与名师对话理 函数及其表示.docx

1、与名师对话理 函数及其表示第一节函数及其表示高考概览：1.了解构成函数的要素，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段)知识梳理1函数与映射的概念2.函数的定义域、值域(1)在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系3表示函数的常用方法列表法、图象法和解析法4分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，

2、这种函数称为分段函数辨识巧记1一种优先意识函数定义域是研究函数的基础依据，对函数的研究，必须坚持定义域优先的原则2两个关注点(1)分段函数是一个函数(2)分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集双基自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数y1与yx0是同一个函数()(2)对于函数f：AB，其值域是集合B.()(3)f(x)是一个函数()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等()答案(1)(2)(3)(4)2(必修1P17例1(1)改编)函数f(x)的定义域为()A0,2) B(2，)C0,2)(2，) D(，2)(2，)解析由得x0且x2，所以函数f

3、(x)的定义域为0,2)(2，)故选C.答案C3(必修1P23练习T2改编)若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图象可能是()解析根据函数的定义，结合图象可知选项B符合故选B.答案B4(2019杭州质检)下列各组函数中，是同一函数的是()Af(x)，g(x)Bf(x)，g(x)Cf(x)，g(x)()2n1，nN*Df(x)，g(x)解析对于A，f(x)|x|，g(x)x，它们的值域和对应关系都不同，所以不是同一函数；对于B，函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，而g(x)的定义域为R，所以不是同一函数；对于C，当nN*时，2n1为奇数，则f(x)x

4、，g(x)()2n1x，它们的定义域、对应关系都相同，所以是同一函数；对于D，f(x)的定义域为0，)，而g(x)的定义域为(，10，)，它们的定义域不同，所以不是同一函数，故选C.答案C5(2018哈尔滨师大附中等校一模)若函数f(x)则ff(1)的值为()A10 B10 C2 D2解析f(1)2142，ff(1)f(2)2.故选C.答案C考点一函数与映射的概念【例1】(1)下列对应是否是从集合A到B的映射，能否构成函数？AN，BN，f：xy(x1)2；AN，BR，f：xy；AN，BQ，f：xy；A衡中高三一班的同学，B0,150，f：每个同学与其高考数学的分数相对应(2)下列四组函数中，表

5、示相等函数的一组是()Af(x)，g(x)Bf(x)，g(x)()2Cf(x)，g(x)x1Df(x)|x|，g(t)解析(1)是映射，也是函数不是映射，更不是函数不是映射，更不是函数是映射，但不是函数(2)在A中，由可知f(x)的定义域为1，)；由x210，可知g(x)的定义域为(，11，)因为它们的定义域不同，所以A不成立在B中，f(x)|x|，其定义域为R；g(x)()2x，其定义域为0，)它们的解析式和定义域都不同，所以B不成立在C中，f(x)x1，其定义域为x|x1；g(x)x1的定义域为R.因为它们的定义域不同，所以C不成立在D中，g(t)|t|，与f(x)|x|的对应关系和定义域

6、都相同，所以D成立故选D.答案(1)见解析(2)D映射与函数的含义(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓(2)函数是特殊的映射：当映射f：AB中的A，B为非空数集时，即成为函数(3)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数对点训练1下列图象中不能作为函数图象的是()解析B中的图象与垂直于x轴的直线可能有两个交点，显然不满足函数的定义故选B.答案B2(2018江西抚州月考)设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下：映射f的对应法则x1234f

7、(x)3421映射g的对应法则x1234g(x)4312则fg(1)的值为()A1 B2 C3 D4解析由映射g的对应法则，可知g(1)4，由映射f的对应法则，知f(4)1，故fg(1)1.故选A.答案A考点二函数的解析式函数的解析式是函数的基础知识，高考中重视对求解析式的考查，题目难度不大，以选择题、填空题的形式出现常见的命题角度有：(1)配凑法求函数解析式；(2)换元法求函数解析式；(3)待定系数法求函数解析式；(4)解方程组法求函数解析式角度1：配凑法求函数解析式【例21】(1)已知f(1)x2，则f(x)_；(2)已知fx2，则f(x)_.思路引导(1)(2)解析(1)f(1)x2(1

8、)21，又11，f(x)x21(x1)(2)fx222，又x2或x2.f(x)x22(x2或x2)答案(1)x21(x1)(2)x22(x2或x2)角度2：换元法求函数解析式【例22】已知f(1cosx)sin2x，则f(x)的解析式为_思路引导解析f(1cosx)sin2x1cos2x，设1cosxt(0t2)，则cosx1t，f(t)1(1t)2t22t.故f(x)x22x(0x2)答案f(x)x22x(0x2)角度3：待定系数法求函数解析式【例23】已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，则f(x)_.思路引导解析设f(x)axb(a0)，则3f(x1)2f(x1

9、)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即ax5ab2x17不论x为何值都成立，解得f(x)2x7.答案2x7角度4：解方程组法求函数解析式【例24】已知函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)2f1，则f(x)_. 解析在f(x)2f1中，用代替x，得f1，将f1代入f(x)2f1中，得f(x).答案求函数解析式的方法策略对点训练1已知flgx，则f(x)_.解析令t1(t1)，则x，f(t)lg，即f(x)lg(x1)答案lg(x1)2已知f(x)是二次函数且f(0)2，f(x1)f(x)x1，则f(x)_.解析设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)2，得c2，f(x1)f(x)a

10、(x1)2b(x1)2ax2bx2x1，则2axabx1，即f(x)x2x2.答案x2x23(2019湖南模拟)定义在(1,1)内的函数f(x)满足2f(x)f(x)lg(x1)，求函数f(x)的解析式解当x(1,1)时，有2f(x)f(x)lg(x1)x(1,1)，以x代替x得，2f(x)f(x)lg(x1)由消去f(x)得，f(x)lg(x1)lg(1x)，x(1,1)考点三分段函数【例3】(1)已知f(x)且f(0)2，f(1)3，则ff(3)()A2 B2 C3 D3(2)(2019南京、盐城模拟)已知函数f(x)则不等式f(x)1的解集是_思路引导(1)(2)解析(1)由题意得f(0

11、)a0b1b2，解得b1；f(1)a1ba113，解得a.故f(3)()319，从而ff(3)f(9)log392.故选B.(2)当x0时，由题意得11，解之得4x0.当x0时，由题意得(x1)21，解之得0x2，综上f(x)1的解集为x|4x2答案(1)B(2)x|4x2分段函数题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值：首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围：应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围对点训练1已知函数f(x)则f(1)的值为()A1 B2 C3 D4

12、解析当x0时，1a11a，则f(1a)2(1a)a2a，f(1a)(1a)2a13a，f(1a)f(1a)，2a13a，则a(舍)，当a0时，1a11a，则f(1a)(1a)2a1a，f(1a)2(1a)a23a，f(1a)f(1a)，1a23a，即a.综上，可得a.故选A.答案A解题方法系列解有关分段函数的不等式问题素养解读：分段函数问题一直是高考考查的热点，纵观近几年的高考试卷，分段函数问题的考查逐渐成为重点下面就分段函数不等式求解进行分析【典例】(1)已知函数f(x)则不等式x(x1)f(x1)1的解集是_(2)设函数f(x)若ff(a)2，则实数a的取值范围是_切入点(1)写出f(x1

13、)的解析式；(2)ff(a)的解析式并不易求出，可考虑用图象求解关键点(1)每一段上x的取值范围是求交集，最后各段求并集；(2)结合图象将ff(a)2转化为f(a)的取值范围问题规范解答(1)当x10，即x1时，f(x1)(x1)1x，不等式变为xx(x1)1，即x21，解得xR，故x(，1)当x10，即x1时，f(x1)x11x，不等式变为xx(x1)1，即x22x10，解得1x1，故x1，1综上可知，所求不等式的解集为(，1(2)f(x)的图象如图，由图象知，满足ff(a)2时，得f(a)2，而满足f(a)2时，得a .答案(1)(，1(2)a解题反思(1)要解不等式x(x1)f(x1)1

14、，就要把f(x1)转变为具体的表达式，观察已知分段函数f(x)易知需要对x1的符号进行分类讨论，即分为x11，故选D.答案D2对任意实数a，b定义运算“”：ab设f(x)(x21)(4x)，若函数yf(x)k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是_解析解不等式x21(4x)1，得x2或x3.所以f(x)其图象如右图实线所示，由图可知，当2k1时，函数yf(x)k的图象与x轴恰有三个不同交点故k的取值范围是2,1)答案2,1)课后跟踪训练(四)基础巩固练一、选择题1(2019长春模拟)下列对应关系：A1,4,9，B3，2，1,1,2,3，f：xx的平方根；AR，BR，f：xx的倒数；AR

15、，BR，f：xx22；A1,0,1，B1,0,1，f：A中的数平方其中是A到B的映射的是()A B C D解析中对于A中任一元素在B中有两个元素与之对应，故不是A到B的映射；中AR，A中元素0在f：xx的倒数作用下在B中没有唯一元素对应，故不是A到B的映射；符合映射的定义，故选C.答案C2(2019山东滨州期末)已知f(x)则f(1log35)()A15 B. C5 D.解析1log351的解集为()A(1,2) B.C. D2，)解析当x1即ex11，x10，x1，则1x1即log3(x1)1，0x1，1x，此时不等式无解综上可得，不等式的解集为(1,2)故选A.答案A二、填空题6(2019

16、湖南衡阳八中一模)f(x)则f_.解析flog32，ff(2)29.答案97设函数f(x)则f(9)_.解析f(9)f(6)2f(3)4f(0)60268.答案88f(2sin1)cos x1，则f(x)的解析式为_解析f(2sin1)12sin2122sin2设2sin1t，则3t1，sin，f(t)222t2t.故f(x)x2x(3x1)答案x2x(3x1)三、解答题9设二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，且f(x)0的两个实根的平方和为10，f(x)的图象过点(0,3)，求f(x)的解析式解f(2x)f(2x)，f(x)的图象关于直线x2对称于是，设f(x)a(x2)2k(a0)，

17、则由f(0)3，可得k34a，f(x)a(x2)234aax24ax3.ax24ax30的两实根的平方和为10，10xx(x1x2)22x1x216，a1.f(x)x24x3.10.如图，点M是边长为1的正方形ABCD的边CD的中点当点P在正方形的边上沿ABC运动时，点P经过的路程为x，APM的面积为y，求y关于x的函数关系式解利用分段函数建立关系式当点P在线段AB上，即0x1时，yx；当点P在线段BC上，即1x2时，y1(x1)1(2x)(3x)所以所求函数关系式为y能力提升练11(2019西安调考)若函数f(x)满足关系式f(x)2f3x，则f(2)的值为()A1 B1 C D.解析由f(

18、x)2f()3x，得消去f()，得f(2)1.故选B.答案B12设函数f(x)则满足ff(a)2f(a)的a的取值范围是 ()A. B.C. D.解析由ff(a)2f(a)得，f(a)1.当a1时，有3a11，a，a1的x的取值范围是_解析当x0时，f(x)fx1x11，得x，x0；当01恒成立；当x时，f(x)f2x2x1恒成立综上所述，x.答案 解拓展延伸练15设xR，定义符号函数sgnx则()A|x|x|sgnx| B|x|xsgn|x|C|x|x|sgnx D|x|xsgnx解析由已知可得xsgnx而|x|所以|x|xsgnx，故选D.答案D16设函数f(x)若f4，则b()A1 B. C. D.解析 答案D