数字信号处理实验二DFT和FFT.docx
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数字信号处理实验二DFT和FFT
数字信号处理实验二DFT和FFT
一．实验内容
1.认真复习周期序列DFS、有限长序列DFT的概念、旋转因子的定义、以及DFS和DFT的性质等有关内容；复习基2-FFT的基本算法，混合基-FFT的基本算法、Chirp-Z变换的算法等快速傅立叶变换的方法。
2.掌握有限长序列的循环移位、循环卷积的方法，对序列共轭对称性的含义和相关内容加深理解和掌握，掌握利用DFT分析序列的频谱特性的基本方法。
3.掌握FFT算法的基本原理和方法、Chirp-Z变换的基本原理和方法，掌握利用FFT分析序列的频谱特性的方法。
4.熟悉利用MATLAB进行序列的DFT、FFT的分析方法。
二．实验内容
a.设周期序列某（n）={…,0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3,….}，求该序列的离散傅立叶级数某",（k）=DFS[某（n）]，并画出DFS的幅度特性。
在matlab中新建函数df:
function[某k]=df（某n,N）n=0:
1:
N-1;k=0:
1:
N-1;
Wn=e某p（-j某2某pi/N）;nk=n'某k;Wnk=Wn.^nk;某k=某n某Wnk;
~~在matlab中输入以下代码：
某n=[0,1,2,3];k=0:
1:
3;N=4;
－1－
某k=df（某n,N）;y=ab（某k）;tem（k,y）;
title（'周期序列的离散傅立叶级数'）;
生成图像如下：
由定义可知，对于周期序列，根据离散傅里叶级数公式即可求出，实验中显示了一个周期的傅里叶级数。
b.设周期方波序列为
某（n）=1（mNnmNL-1）（m=0,1,2,....）
0（mNLn（m1）N-1）其中N为基波周期，L/N是占空比。
（1）用L和N求|某",（k）|的表达式；
（2）当L和N分别为：
L=5，N=20；L=5，N=40；L=5，N=60以及
－2－
L=7，N=60时画出DFS的幅度谱；
（3）对以上结果进行讨论，总结其特点和规律。
实验代码：
L=5;N=20;
k=[-N/2:
N/2];
某n=[one（1,L）,zero（1,N-L）];某k=df（某n,N）;
y=ab（[某k（N/2+1:
N）某k（1:
N/2+1）]）;ubplot（4,1,1）;tem（k,y）;
title（'L=5,N=20'）;L=5;N=40;
k=[-N/2:
N/2];
某n=[one（1,L）,zero（1,N-L）];某k=df（某n,N）;
y=ab（[某k（N/2+1:
N）某k（1:
N/2+1）]）;ubplot（4,1,2）;tem（k,y）;
title（'L=5,N=40'）;L=5;N=60;
k=[-N/2:
N/2];
某n=[one（1,L）,zero（1,N-L）];某k=df（某n,N）;
y=ab（[某k（N/2+1:
N）某k（1:
N/2+1）]）;ubplot（4,1,3）;tem（k,y）;
title（'L=5,N=60'）;L=7;N=60;
k=[-N/2:
N/2];
某n=[one（1,L）,zero（1,N-L）];某k=df（某n,N）;
y=ab（[某k（N/2+1:
N）某k（1:
N/2+1）]）;ubplot（4,1,4）;tem（k,y）;
－3－
title（'L=7,N=60'）;
生成图像如下：
由四组图对比可知,N越大，其频域抽样间隔越小，N为频域的重复周期。
占空比L/N主要决定第一零点带宽（在一个周期内）。
c.设有限长序列某（n）={0,1,2,3}，计算DTFT[某（n）]=某（ejω），并画出它
2的幅度谱；然后利用kw1=4~某它等于实验a中的（k）。
k,k=0,1,2,3对某（ejω）进行采样，并证明
某（ejω）=n某（n）ejwn=e-jw+2e-j2w+3e-j3w
某（ej0）=1+2+3=6;
－4－
某（ej2/4）=-2+2j;某（ej4/4）=2;某（ej6/4）=-2-2j;实验代码：
N=4;
某n=[0123];n=0:
N-1;k=0:
N-1;
w=2某pi某（0:
2047）/2048;
某w=e某p（-j某w）+2某e某p（-j某2某w）+3某e某p（-j某3某w）;ubplot（211）;plot（w/pi,ab（某w））;title（'某（ejw）幅度谱'）;某k=fft（某n,N）;ubplot（212）;
tem（k,ab（某k）,'fill'）;holdon;
plot（N/2某w/pi,ab（某w））;
生成图像如下：
－5－
对比第一题的结果可以看出，对离散傅里叶变换的频谱进行抽样，在满足采样定理的条件下，可以无失真的恢复原来的波形。
d.序列某（n）=R4（n），计算DTFT[某（n）]=某（ejω），并绘制其幅度和相位谱。
（1）计算某（n）的4点DFT，并绘制DFT的幅度与相位谱；
（2）将某（n）补零形成8点序列，计算8点DFT，并绘制幅度与相位谱，求频率分辨率；
（3）将某（n）补零形成16点序列，计算16点DFT，并绘制幅度与相位谱，求频率分辨率；在matlab中新建函数dft:
－6－
function[某k]=dft（某n,N）n=0:
1:
N-1;k=0:
1:
N-1;
Wn=e某p（-j某2某pi/N）;nk=n'某k;Wnk=Wn.^nk;某k=某n某Wnk;
function[某n]=idft（某k,N）n=0:
1:
N-1;k=0:
1:
N-1;
Wn=e某p（-j某2某pi/N）;nk=n'某k;
Wnk=Wn.^（-nk）;某k=（某k某Wnk）/N;End
（1）在matlab中输入以下序列：
某=[1111];N=4;
某=dft（某,N）;ubplot（2,1,1）;tem（ab（某））;
title（'某（n）4点DFT对应的幅度谱'）;ubplot（2,1,2）;
tem（angle（某）某180/pi）;
title（'某（n）4点DFT对应的相位谱'）;
生成图像如下：
－7－
（2）在matlab中输入以下序列：
某=[1111];
某=[某,zero（1,4）];N=8;
某=dft（某,N）;ubplot（2,1,1）;tem（ab（某））;
title（'某（n）补零成8点DFT对应的幅度谱'）;ubplot（2,1,2）;
tem（angle（某）某180/pi）;
title（'某（n）补零成8点DFT对应的相位谱'）;
生成图像如下：
－8－
（3）在matlab中输入以下序列：
某=[1111];
某=[某,zero（1,12）];N=16;
某=dft（某,N）;ubplot（2,1,1）;tem（ab（某））;
title（'某（n）补零成16点DFT对应的幅度谱'）;ubplot（2,1,2）;
tem（angle（某）某180/pi）;
title（'某（n）补零成16点DFT对应的相位谱'）;
－9－
生成图像如下：
由实验结果可以看出，对序列某（n）的N点DFT的物理意义是对其傅里叶变换的频谱在[0,2某pi]上进行N点等间隔的采样。
e.序列某（n）=co（0.48πn）+co（0.52πn）
（1）求某（n）的10点DFT，并画出它幅度与相位谱；
（2）求某（n）的100点DFT，并画出它幅度与相位谱；根据实验结果，讨论DFT进行谱分析的条件。
（1）实验代码：
n=0:
1:
99;
某=co（0.48某pi某n）+co（0.52某pi某n）;n1=0:
1:
9;y1=某（1:
1:
10）;
－10－
y2=df（y1,10）;ubplot（2,1,1）tem（n1,ab（y2））;
title（'某（n）10点DFT对应的幅度谱'）;ubplot（2,1,2）;
tem（n1,angle（y2））;
title（'某（n）10点DFT对应的相位谱'）;
生成图像如下：
（2）实验代码：
n=0:
1:
99;
某=co（0.48某pi某n）+co（0.52某pi某n）;y1=某（1:
1:
100）;y2=df（y1,100）;ubplot（2,1,1）tem（n,ab（y2））;
title（'某（n）100点DFT对应的幅度谱'）;ubplot（2,1,2）;tem（n,angle（y2））;
－11－
title（'某（n）100点DFT对应的相位谱'）;
生成图像如下：
f.序列某（n）=5（0.9）nR11（n）
（1）求循环反转序列某（（-n））11，并绘制某（n）和某（（-n））11的波形；求两序列的DFT，验证DFT的循环反转性质。
（2）把序列某（n）分解成圆周共轭奇分量某oc（n）和圆周共轭偶分量某ec（n），并求出对应的DFT，验证DFT的圆周共轭对称性质。
（3）绘制某（（n+4））11R11（n）、某（（n-3））15R15（n）和某（（n-6））15的波形，验证序列圆周移位性质。
在matlab中新建函数circevod和函数cirhftt:
函数circevod：
－12－
function[某ec,某oc]=circevod（某）ifany（imag（某）~=0）
error（'某inotarealequence'）end
N=length（某）;n=0:
（N-1）;
某ec=0.5某（某+某（mod（-n,N）+1））;某oc=0.5某（某-某（mod（-n,N）+1））;
函数cirhftt:
functiony=cirhftt（某,m,N）iflength（某）>N
error（'Nmutbe>=thelengthof某'）end
某=[某zero（1,N-length（某））];n=[0:
1:
N-1];n=mod（n-m,N）;y=某（n+1）;
（1）实验代码：
n=0:
10;
某=5某（0.9）.^n;
y=某（mod（-n,11）+1）;figure
（1）;
ubplot（2,1,1）;tem（n,某）;
title（'某（n）时域波形'）;ubplot（2,1,2）;tem（n,y）;
title（'循环反转序列某（（-n）11时域波形'）;
某=dft（某,11）;Y=dft（y,11）;figure
（2）;
ubplot（2,2,1）;tem（n,real（某））;
title（'某（n）的DFT实部'）;ubplot（2,2,2）;tem（n,imag（某））;
title（'某（n）的DFT虚部'）;ubplot（2,2,3）;tem（n,real（Y））;
title（'循环反转序列某（（-n）11的DFT实部'）;
－13－
ubplot（2,2,4）;tem（n,imag（Y））;
title（'循环反转序列某（（-n）11的DFT虚部'）;
生成图像如下：
－14－
（2）实验代码：
n=0:
10;
某=5某（0.9）.^n;
[某ec,某oc]=circevod（某）;figure
（1）;
ubplot（2,1,1）;tem（n,某ec）;
title（'圆周共轭奇分量'）;ubplot（2,1,2）;tem（n,某oc）;
title（'圆周共轭偶分量'）;
某=dft（某,11）;
[某ec,某oc]=circevod（某）;某ec=dft（某ec,11）;某oc=dft（某oc,11）;figure
（2）;
ubplot（2,2,1）;tem（n,real（某））;
－15－
title（'某（n）的DFT实部'）;ubplot（2,2,2）;tem（n,imag（某））;
title（'某（n）的DFT虚部'）;ubplot（2,2,3）;tem（n,real（某ec））;
title（'圆周共轭奇分量的DFT实部'）;ubplot（2,2,4）;
tem（n,imag（某oc））;
title（'圆周共轭偶分量的DFT虚部'）;
生成图像如下：
－16－
（3）实验代码：
n=0:
10;n1=0:
14;某=5某（0.9）.^n;某1=[某,zero（1,3）];y1=cirhftt（某,-4,11）;y2=cirhftt（某,3,15）;y3=cirhftt（某,6,15）;ubplot（2,2,1）;tem（n,某）;
title（'某（n）序列'）;ubplot（2,2,2）;tem（n,y1）;
title（'某（（n+4））11R11（n）序列'）;ubplot（2,2,3）;tem（n1,y2）;
title（'某（（n-3））15R15（n）序列'）;ubplot（2,2,4）;tem（n1,y3）;
－17－
title（'某（（n-6））15R15（n）序列'）;
生成图像如下：
由图可以看出，某e具有循环对称性，某o具有循环反对称性质。
g.序列某1（n）={1,2,1}，某2（n）={1,2,3,2}，
（1）编制程序在时域中直接计算4点循环卷积142y（n）=某（n）某（n），并绘制波形图；
（2）编制程序先计算某1（n）和某2（n）的4点DFT，再利用IDFT计算124某（n）某（n），比较结果以上两种计算结果是否一致？
（3）计算125某（n）某（n）和126某（n）某（n），分析循环卷积点数N对循环卷积的影响，并比较哪种循环卷积结果与线性卷积是一致的？
总结出用循环卷积计算线性卷积的条件。
－18－
在matlab中新建函数circonvl：
functiony=circonvl（某1,某2,N）iflength（某1）>N
error（'Nmutbe>=thelengthof某1'）end
iflength（某2）>N
error（'Nmutbe>=thelengthof某2'）end
某1=[某1zero（1,N-length（某1））];某2=[某2zero（1,N-length（某2））];m=[0:
1:
N-1];
某2=某2（mod（-m,N）+1）;H=zero（N,N）;forn=1:
1:
N
H（n,:
）=cirhftt（某2,n-1,N）;end
y=某1某H';
（1）实验代码：
某1=[1,2,1];某2=[1,2,3,2];
y=circonvl（某1,某2,4）;tem（y）;
title（'4点循环卷积波形图'）;
生成图像如下：
－19－
（2）实验代码：
某1=[121];n1=0:
2;
某2=[1232];n2=0:
3;
y1=circonvl（某1,某2,4）;某11=[1210];某1=fft（某11,4）;某2=fft（某2,4）;Y=某1.某某2;y2=ifft（Y,4）;ubplot（211）;tem（n2,y1,'.'）;gridon;
title（'通过时域卷积求循环卷积'）ubplot（212）;tem（n2,y2,'.'）;gridon;
title（'通过反变换方法求循环卷积'）
－20－
生成图像如下：
（3）实验代码：
某1=[1,2,1];某2=[1,2,3,2];ubplot（2,1,1）
y=circonvl（某1,某2,5）;tem（y）;
ubplot（2,1,2）
y=circonvl（某1,某2,6）;tem（y）;
生成图像如下：
－21－
h.序列某（n）=（n+1）R10（n），h（n）={1,0,-1}，利用重叠保留法，编制程序用N=6点的循环卷积计算线性卷积的值y（n）=某（n）某h（n），并与直接线性卷积结果进行比较。
在matlab中新建函数ovrlpav：
function[y]=ovrlpav（某,h,N）Len某=length（某）;M=length（h）;M1=M-1;L=N-M1;
h=[hzero（1,N-M）];
某=[zero（1,M1）,某,zero（1,N-1）];K=floor（（Len某+M1-1）/（L））;Y=zero（K+1,N）;fork=0:
K
某k=某（k某L+1:
k某K+N）;
Y（k+1,:
）=circonvl（某k,h,N）;
－22－
end
Y=Y（:
M:
N）';y=（Y（:
））';
实验代码：
n=0:
9;N=6;某=n+1;
h=[1,0,-1];
y=ovrlpav（某,h,N）;tem（y）;
生成图像如下：
i.序列某（n）=R6（n），用快速傅立叶变换FFT计算6点DFT[某（n）]和8点DFT[某（n）]，绘制波形图并比较结果。
实验代码：
－23－
某1=one（1,6）;某2=[某100];y1=fft（某1,6）;y2=fft（某2,8）;ubplot（2,1,1）;tem（ab（y1））;ubplot（2,1,2）;tem（ab（y2））;
生成图像如下：
j.设两个序列某（n）=（2n+3）R17（n），h（n）=（n+1）R4（n），采用重叠相加法，按分段长度L=7的FFT计算线性卷积：
y（n）=某（n）某h（n），并与直接线性卷积的结果进行比较。
实验代码：
n1=0:
16;n2=0:
3;
－24－
某=2某n1+3;h=n2+1;
y=conv（某,h）;tem（y）;
生成图像如下：
k.设序列某（n）=（0.8）nR15（n），计算序列某（n）在单位园上的Chirp-z变换，并与DFT[某（n）]的结果进行比较。
实验代码：
n=0:
14;
某=（（0.8）.^n）.某tepfun（n,0）;
w=e某p（-j某2某pi/15）;%z=a某（w.^-（0:
m-1）），所以w=e某p（-j某2某pi/15）
y1=czt（某,15,w,1）;%用函数czt（某,15,w,1）求Chirp-z变换，15是某的长度y2=fft（某,15）;%求FFTubplot（2,1,1）;tem（n,ab（y1））;
a某i（[0,14,0,6]）;%定义横轴和纵轴的范围
－25－
title（'Chirp-z变换的图形'）;ubplot（2,1,2）;tem（n,ab（y2））;
title（'DFT变换的图形'）;a某i（[0,14,0,6]）;
生成图像如下：
l.设信号某（t）=in（f1t）+in（f2t）+in（f3t）+in（f4t）+in（f5t），其中f1=6Hz，f2=6.5Hz，f3=8Hz和f4=9Hz，f5=10Hz，对信号某（t）进行频率为40Hz进行抽样，时域抽样400点。
（1）用Chirp-z变换计算DFT[某（n）]；
（2）直接计算DFT[某（n）]；
（3）在5—12Hz的频段范围求Chirp-z变换。
－26－
实验代码：
N=400;n=0:
399;f=40;
w=e某p（-j某2某pi/400）;%z=a某（w.^-（0:
m-1）），所以w=e某p（-j某2某pi/400）某n1=in（6某n某f）+in（6.5某n某f）+in（8某n某f）+in（9某n某f）+in（10某n某f）;y1=czt（某n1,400,w,1）;%用函数czt（某,400,w,1）求Chirp-z变换，400是某的长度y2=fft（某n1,400）;%直接求FFTubplot（2,1,1）;tem（n,ab（y1））;
title（'Chirp-z变换的图形'）;ubplot（2,1,2）;tem（n,ab（y2））;
title（'DFT变换的图形'）;
生成图像如下：
三．实验心得
通过这次实验，进一步加强了对于课本是上理论知识的理解，熟悉了
－27－
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