10.（2017贵州黔南州中考）二次函数y=ax²+bx+c的图象如图22-4-4所示，以下结论：
①abc>0;②4ac0；④其顶点坐标为
⑤当
时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c>0．正确的有（）
图22-4-4
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
二、填空题
11.（2018上海长宁一模）若抛物线y=（a-2）x²的开口向上，则a的取值范围是____．
12．（2018江苏淮安中考）将二次函数y=X²-1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是___________.
13．（2019安徽合肥包河月考）二次函数y=x²-3x+2的图象不经过第________象限．
14．（2019江苏泰州期中）已知抛物线y=X²-4x+a与坐标轴有两个公共点，则a=____．
15.（2016浙江台州中考）竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=____．
16．（2017江苏常州中考）已知二次函数y=ax²+bx-3自变量x的部分取值和对应的函数值y如下表：
则在实数范围内能使得y-5>0成立的x的取值范围是___________.
17．（2017新疆建设兵团中考）如图22-4-5，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为_______s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是________cm²．
图22-4-5
18．如果函数y=（a-1）x²+3x+
的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值范围是________．
三、解答题
19．（2017山东济南历城模拟）已知抛物线y=x²+bx+c经过点（1，-4）和（-1，2），求这个抛物线的顶点坐标．
20.（2018天津宁河月考）已知抛物线y=a（x-3）²+2经过点（1，-2）．
（1）求a的值；
（2）若点A（
，y₁），B（4，y₂），C（0，y₃）都在该抛物线上，直接写出y₁，y₂，y₃的大小关系．
21.（2016贵州黔南州中考）已知二次函数y=x²+bx+c的图象与y轴交于点C（0，-6），与x轴的一个交点坐标是A（-2，0）．
（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移
个单位长度后，求当y<0时，x的取值范围．
图22-4-6
22.（2018江西中考）某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚．到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元／千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元／千克）之间的函数关系如图22-4-7所示．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围：
（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？
最大利润是多少？
（3）某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据
（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？
请说明理由．
图22-4-7
23.（2018浙江衢州中考）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在水池中心的装饰物处汇合，如图22-4-8所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
图22-4-8
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式：
（2）王师傅在水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：
在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
24.（2018贵州黔西南州兴义期末）如图22-4-9，在直角坐标系中，抛物线y=-（x+1）2+4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．
（1）写出抛物线顶点D的坐标：
____；
（2）点D₁是点D关于y轴的对称点，判断点D₁是否在直线AC上，并说明理由：
（3）若点E是抛物线上的点，且在直线AC的上方，过点E作EF⊥x轴交线段AC于点F，求线段EF的最大值．
图22-4-9
答案
一、选择题
1．A
解析：
由y=
（x-3）x整理得y=
x²-
x，是二次函数；由y=（x+2）（x-2）-x²整理得y=-4，不是二次函数;y=
x和y=3x都是一次函数．故选A．
2.C
解析：
抛物线y=3（x-2）²+5的顶点坐标为（2，5）．故选C．
3.C
解析：
∵y=x²-4x-5=x²-4x+4-9=（x-2）²-9，将此抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得y=（x-2+2）²-9+3，即y=x²-6，∴b=0，c=-6．故选C．
4.D
解析：
∵二次函数y=x²+mx图象的对称轴是x=3．∴
，解得m=-6,∴关于x的方程上x²+mx=7可化为x²-6x-7=0，即（x+1）（x-7）=0，解得x₁=-1，x₂=7．故选D．
5.C
解析：
∵二次函数y=ax²+bx+c（a>0）的图象与直线y=1的交点坐标为（1，1），（3，1），又ax²+bx+c-1>0，即y>1，故该不等式的解集为x<1或x>3．故选C．
6.D
解析：
由题表数据可知抛物线开口向上，顶点坐标为
，所以该抛物线与x轴有两个交点，故A正确；根据题表知，当x≥2时，y随x的增大而增大，故B正确；抛物线的开口向上，结合题表知二次函数图象与x轴交点的横坐标一个在-1~0之间，另一个在2~3之间，故C正确：
因为x=0和x=2时的函数值相等，所以抛物线的对称轴为直线x=1，故D错误，故选D．
7.B
解析：
从二次函数的图象可知a<0，c>0，所以直线y=ax+c经过第一、二、四象限，只有选项B符合题意，故选B．
8.B
解析：
二次函数y=-（x-h）²，当x=h时，有最大值0，因为当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为-1，所以h<2或h>5.当h<2，2≤x≤5时，y随x的增大而减小，故当x=2时，y有最大值，此时-（2-h）²=-1，解得h₁=1，h₂=3（舍去）；当h>5，2≤x≤5时，y随x的增大而增大，故当x=5时，y有最大值，此时-（5-h）²=-1，解得h₃=6，h₄=4（舍
去）．综上可知h=1或6．故选B．
9.D
解析：
如图，当y=0时，-x²+x+6=0，解得X₁=-2，x₂=3，则A（-2，0），B（3，0），二次函数y=
-X²+x+6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=（x+2）．（x-3）（2≤x≤3），即y=x²-x-6（-2≤x≤3），当直线y=-X+m经过点A（-2，0）时，2+m=0，解得m=-2;当直线y=-x+m与抛物线y=X²-x-6（-2≤x≤3）有唯一公共点时，方程X²-x-6=-x+m有两个相等的实数解，即x²-6-m=0有两个相等的实数解，△=0²-4x（-6-m）=0，解得m=-6，所以当直线y=-x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为-610．B
解析：
∵抛物线开口向上．∴a>0，∵顶点在y轴右侧．∴b<0，∵与y轴交于负半轴．∴c<0．∴abc>0，故①正确；∵函数图象与x轴有两个不同的交点．∴b²-4ac>0，即4ac．∴2b=-2a，2a+b=-b>0．故③正确；由题图看出，抛物线顶点在第四象限，顶点纵坐标小于-2，故④错误；∵抛物线的对称轴为x=
，且开口向上，∴当x<
时，y随x的增大而减小，故⑤正确；当x=1时，y=a＋b+c<0，故⑥错误，综上可得，正确的是①②③⑤，故选B．
二、填空题
11．答案a>2
解析：
∵抛物线y=（a-2）x²的开口向上．∴a-2>0，解得a>2.
12．答案y=x²+2
解析：
二次函数y=X²-1的图象的顶点坐标为（0，-1），把点（0，-1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线的解析式为y=x²+2．
13.答案三
解析：
∵y=x²-3x+2=
，该函数图象的顶点坐标为
且经过点（0，2），函数图象开口向上，∴该函数图象不经过第三象限．
14．答案0或4
解析：
∵抛物线y=x²-4x+a与坐标轴有两个公共点，∴△=（-4）²-4x1xa=0或a=0，解得a=4或a=0．
15．答案1.6
解析：
各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，设这个最大高度为h，则小球的高度y=a（t-1.1）²+h．由题意，得a（t-1.1）²+h=a（t-1-1.1）²+h，解得t=1.6．故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同．故填1.6.
16.答案x<-2或x>4
解析：
因为x=0时，y=-3;x=2时，y=-3，所以二次函数图象的对称轴为直线x=1，又因为x=-2时，y=5，所以x=4时，y=5，易知二次函数图象开口向上，所以当-24时，y>5，即在实数范围内能使得y-5>0成立的x的取值范围是x<-2或x>4.
17.答案3;18
解析：
设运动时间为t（0≤t≤6）s，则AE=tcm，AH=（6-t）cm，根据题意得
=6x6-4x
t（6-t）=2t²-12t+36=2（t-3）²+18，∴当t=3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18cm².
18．答案a<-5
解析：
∵y=（a-1）x²+3x+
的图象经过平面直角坐标系的四个象限,∴y=（a-1）x²+3x+
需满足下列两个条件：
（1）函数图象与x轴有两个交点，
有
，且a-1≠0，
解得
，
由于
，故抛物线的对称轴x=
，画出草图．
（2）函数图象与y轴交点的纵坐标大于0，即
，解得a>1或a<-5．
综上可知，a<-5．
三、解答题
19．解析：
把点（1，-4）和（-1，2）代入y=X2+bx+c得
解得
所以这个抛物线的解析式为y=X²-3x-2．
，
所以这个抛物线的顶点坐标为
．
20．解析：
（1）把点（1，-2）代入抛物线的解析式得a（1-3）²+2=-2．
解得a=-1,
即a的值为-1．
（2）y₂>y₁>y₃
21.解析
（1）把C（0，-6）代入抛物线的解析式得c=-6,把
A（-2，0）代入y=x²+bx-6，得（-2）²+bx（-2）-6=0，即b=-1．
∴抛物线的解析式为y=x²-x-6.
∴
∴抛物线的顶点D的坐标为
．
（2）二次函数的图象沿x轴向左平移
个单位长度后，得到新的抛物线的解析式为y=（x+2）²-
．
令y=0，则（x+2）²-
=0，
解得
．
∵a>0．
∴当y<0时，x的取值范围是
．
22.解析：
（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
将（10，200）和（15，150）代入，得
解得
∴y与x的函数关系式为y=-10x+300．
由-10x+300≥0．得x≤30,
∴x的取值范围为8≤x≤30．
（2）设该品种蜜柚定价为x元／千克时，每天销售获得的利润为w元，依题意，得W=（x-8）（-10x+300）=-10（x-19）²+1210．
∵-10<0，∴当x=19时，
．
因此，该品种蜜柚定价为19元／千克时，每天销售获得的利润最大，最大利润为1210元．
（3）不能.
理由：
按
（2）中每天获得最大利润的方式销售，
由
（1）得y=-10x19+300=110,
∵110x40=4400<4800,
∴该农户不能销售完这批蜜柚．
23.解析
（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x-3）²+5（a≠0，且x>0），
将（8，0）代入y=a（x-3）²+5，得25a+5=0．
解得
∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=
（x-3）²+5（0（2）当y=1.8时，有
（x-3）²+5=1.8，
解得x₁=-1（舍去），x₂=7，
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
（3）当x=0时，y=
（x-3）²+5=
，设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为
，∵该函数图象过点（16，0），∴
，解得b=3，
∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为
．∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为
米．
24.解析：
（1）（-1，4）．
（2）点D₁在直线AC上．
理由如下：
∵抛物线y=-（x+1）²+4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，
∴当y=0时，-（x+1）²+4=0，解得x=1或x=-3,
∴A（-3，0），B（1，0），
当x=0时，y=-1+4=3，∴C（0，3）．
设直线AC的解析式为y=kx+6．
由题意得
解得
∴直线AC的解析式为y=x+3．
∵点D₁是点D关于y轴的对称点，D（-1，4）．
∴D₁（1，4），
∵x=1时，y=1+3=4，
∴点D₁在直线AC上．
（3）y=-（x+1）²+4=-x²-2x+3.
设点E（a，-a²-2a+3）（-3∵EF=（-a²-2a+3）-（a+3）=-a²-3a=-（a+1.5）²+2.25.
∴线段EF的最大值是2.25．
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