1数论4几个著名的数论定理2讲师版.docx

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1数论4几个著名的数论定理2讲师版

课程类型数学

“几个著名的数论定理2”

讲义编号：

学员：

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授课日期：

讲师：

授课方式（在线或线下）：

（线下填）授课教学点：

知识定位

本节的重点是费马小定理，欧拉定理，中国剩余定理的应用。

知识梳理和例题精讲

既约剩余系

一组数

，如果

，以及对任意的a，

，有且仅有一个zj是a对模m的剩余。

既约剩余系个数记为

，称为欧拉函数

设

，那么x历遍模m的完全（既约）剩余系的充分必要条件是ax历遍模m的完全（既约）剩余系。

欧拉函数

定理1：

设

（i）.若m1与m有相同的素因数，那么

（ii）.若

，则

（iii）.

证明：

（i）事实上

：

（ii）我们来把正整数

按其和m的最大公约数分类，即和m的最大公约数相同的作为一类。

这样，在m的正除数d和这样的

正整数类之间建立了一个一一对应关系，即对于每个m的正除数d对应于集合（1.3）中所有和m的最大

公约数为d的那些正整数组成的子集。

显见，m的不同的正除数对应于不相交的子集合，所以，集合（1.3）就是所有这种子集之并集我们来求这种子集：

设

，式（1.4）就等价于（利用第一章§4定理3）