与名师对话理 函数及其表示.docx
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与名师对话理函数及其表示
第一节 函数及其表示
高考概览：
1.了解构成函数的要素，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用．（函数分段不超过三段）
[知识梳理]
1．函数与映射的概念
2.函数的定义域、值域
（1）在函数y＝f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．
（2）函数的三要素是：
定义域、值域和对应关系．
3．表示函数的常用方法
列表法、图象法和解析法．
4．分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数．
[辨识巧记]
1．一种优先意识
函数定义域是研究函数的基础依据，对函数的研究，必须坚持定义域优先的原则．
2．两个关注点
（1）分段函数是一个函数．
（2）分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集．
[双基自测]
1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）函数y＝1与y＝x0是同一个函数．（ ）
（2）对于函数f：
A→B，其值域是集合B.（ ）
（3）f（x）＝＋是一个函数．（ ）
（4）若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．（ ）
[答案]
（1）×
（2）× （3）× （4）×
2．（必修1P17例1
（1）改编）函数f（x）＝＋的定义域为（ ）
A．[0,2）B．（2，＋∞）
C．[0,2）∪（2，＋∞）D．（－∞，2）∪（2，＋∞）
[解析] 由得x≥0且x≠2，所以函数f（x）的定义域为[0,2）∪（2，＋∞）．故选C.
[答案] C
3．（必修1P23练习T2改编）若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图象可能是（ ）
[解析] 根据函数的定义，结合图象可知选项B符合．故选B.
[答案] B
4．（2019·杭州质检）下列各组函数中，是同一函数的是（ ）
A．f（x）＝，g（x）＝
B．f（x）＝，g（x）＝
C．f（x）＝，g（x）＝（）2n－1，n∈N*
D．f（x）＝·，g（x）＝
[解析] 对于A，f（x）＝＝|x|，g（x）＝＝x，它们的值域和对应关系都不同，所以不是同一函数；对于B，函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），而g（x）的定义域为R，所以不是同一函数；对于C，当n∈N*时，2n±1为奇数，则f（x）＝＝x，g（x）＝（）2n－1＝x，它们的定义域、对应关系都相同，所以是同一函数；对于D，f（x）的定义域为[0，＋∞），而g（x）的定义域为（－∞，－1]∪[0，＋∞），它们的定义域不同，所以不是同一函数，故选C.
[答案] C
5．（2018·哈尔滨师大附中等校一模）若函数f（x）＝则f[f
（1）]的值为（ ）
A．－10B．10C．－2D．2
[解析] ∵f
（1）＝21－4＝－2，∴f[f
（1）]＝f（－2）＝－2.故选C.
[答案] C
考点一 函数与映射的概念
【例1】
（1）下列对应是否是从集合A到B的映射，能否构成函数？
①A＝N，B＝N，f：
x→y＝（x－1）2；
②A＝N，B＝R，f：
x→y＝±；
③A＝N，B＝Q，f：
x→y＝；
④A＝{衡中高三·一班的同学}，B＝[0,150]，f：
每个同学与其高考数学的分数相对应．
（2）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ）
A．f（x）＝·，g（x）＝
B．f（x）＝，g（x）＝（）2
C．f（x）＝，g（x）＝x＋1
D．f（x）＝|x|，g（t）＝
[解析]
（1）①是映射，也是函数
②不是映射，更不是函数
③不是映射，更不是函数
④是映射，但不是函数
（2）在A中，由可知f（x）的定义域为[1，＋∞）；由x2－1≥0，可知g（x）的定义域为（－∞，－1]∪[1，＋∞）．
因为它们的定义域不同，所以A不成立．
在B中，f（x）＝＝|x|，其定义域为R；g（x）＝（）2＝x，其定义域为[0，＋∞）．它们的解析式和定义域都不同，所以B不成立．
在C中，f（x）＝＝x＋1，其定义域为{x|x≠1}；g（x）＝x＋1的定义域为R.因为它们的定义域不同，所以C不成立．
在D中，g（t）＝＝|t|，与f（x）＝|x|的对应关系和定义域都相同，所以D成立．故选D.
[答案]
（1）见解析
（2）D
映射与函数的含义
（1）映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．
（2）函数是特殊的映射：
当映射f：
A→B中的A，B为非空数集时，即成为函数．
（3）构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同．两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数．
[对点训练]
1．下列图象中不能作为函数图象的是（ ）
[解析] B中的图象与垂直于x轴的直线可能有两个交点，显然不满足函数的定义．故选B.
[答案] B
2．（2018·江西抚州月考）设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下：
映射f的对应法则
x
1
2
3
4
f（x）
3
4
2
1
映射g的对应法则
x
1
2
3
4
g（x）
4
3
1
2
则f[g
（1）]的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
[解析] 由映射g的对应法则，可知g
（1）＝4，由映射f的对应法则，知f（4）＝1，故f[g
（1）]＝1.故选A.
[答案] A
考点二 函数的解析式
函数的解析式是函数的基础知识，高考中重视对求解析式的考查，题目难度不大，以选择题、填空题的形式出现．
常见的命题角度有：
（1）配凑法求函数解析式；
（2）换元法求函数解析式；
（3）待定系数法求函数解析式；
（4）解方程组法求函数解析式．
角度1：
配凑法求函数解析式
【例2－1】
（1）已知f（＋1）＝x＋2，则f（x）＝________；
（2）已知f＝x2＋，则f（x）＝________.
[思路引导]
（1）→
→
（2）→
→
[解析]
（1）∵f（＋1）＝x＋2＝（＋1）2－1，
又＋1≥1，∴f（x）＝x2－1（x≥1）．
（2）∵f＝x2＋＝2－2，
又x＋≥2或x＋≤－2.
∴f（x）＝x2－2（x≥2或x≤－2）．
[答案]
（1）x2－1（x≥1）
（2）x2－2（x≥2或x≤－2）
角度2：
换元法求函数解析式
【例2－2】 已知f（1－cosx）＝sin2x，则f（x）的解析式为________．
[思路引导] →→
[解析] ∵f（1－cosx）＝sin2x＝1－cos2x，
设1－cosx＝t（0≤t≤2），则cosx＝1－t，
∴f（t）＝1－（1－t）2＝－t2＋2t.
故f（x）＝－x2＋2x（0≤x≤2）．
[答案] f（x）＝－x2＋2x（0≤x≤2）
角度3：
待定系数法求函数解析式
【例2－3】 已知f（x）是一次函数，且满足3f（x＋1）－
2f（x－1）＝2x＋17，则f（x）＝________.
[思路引导] →→
→
[解析] 设f（x）＝ax＋b（a≠0），则3f（x＋1）－2f（x－1）＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，
即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，
∴解得∴f（x）＝2x＋7.
[答案] 2x＋7
角度4：
解方程组法求函数解析式
【例2－4】 已知函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f（x）＝2f－1，则f（x）＝________.
[解析] 在f（x）＝2f－1中，用代替x，
得f＝－1，将f＝－1代入f（x）＝2f－1中，得f（x）＝＋.
[答案] ＋
求函数解析式的方法策略
[对点训练]
1．已知f＝lgx，则f（x）＝________.
[解析] 令t＝＋1（t>1），则x＝，
∴f（t）＝lg，即f（x）＝lg（x>1）．
[答案] lg（x>1）
2．已知f（x）是二次函数且f（0）＝2，f（x＋1）－f（x）＝x－1，则f（x）＝________.
[解析] 设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），
由f（0）＝2，得c＝2，
f（x＋1）－f（x）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋2－ax2－bx－2＝x－1，
则2ax＋a＋b＝x－1，
∴即
∴f（x）＝x2－x＋2.
[答案] x2－x＋2
3．（2019·湖南模拟）定义在（－1,1）内的函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1），求函数f（x）的解析式．
[解] 当x∈（－1,1）时，有2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1）．①
－x∈（－1,1），以－x代替x得，2f（－x）－f（x）＝lg（－x＋1）．②
由①②消去f（－x）得，f（x）＝lg（x＋1）＋lg（1－x），x∈（－1,1）．
考点三 分段函数
【例3】
（1）已知f（x）＝且f（0）＝2，f（－1）＝3，则f[f（－3）]＝（ ）
A．－2B．2C．3D．－3
（2）（2019·南京、盐城模拟）已知函数f（x）＝则不等式f（x）≥－1的解集是________．
[思路引导]
（1）→
→
（2）→
[解析]
（1）由题意得f（0）＝a0＋b＝1＋b＝2，解得b＝1；
f（－1）＝a－1＋b＝a－1＋1＝3，
解得a＝.
故f（－3）＝（）－3＋1＝9，
从而f[f（－3）]＝f（9）＝log39＝2.故选B.
（2）当x≤0时，由题意得＋1≥－1，
解之得－4≤x≤0.
当x>0时，由题意得－（x－1）2≥－1，
解之得0综上f（x）≥－1的解集为{x|－4≤x≤2}．
[答案]
（1）B
（2）{x|－4≤x≤2}
分段函数题型的求解策略
（1）根据分段函数解析式求函数值：
首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．
（2）已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围：
应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
[对点训练]
1．已知函数f（x）＝则f（－1）的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
[解析] 当x<6时，f（x）＝f（x＋3），
则f（－1）＝f
（2）＝f（5）＝f（8），
当x≥6时，f（x）＝log2x，
所以f（－1）＝f（8）＝log28＝3，故选C.
[答案] C
2．已知实数a≠0，函数f（x）＝若f（1－a）＝f（1＋a），则a的值为（ ）
A．－B.C．－D.
[解析] 当a>0时，1－a<1<1＋a，
则f（1－a）＝2（1－a）＋a＝2－a，f（1＋a）＝－（1＋a）－2a＝－1－3a，
∵f（1－a）＝f（1＋a），
∴2－a＝－1－3a，则a＝－（舍），
当a<0时，1＋a<1<1－a，
则f（1－a）＝－（1－a）－2a＝－1－a，f（1＋a）＝2（1＋a）＋a＝2＋3a，
∵f（1－a）＝f（1＋a），
∴－1－a＝2＋3a，即a＝－.
综上，可得a＝－.故选A.
[答案] A
解题方法系列②——解有关分段函数的不等式问题
素养解读：
分段函数问题一直是高考考查的热点，纵观近几年的高考试卷，分段函数问题的考查逐渐成为重点．下面就分段函数不等式求解进行分析．
【典例】
（1）已知函数f（x）＝则不等式x＋（x＋1）f（x＋1）≤1的解集是________．
（2）设函数f（x）＝若f[f（a）]≤2，则实数a的取值范围是________．
[切入点]
（1）写出f（x＋1）的解析式；
（2）f[f（a）]的解析式并不易求出，可考虑用图象求解．
[关键点]
（1）每一段上x的取值范围是求交集，最后各段求并集；
（2）结合图象将f[f（a）]<2转化为f（a）的取值范围问题．
[规范解答]
（1）当x＋1<0，即x<－1时，f（x＋1）＝－（x＋1）＋1＝－x，不等式变为x－x（x＋1）≤1，即－x2≤1，解得x∈R，故x∈（－∞，－1）．
当x＋1≥0，即x≥－1时，f（x＋1）＝x＋1－1＝x，不等式变为x＋x（x＋1）≤1，即x2＋2x－1≤0，解得－1－≤x≤－1＋，故x∈[－1，－1＋]．
综上可知，所求不等式的解集为（－∞，－1＋]．
（2）f（x）的图象如图，由图象知，满足f[f（a）]≤2时，得f（a）≥－2，而满足f（a）≥－2时，得a≤.
[答案]
（1）（－∞，－1＋]
（2）a≤
[解题反思]
（1）要解不等式x＋（x＋1）f（x＋1）≤1，就要把f（x＋1）转变为具体的表达式，观察已知分段函数f（x）＝易知需要对x＋1的符号进行分类讨论，即分为x＋1<0和x＋1≥0两类．
（2）本题实际上利用了换元法．令t＝f（a）通过f（x）的图象得出f（t）≤2的解集t的取值范围，再通过t＝f（a）的范围，结合图象得出a的取值范围，这种利用图象求解分段函数的关键是必须分清t既在f（t）中是自变量，又在t＝f（a）中成为函数值．
解决有关分段函数的不等式问题通常有两种方法：
一种是利用代数手段，通过对x进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，利用图象特点，数形结合解不等式．
[感悟体验]
1．设函数f（x）＝则满足f（x）≤2的x的取值范围是（ ）
A．[－1,2]B．[0,2]
C．[1，＋∞）D．[0，＋∞）
[解析] f（x）≤2⇔或⇔0≤x≤1或x>1，故选D.
[答案] D
2．对任意实数a，b定义运算“⊗”：
a⊗b＝
设f（x）＝（x2－1）⊗（4＋x），若函数y＝f（x）＋k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是________．
[解析] 解不等式x2－1－（4＋x）≥1，得x≤－2或x≥3.
所以f（x）＝
其图象如右图实线所示，由图可知，当－2≤k<1时，函数y＝f（x）＋k的图象与x轴恰有三个不同交点．故k的取值范围是[－2,1）．
[答案] [－2,1）
课后跟踪训练（四）
基础巩固练
一、选择题
1．（2019·长春模拟）下列对应关系：
①A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f：
x→x的平方根；②A＝R，B＝R，f：
x→x的倒数；③A＝R，B＝R，f：
x→x2－2；④A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：
A中的数平方．
其中是A到B的映射的是（ ）
A．①③B．②④C．③④D．②③
[解析] ①中对于A中任一元素在B中有两个元素与之对应，故①不是A到B的映射；②中A＝R，A中元素0在f：
x→x的倒数作用下在B中没有唯一元素对应，故②不是A到B的映射；③④符合映射的定义，故选C.
[答案] C
2．（2019·山东滨州期末）已知f（x）＝则f（－1＋log35）＝（ ）
A．15B.C．5D.
[解析] ∵1[答案] C
3．（2019·山西太原一模）若函数f（x）满足f（1－lnx）＝，则f
（2）等于（ ）
A.B．eC.D．－1
[解析] 解法一：
令1－lnx＝t，则x＝e1－t，于是f（t）＝，即f（x）＝，故f
（2）＝e.故选B.
解法二：
由1－lnx＝2，得x＝，这时＝＝e，即f
（2）＝e.故选B.
[答案] B
4．已知f＝＋，则f（x）＝（ ）
A．（x＋1）2B．（x－1）2
C．x2－x＋1D．x2＋x＋1
[解析] f＝＋＝2－＋1，令＝t，则f（t）＝t2－t＋1，即f（x）＝x2－x＋1.故选C.
[答案] C
5．（2019·新疆乌鲁木齐一诊）函数f（x）＝则不等式f（x）>1的解集为（ ）
A．（1,2）B.
C.D．[2，＋∞）
[解析] 当x<2时，不等式f（x）>1即ex－1>1，
∴x－1>0，∴x>1，则1当x≥2时，不等式f（x）>1即－log3（x－1）>1，
∴0综上可得，不等式的解集为（1,2）．故选A.
[答案] A
二、填空题
6．（2019·湖南衡阳八中一模）f（x）＝则f＝________.
[解析] ∵f＝log3＝－2，
∴f＝f（－2）＝－2＝9.
[答案] 9
7．设函数f（x）＝则f（9）＝________.
[解析] f（9）＝f（6）＋2＝f（3）＋4＝f（0）＋6＝0＋2＋6＝8.
[答案] 8
8．f（2sin－1）＝cosx＋1，则f（x）的解析式为________．
[解析] ∵f（2sin－1）＝1－2sin2＋1＝2－2sin2
设2sin－1＝t，
则－3≤t≤1，sin＝，
∴f（t）＝2－2·2＝－t2－t＋.
故f（x）＝－x2－x＋（－3≤x≤1）．
[答案] －x2－x＋（－3≤x≤1）
三、解答题
9．设二次函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2－x），且f（x）＝0的两个实根的平方和为10，f（x）的图象过点（0,3），求f（x）的解析式．
[解] ∵f（2＋x）＝f（2－x），
∴f（x）的图象关于直线x＝2对称．
于是，设f（x）＝a（x－2）2＋k（a≠0），
则由f（0）＝3，可得k＝3－4a，
∴f（x）＝a（x－2）2＋3－4a＝ax2－4ax＋3.
∵ax2－4ax＋3＝0的两实根的平方和为10，
∴10＝x＋x＝（x1＋x2）2－2x1x2＝16－，
∴a＝1.
∴f（x）＝x2－4x＋3.
10.如图，点M是边长为1的正方形ABCD的边CD的中点．当点P在正方形的边上沿A—B—C运动时，点P经过的路程为x，△APM的面积为y，求y关于x的函数关系式．
[解] 利用分段函数建立关系式．当点P在线段AB上，即0能力提升练
11．（2019·西安调考）若函数f（x）满足关系式f（x）＋2f＝3x，则f
（2）的值为（ ）
A．1B．－1C．－D.
[解析] 由f（x）＋2f（）＝3x，
得
消去f（），得f
（2）＝－1.故选B.
[答案] B
12．设函数f（x）＝则满足f[f（a）]＝2f（a）的a的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
[解析] 由f[f（a）]＝2f（a）得，f（a）≥1.
当a<1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a<1.
当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.
综上，a≥，故选C.
[答案] C
13．设函数f（x）＝则满足f（x）＋f>1的x的取值范围是________．
[解析] ①当x≤0时，f（x）＋f＝x＋1＋x－＋1>1，得x>－，∴－②当01恒成立；
③当x>时，f（x）＋f＝2x＋2x－>1恒成立．
综上所述，x>－.
[答案]
[解]
拓展延伸练
15．设x∈R，定义符号函数sgnx＝则（ ）
A．|x|＝x|sgnx|B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgnxD．|x|＝xsgnx
[解析] 由已知可得xsgnx＝
而|x|＝
所以|x|＝xsgnx，故选D.
[答案] D
16．设函数f（x）＝若f＝4，则b＝（ ）
A．1B.C.D.
[解析]
[答案] D
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