）的简单随机样本，所以

又由于

，而

所以

三、解答题（15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）

15（本题满分10分）

求极限

。

解：

计算得

16（本题满分10分）

计算不定积分

。

解：

令

，则

所以

17（本题满分10分）

求微分方程

满足初始条件

的特解。

解：

原方程可化为

则

将

代入得

，故所求特解为

。

18（本题满分11分）

证明：

当x＞0时，

。

证：

设

则

当x＞0时，

，则

单调增加，

故

，f（x）单调增加，于是f（x）＞f（0）＝0，

即

。

19（本题满分11分）

设

，求

及

。

解：

计算得

20（本题满分9分）

设3阶矩阵x满足等式AX＝B＋2X，其中

求矩阵x。

解：

由Ax＝B＋2x，得（A－2E）X＝B，其中E为单位矩阵。

因为|A－E|＝－2

0，所以A－2E可逆，

而

则

21（本题满分12分）对于线性方程组

讨论

，b取何值时，方程组无解、有唯一解和无穷多解，并在方程组有无穷多解时，求出通解。

解：

解法一

方程组系数行列式

当D≠0，即a≠－1时，由克莱姆法则知方程组有唯一解。

当a＝－1时，方程组的系数矩阵

对方程组的增广矩阵施行初等行变换得

当b≠1时，r（A）＝2，r（B）＝3，r（A）≠r（B），线性方程组无解。

当b＝1时，r（A）＝r（B）＝2＜3，线性方程组有无穷多解，其通解为

其中k为任意常数。

解法二

方程组的系数矩阵

对方程组的增广矩阵施行初等行变换得

当

＝－1，b≠1时，r（A）＝2，r（B）＝3，r（A）≠r（B），线性方程组无解；

当

≠－1，b任意时，r（A）＝r（B）＝3，线性方程组有唯一解；

当

＝－1，b＝1时，r（A）＝r（B）＝2＜3线性方程组有无穷多解。

其通解为

其中k为任意常数。

22（本题满分11分）

设随机变量X的概率密度为：

，且X的数学期望E（x）＝

。

（Ⅰ）求常数a，b；

（Ⅱ）求X的分布函数F（x）。

解：

（Ⅰ）由

知

，

而由

知

，

解得

＝1，

。

（Ⅱ）当x≤0时，

；

当0＜x≤1时，

；

当1＜x≤2时，

；

当x＞2时，F（x）＝1；

即

23（本题满分10分）

设二维随机变量（X，Y）的概率分布为

（Ⅰ）分别求（X，Y）关于X，Y的边缘分布；

（Ⅱ）求

；

（Ⅲ）求

。

解：

（Ⅰ）关于X的边缘分布为

关于y的边缘分布为

（Ⅱ）计算得

或

（Ⅲ）

。